CHARGES MONOPHASÉES ET TRIPHASÉES
1.6 PROBLÈME N° 2 : SYSTÈMES TRIPHASÉS DÉSÉQUILIBRÉS
1.6.2 Correction détaillée
➤ Partie 1 : Ensemble de charges en monophasé et triphasé 1) La valeur de ces tensions est donnée dans l’énoncé : 230/400 V.
Ceci signifie que la valeur efficace de la tension simple est : V=230 V et que la valeur effi-cace de la tension composée est :
2) Les charges sont des charges monophasées, ici branchées entre une phase et le neutre. Ainsi chaque charge est sous la tension V=230 V
Le plus simple pour aboutir à la valeur des courants de lignes est de passer par le calcul des puissances apparentes :
On en déduit :
et de même : et
3) Le déphasage ϕ qui existe entre le courant et la tension d’une charge monophasée s’exprime facilement à partir de l’expression : . Cependant, il est important d’orienter l’angle ainsi calculé. Pour ne pas se tromper, le mieux est de retenir un cas simple : Lorsque la charge est inductive (la puissance réactive est positive), le courant est en retard sur la tension. Ainsi, l’angle est positif.
Ici : ,
et
4) Les charges triphasées sont équilibrées, les valeurs efficaces des courants sont identiques sur les trois phases, on nomme cette valeur . Ces charges consomment une puissance de 22 kW avec . Il suffit alors d’écrire :
Ainsi :
5) Pour effectuer ce tracé, on commence tout d’abord par dessiner les vecteurs représentant les tensions simples , et en plaçant par exemple sur l’axe des imaginaires.
Ensuite, il est simple de placer les vecteurs , et c’est-à-dire les courants, en représentation complexe, consommés par les charges triphasées. Ces courants possèdent tous la même norme et sont déphasés d’un même angle (25,8°=Arccos(0,9)) vers l’arrière par rapport aux tensions simples correspondantes.
400 V 3
Il faut ensuite placer correctement , et en n’oubliant pas qu’ils sont d’amplitude et de déphasage différents.
Pour finir, on peut représenter le courant de neutre : , la somme des courants des charges triphasées étant nulle.
On aboutit ainsi au schéma de la figure 1.55.
6) Le système triphasé est déséquilibré en courant et équilibré en tensions, c’est-à-dire que les tensions qui s’appliquent aux charges sont directement les tensions simples, imposées par le générateur.
➤ Partie 2 : Apparition d’un défaut, résolution graphique et théorique
1) La différence de valeur de ces tensions est due au fait que les équations de maille des trois phases vont faire intervenir la tension . Par exemple, on peut écrire pour la phase 3, , et de même sur les autres phases. Ainsi, non seulement chaque tension , ou n’est plus égale respectivement à , ou mais leurs modules seront bien différents les uns des autres.
2) Les équations de maille s’écrivent :
, et
1
IZ IZ2 IZ3
1 2 3
N Z Z Z
I =I +I +I
V1
V3
V2
IZ2 IZ3 IZ2
IZ3
IZ1
IT2 IT3
IT1
IN
Re Échelles : Im
Tensions 100 V Courants :
100 A
25,8˚
18,4˚
N
Figure 1.55
VNN¢
3 3
C NN
V =V +V ¢
1
VC VC2 VC3 V1 V2 V3
1 1
C NN
V =V +V ¢ VC2 =V2+VNN¢ VC3 =V3+VNN¢
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
La construction vectorielle correspondante, pour la phase 3, par exemple, est représentée, sans échelle, sur la figure 1.56. On suppose pour cette construction, le vecteur connu.
3) Les tensions complexes , et sont connues. Pour pouvoir tracer les tensions , et il suffit donc de connaître le vecteur . Ceci est possible, par résolu-tion graphique. Connaissant les amplitudes des tensions , et , on peut tracer trois cercles de centre N et de rayons, ces amplitudes. L’intersection de ces trois cercles sera bien sûr le point N′, qui suffit à tracer le vecteur . Ceci fait, il suffit de faire trois cons-tructions analogues à celles de la figure 1.56 pour compléter le graphique.
On voit ainsi apparaître sur la figure 1.57 les vecteurs , et .
