GRANDEURS NON SINUSOÏDALES ET RÉGIMES TRANSITOIRES
Exercice 3.5 : Dipôle non linéaire de spectre connu
3.2.2 Correction des exercices Exercice 3.1 : Dipôle non linéaire,
puissances et décomposition harmonique 1)
(
π)
( ) 230 2 sin 100
v t = ◊ ◊ t
i
v D
I(f)
f (Hz)
50 150 250 350 450 20 dB
9,5 dB
6 dB 3 dB 0,9 dB
Figure 3.8.
(
keff)
d 20 log
Ik B= ◊ I
2 2 2 2
0 0 0
0 0
1 1 1
( ) d d 2
2 2 2
I πi θ θ πI θ I π I
π π π
=
Ú
◊ =Ú
◊ = =© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2) La puissance active consommée par le dipôle est la puissance moyenne, c’est-à-dire la valeur moyenne de la puissance instantanée : ou de façon plus pratique :
3) La puissance réactive est définie comme due au déphasage entre le fondamental du courant et celui de la tension. Ici, le courant et la tension sont en phase, la puissance réactive Q est donc nulle.
4) Le facteur de puissance est défini comme le rapport de la puissance active sur la puissance apparente S = V · I
5) L’expression de la puissance déformante D se déduit de la formule générale : S2 = P2 + Q2 + D2 soit :
6) La décomposition en série de Fourier du courant i s’écrit :
Il faut noter que : la valeur moyenne de i est nulle, les termes an sont nuls puisque la fonction est impaire et les termes bn d’indice n pairs sont nuls puisque la fonction est symétrique par rapport à son passage à zéro.
Il reste donc à calculer, en prenant θ=ωt comme variable d’intégration :
C’est-à-dire :
Donc :
7) On représente le spectre du courant i sur la figure 3.9 sans échelle où on note la fréquence
8) On retrouve la valeur de la puissance active en considérant la valeur moyenne du produit des fondamentaux de courant et de tension. Ces composantes étant sinusoïdales pures, on écrit :
avec I1 et V1 les valeurs efficaces des composantes fondamentales de i et v.
Ici le fondamental de courant est en phase avec la tension qui est sinusoïdale pure. On écrit donc :
On retrouve bien l’expression calculée directement à la question 2.
9) La valeur efficace de i s’écrit :
En utilisant cette expression dans la formule : (Q étant nulle), on obtient :
Donc :
Exercice 3.2 : Courants non sinusoïdaux absorbés par les redresseurs triphasés
1) Sur l’intervalle le courant i1 a pour expression :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
La puissance totale fournie par le générateur triphasé est donc : 3) On calcule le facteur de puissance en revenant à sa définition :
4) Le calcul revient exactement à celui de la question 1 sur l’intervalle [0,π]. En revanche, le courant possède maintenant une alternance négative sur [π, 2π]. Lorsqu’on calcule la valeur moyenne du courant au carré, on constate que celle-ci est tout simplement le double de celle calculée à la question 1.
Ainsi :
et donc :
5) Pour le calcul de la puissance, on remarque des symétries analogues et on écrit :
C’est-à-dire : et
6) Le facteur de puissance que présente ce montage est donc :
Ce résultat est sans appel et nous indique qu’on choisira quasiment toujours le redresseur PD3 qui présente un facteur de puissance naturel excellent. Le redresseur P3 par contre pose un grave problème sur ce point. Ajouté au fait qu’il rend la présence du neutre obligatoire, on comprend qu’il constitue un montage très peu rencontré dans la pratique.
Exercice 3.3 : Régimes transitoires d’un circuit inductif 1) L’équation de maille s’écrit :
La résolution de cette équation se déroule en trois temps :
• Résolution de l’équation sans second membre :
2
On écrit : avec la constante de temps du circuit.
En intégrant : soit : où K est une constante
d’inté-gration.
