: Champ tournant, Théorème de Ferraris

On considère la structure de principe d’un stator de machine à courant alternatif triphasé représentée sur la figure 5.9.

Re Im

I

j · X_S · I V

E

O

M

ϕ

Im

I V

E

O

M

Im

I V

E

O

M

j · X_S · I ϕ j · X_S · I

déphasage arrière cosϕ = 1 déphasage avant

Figure 5.8 Maîtrise du déphasage du courant de l’alternateur à puissance constante.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Les trois bobinages portent les noms conventionnels A, B, C et on s’intéresse à la valeur de l’induction produite en leur centre O lorsqu’ils sont parcourus par les courants suivants :

On suppose le matériau magnétique sur lequel sont disposés les bobinages linéaire. On suppose également que l’induction magnétique B_a(θ) produite au point O par le bobi-nage A dans la direction d’axe θ s’écrit, de façon très simplifiée,

1) Écrire les inductions produites au point O par les bobinages B et C : B_b(θ) et B_c(θ).

2) Calculer alors l’expression littérale de l’induction B(θ) crée au point O par l’ensemble des trois bobinages, toujours dans la direction d’axe θ, en fonction de k, i_a, i_b, i_c et θ.

3) Exprimer alors B(θ, t) en remplaçant les courants par leurs expressions et en simplifiant au maximum l’écriture obtenue. Décrire alors la direction, la vitesse de rotation et l’amplitude de cette induction. Énoncer alors le théorème de Ferraris.

Que deviennent ces caractéristiques si on inverse les courants i_b et i_c?

4) Quelle est la valeur de la vitesse de rotation N (tr/min) du champ correspondant à des courants à 50 Hz ?

On suppose maintenant qu’un rotor aimanté, d’induction axiale B_r, présentant deux pôles (Nord et Sud), et tournant à la vitesse Ω, est placé au centre de la machine, comme le représente la figure 5.10, mais sans modifier la linéarité magnétique de l’ensemble. On appelle ψ l’angle entre l’axe d’induction maximale du rotor et l’axe d’angle θ d’induction maximale du stator.

i_a

i_b

i_c O

+ θ

A

C B

Figure 5.9.

ω ω π

ω π ÏÔ = ◊ ◊

ÔÔÔ = ◊ ◊ Ê - ˆ

Ì ÁË ˜¯

ÔÔ = ◊ ◊ Ê + ˆ

Ô ÁË ˜¯

ÔÓ

2 cos( ) 2 cos 2

3 2 cos 2

3

a

b

c

i I t

i I t

i I t

θ = ◊ ◊ θ

( ) cos

a a

B k i

5) Quelle est l’expression du couple magnétique qui s’applique sur le rotor en fonc-tion de B_r, B(θ) et ψ? Quelle condition sur la vitesse Ω permet d’obtenir une valeur moyenne non nulle de ce couple ?

6) Dans ces conditions, quelle est la valeur de l’angle ψ correspondant à la valeur maximale du couple ? Que se passe-t-il si l’angle ψ dépasse cette valeur ?

7) Le stator présenté ici comportait une paire de pôles par phase (un Nord un Sud), il est possible de multiplier ce nombre par un facteur p appelé « nombre de paires de pôles ». Cette opération consiste en des dédoublements et des déphasages géométri-ques des bobinages de chaque phase. Dans ces conditions l’induction produite par le

stator s’écrit : . Quelle est alors la vitesse de

rotation N (tr/min) du champ tournant en fonction de la fréquence ? Donner les valeurs des vitesses correspondant à p = 2, p = 3 et p = 4

Exercice 5.2 : Alternateur

On considère un alternateur triphasé, à excitation constante, entraîné par une turbine.

Cet alternateur tourne à vide à la vitesse N = 1 500 tr/min et délivre alors un système de tensions triphasées de tension simple V_O = 230 V et de fréquence 50 Hz. La résis-tance d’un bobinage du stator est connue : R = 1Ω

1) Calculer le nombre de pôles de l’alternateur.

2) On connecte sur cet alternateur une charge équilibrée résistive consommant une puissance P = 2 kW. La tension aux bornes des charges chute alors à la valeur V = 220 V. Calculer la valeur du courant de ligne circulant sur chaque phase.

3) Calculer la valeur de la puissance fournie par la turbine et le rendement de l’alter-nateur.

i_a

i_b

i_c ψ

+

A

B

C B_r

θ

B(θ)

Figure 5.10.

θ = 3◊ ◊ ◊ 2 ω - θ

( , ) cos( )

2

B t k I t p

f 2ω

= π

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

4) La turbine fournit, pour cette puissance un couple moteur : C_m = 13,3 Nm. Calculer alors la vitesse de rotation du moteur. En déduire la pulsation et la fréquence des tensions et des courants produits. Ces résultats sont-il normaux ?

5) Représenter le schéma monophasé équivalent à l’alternateur sur charge résistive.

On appellera L_s l’inductance synchrone de l’alternateur et on précisera la convention courant-tension choisie. Exprimer la relation de maille reliant les grandeurs électri-ques en notation complexe.

6) Représenter le diagramme de Fresnel relatif à cette équation de maille.

7) Calculer alors la valeur de l’inductance synchrone : L_s. Exercice 5.3 : Alternateur saturé

On étudie dans cet exercice un alternateur à pôles lisses et à rotor bobiné dont on a mesuré la force électromotrice en fonction du courant d’excitation. Le relevé des mesures de E(I_e), faites avec les trois phases couplées en étoile et à la vitesse de 3 000 tr/min, est disponible dans le tableau 5.1 :

L’alternateur présente une puissance apparente nominale de 250 kVA et une tension simple nominale de 230 V en étoile.

1) Représenter le schéma de couplage correspondant au couplage étoile de l’alterna-teur. Représenter également le schéma équivalent monophasé conforme au modèle de Behn-Eschenburg.

2) La fréquence des tensions de phase est de 50 Hz. Préciser alors le nombre de pôles de l’alternateur.

3) Calculer la valeur du courant nominal : I_n.

4) Le courant de court-circuit de l’alternateur atteint la valeur nominale calculée pour une valeur du courant d’excitation : I_e = 6 A. Calculer alors la valeur de la réac-tance synchrone X_s si on néglige la résistance des bobinages qui constituent les phases.

5) On connecte à présent l’alternateur à un ensemble de charges de facteur de puis-sance unitaire. Ces charges sont triphasées équilibrées et câblées en étoile sur l’alter-nateur. Quel est la valeur du courant d’excitation permettant de fournir 150 kW à l’ensemble des charges sous une tension entre phases de 400 V ? (On représentera un diagramme de Fresnel des grandeurs du schéma monophasé équivalent avant de commencer tout calcul.)

6) Même question si l’ensemble des charges présente un facteur de puissance de 0,8 AR. Le résultat obtenu en utilisant la valeur de X_s calculée est-il fiable ?

Tableau 5.1.

I_e (A) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

E(I_e) (V) 0 50 100 148 190 227 260 283 300 305 310 312 314

7) Représenter le schéma de couplage correspondant au couplage triangle de l’alter-nateur. Est-il possible, en jouant sur l’excitation, d’alimenter avec ce couplage des charges étoiles sous tension simple de 230 V ?