VNN¢
V3
Re Im
Vc3 VNN ′
N
Figure 1.56
V1 V2 V3
1
VC VC2 VC3 VNN¢
1
VC VC2 VC3 VNN¢
1
VC VC2 VC3
Re Échelles : Im
Tensions 100 V
N N′
239 V
174 V 291 V
V1 Vc1
V2 Vc2
V3 Vc3
Figure 1.57
4) On constate très nettement sur cette construction que la disparition du neutre a eu pour effet de déséquilibrer le système en tensions. En effet, les tensions , et ne sont plus de même amplitude et ne sont d’ailleurs plus déphasées de 120°. Le système triphasé obtenu n’a donc plus rien à voir avec un système triphasé équilibré en tension conventionnel.
5) En ajoutant les équations écrites à la question 2-2, on forme l’expression : , ainsi :
En remplaçant cette expression dans le système d’équations, on obtient le système suivant :
6) Non le système n’est pas soluble, on peut remarquer qu’une des trois équations peut être déduite des deux autres en utilisant le fait que :
Ainsi, sur trois équations, deux seulement peuvent servir à la résolution, ce qui est insuffisant puisqu’il y a trois inconnues. On peut tout aussi bien calculer le déterminant de la matrice des coefficients du système, c’est-à-dire :
7) La loi des nœuds au point N′ s’écrit tout simplement : c’est-à-dire, en fonction des tensions :
8) Le système d’équations soluble est donc le suivant, en prenant les deux premières équa-tions de maille et cette dernière.
soit
En utilisant l’expression de correspondant à la troisième équation, on se ramène au système de deux équations à deux inconnues suivant :
1
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Il suffit maintenant de diviser les équations par les coefficients de et de les soustraire pour obtenir :
en simplifiant, on obtient :
soit :
Pour obtenir les expressions de et il suffit de faire une permutation circulaire des indices, c’est-à-dire de remplacer 1 par 2, 2 par 3 et 3 par 1.
On peut d’ailleurs vérifier simplement que cette opération conserve les trois équations du système.
9) La méthode utilisée est évidemment très lourde et incontestablement source d’erreurs de calcul. En bref, la résolution algébrique d’un système de charges triphasées déséquilibrées sans neutre est un petit peu « infernale ».
Une méthode plus rapide et plus fiable si on possède un outil de calcul mathématique (Matlab, Scilab, etc.) est d’inverser la matrice correspondant au système d’équations :
3 3
c’est-à-dire que si
alors :
Pour finir, il existe une méthode plus générale de résolution de ces systèmes qui consiste en un changement de base. Cette méthode consiste en l’utilisation des composantes symétriques.
➤ Partie 3 : Réalité des déséquilibres dus aux inductances de fuites des transformateurs
1) Le calcul des éléments équivalent se fait naturellement à partir de l’identification des puis-sances actives et réactives consommées par les charges. Comme les éléments équivalents sont demandés sous la forme série, il suffit d’écrire :
et avec
ainsi : et
2) On procède de la même manière mais cette fois en monophasé sur chaque phase.
Pour plus de clarté, on présente tous les résultats sous la forme du tableau 1.3 :
3) Sur chaque phase, on trouve au niveau des charges, une impédance en paral-lèle avec l’impédance .
Tableau 1.3
Charges Tri Phase 1 Phase 2 Phase 3
P
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Le schéma équivalent est conforme à celui de la figure 1.58.
Il suffit alors de former les impédances équivalentes :
, et
c’est-à-dire :
On obtient, après calcul :
et
Sachant que l’inductance de valeur L=1 mH est équivalente à une impédance : , le schéma équivalent final est donc simplement celui de la figure 1.59.
4) Pour calculer ces tensions, il suffit d’appliquer la formule du pont diviseur de tension aux impédances mises en évidence pour aboutir à :
Z1 = 1,6 + j · 0,5
et
il est inutile de calculer l’expression complexe finale, il suffit à présent de passer aux modules, c’est-à-dire d’écrire :
et
5) On constate que les tensions aux bornes des charges ne sont équilibrées. ainsi, bien que le neutre soit relié, le système triphasé est déséquilibré en courant et en tension. Il faut donc retenir que les déséquilibres en courant des systèmes triphasés ont des conséquences sur les valeurs et les déphasages des tensions, ce qui est à bannir. Voilà pourquoi les sociétés produc-trices d’énergie électrique font tout pour que le réseau soit globalement équilibré.
1
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