• Écriture de la solution générale : + Solution particulière
La solution particulière est facile à trouver en électricité, c’est tout simplement la fonction recherchée en régime permanent. Ici :
On écrit donc :
• Exploitation des conditions initiales À t = 0, le circuit se ferme à peine, et i = 0 D’où : c’est-à-dire que
Le courant i(t) s’écrit donc, pour t > 0,
2) On représente la forme du courant (très classique) sur la figure 3.10.
3) On considère habituellement que le régime permanent est atteint à 95 % de la valeur finale, c’est-à-dire au temps :
4) La loi de maille qui va régir le circuit lorsque l’interrupteur s’ouvre sera, en notant que la tension à ses bornes ne sera plus nulle :
C’est-à-dire que :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Pendant la décroissance linéaire du courant, qui prend une microseconde, l’inductance va
développer une tension constante de valeur : !
5) On représente l’évolution du courant et de la tension vi(t) sur la figure 3.11. Ces évolutions sont représentées sans échelle mais avec l’indication des points remarquables
La valeur maximale de la tension aux bornes de l’interrupteur vaut : 100,1 kV. Cette valeur est très importante puisqu’elle détermine la tension maximale que l’interrupteur doit pouvoir tenir sans claquer.
6) Lorsque la source de tension est alternative sinusoïdale, l’équation de maille s’écrit : pour t > 0
• La résolution de l’équation sans second membre reste la même et :
• La solution générale de l’équation s’écrit toujours : + Solution particulière La solution particulière correspond ici au régime permanent sinusoïdal du courant dans une charge R-L. On sait, par l’étude classique des régimes sinusoïdaux que le courant absorbé aura
une valeur efficace : et un déphasage de – =
– 0,3 rad
Le courant en régime permanent s’écrira donc :
Ainsi :
Ainsi :
La figure 3.12 représente le tracé du courant i pour t > 0.
Exercice 3.4 : Charges de condensateurs
1) L’énergie accumulée par un condensateur C sous la tension V est :
Ainsi, l’énergie que totalise le circuit avant la fermeture de l’interrupteur est :
2) Si les deux condensateurs présentent une tension finale de 25 V, l’énergie correspondante devient :
Cette valeur qui ne correspond pas à la valeur initiale montre que le raisonnement reposant sur le partage des charges est mauvais puisqu’une partie de l’énergie initiale y a disparu sans raison.
3) La seule équation régissant le circuit est : . Cette seule équation ne permet aucune résolution du circuit.
4) En faisant apparaître la résistance des conducteurs R, l’équation de maille du circuit devient :
avec :
5) En dérivant l’équation de maille, on obtient : c’est-à-dire : ou encore :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
La solution de cette équation est :
La valeur à t = 0 du courant correspond à celle imposée par une différence de tension de 50 V limitée par la résistance R = 10Ω, c’est-à-dire :
On retiendra donc :
6) On sait que , donc :
Comme , alors on écrit directement :
On représente alors cette tension ainsi que le courant i sur le graphe de la figure 3.13.
7) Les tensions de stabilisation des deux condensateurs sont bien de 25 V, cependant la diffé-rence d’énergie entre Einitiale = 12,5 mJ et Efinale = 6,25 mJ se justifie par l’énergie dissipée dans la résistance R.
Exercice 3.5 : Dipôle non linéaire de spectre connu 1) Il suffit d’inverser la formule donnée pour déduire les valeurs : I1 = 10 A, I3 = 3 A, I5 = 2 A, I7 = 1,4 A et I9 = 1,1 A
2) La valeur efficace du courant : I se calcule en écrivant :
3) La puissance active n’est créée que par le fondamental du courant qui est une composante sinusoïdale.
Ainsi d’où : soit :
4) La puissance réactive s’écrira donc :
5) La puissance déformante se déduira de la formule : , soit donc :
2
6) Le taux de distorsion harmonique s’écrit : . Ce taux tend vers 0 à mesure que le courant s’approche d’une sinusoïde pure. Ici, ce critère permet de chiffrer la part de la composante harmonique par rapport à la composante fondamentale.