CORR´ELATIONS

(a) pose longue

(b) pose courte

Fig. 5.1:D´etail des constituants de la PSF pour une exposition longue de GD71(a)et une exposition

courte de HR7950 (b). La PSF comprend trois parties distinctes, le cœur d´ecrit par la gaussienne, les

ailes d´ecrites par la moffat et le fond de ciel d´ecrit par une constante.

Lors du premier ajustement de la fonction d’´etalement de point dite « libre » (i.e. sans corr´elations) sur l’´echantillon d’´etoiles standards, chacun des param`etres de forme est mod´elis´e par un polynˆome d’ordre 2 en longueur d’onde, ce qui semble compatible avec les donn´ees.

CHAPITRE 5. MOD`ELE ANALYTIQUE DE LA FONCTION D’´ETALEMENT DE POINT

reprend alors s´equentiellement l’ajustement en fixant successivement les corr´elations (lin´eaires ou non) entre les diff´erents param`etres et le « rayon » α de la Moffat.

Les corr´elations chromatiques sont calcul´ees `a partir des ajustements 2D de chaque ´etoile de l’´echantillon sur une douzaine de m´eta-tranches de longueurs d’onde (∼ 200˚A pour la voie bleue et ∼ 350˚A pour la voie rouge).

5.3.1 α (rayon de la Moffat) vs. β (exposant de la Moffat)

La relation entre les param`etres α et β de la Moffat est celle qui montre la corr´elation la plus forte, c’est donc naturellement la premi`ere `a ˆetre fix´ee. Les ajustements lin´eaires peuvent ˆetre vus sur les figures5.2et5.3, o`u sont d´etaill´ees les corr´elations pour les poses longues et les poses courtes dans les deux voies. Sur ces figures, on montre l’importance des erreurs en comparant les corr´elations obtenues par ajustement des moindres carr´es (sans erreur) et l’ajustement de χ2 (pond´er´e).

Des effets chromatiques de l’ordre de 10 pourcent autour de la moyenne calcul´ee peuvent ˆetre remarqu´es sur la figure5.4. En premi`ere approximation nous avons choisi d’ignorer ces effets, et donc de ne pas introduire de d´ependance chromatique. De plus, pour limiter le nombre de degr´es de libert´e, on choisi ´egalement d’utiliser la mˆeme constante de chromaticit´e pour les deux voies. Le param`etre β une fois fix´e ne d´epend donc plus que du rayon α(λ) de la Moffat et de deux constantes de corr´elation lin´eaire β0et β1. La d´ependance chromatique sera incorpor´ee dans une nouvelle ´etude en cours.

5.3.2 α (rayon de la Moffat) vs. σ (rayon de la gaussienne)

Une fois la corr´elation α vs. β fix´ee, on r´eajuste une nouvelle fois le lot d’´etoiles standards utilis´e pr´ec´edemment, avec β comme une fonction lin´eaire de α. `A partir de ces nouveaux ajustements, on s’int´eresse au lien entre la largeur de la gaussienne et le rayon de la moffat, et donc `a la corr´elation entre α et σ. Les ajustements dans plusieurs tranches de longueurs d’ondes peuvent ˆetre vus sur les figures 5.5et5.6. La corr´elation σ(α) bien que moins prononc´ee que la pr´ec´edente reste significative.

En ce qui concerne les effets chromatiques pr´esent´es sur la figure 5.7, leur amplitude est de l’ordre de 10 pourcent autour de la moyenne mais sans tendance syst´ematique et nous avons choisi de les n´egliger en premi`ere approximation. Bien que l’effet soit parfaitement visible, on d´ecide ´egalement de ne pas ajuster la chromaticit´e par voie (B et R), mais d’utiliser la moyenne pond´er´ee sur l’ensemble du spectre (pointill´es noirs). Le param`etre σ une fois fix´e ne d´epend donc plus que du rayon α(λ) de la Moffat et de deux constantes de corr´elation lin´eaire σ0 et σ1. 5.3.3 α (rayon de la moffat) vs. η (poids relatif des fonctions gaussienne/Moffat)

La derni`ere corr´elation concerne le param`etre η qui assure l’´equilibre entre l’intensit´e de la gaussienne et de la Moffat. Cette corr´elation est d’autant plus n´ecessaire qu’elle l`eve la quasi d´eg´en´erescence de la fonction entre les composantes gaussiennes (cœur du profil) et Moffat (ailes). Comme pour les sections pr´ec´edentes, les figures 5.8 et 5.9 d´etaillent les corr´elations entre α et η. L’absence (ou plutˆot le faible niveau) de la corr´elation que l’on peut remarquer sur la figure peut justement s’expliquer par la quasi d´eg´en´erescence ´evoqu´ee plus tˆot, il est donc n´ecessaire de fixer le param`etre η en fonction de α.

De la mˆeme mani`ere que pour les corr´elations pr´ec´edentes, on n´eglige les effets chromatiques vus sur la figure5.15(dispersion de l’ordre de 20% autour de la moyenne sur la voie rouge pour

5.3. CORR´ELATIONS

(a) voie B, poses courtes

(b) voie R, poses courtes

Fig. 5.2:Corr´elations α vs. β pour les poses courtes dans les vois bleue(a)et rouge(b). La droite noire en pointill´es correspond `a un ajustement lin´eaire (moindres carr´es) sans tenir compte des erreurs sur les

points alors que la droite verte correspond `a l’ajustement (χ2) en tenant compte des erreurs sur α et sur

β.

les poses longues) et on utilise la chromaticit´e moyenne pond´er´ee sur l’ensemble du spectre. A nouveau, cette d´ependance manifeste sera prise en compte ult´erieurement.

5.3.4 R´esultats

En fixant successivement les diff´erentes corr´elations on arrive au syst`eme d’´equations suivant qui relit l’ensemble des param`etres de forme de la PSF au rayon α(λ) de la Moffat.

CHAPITRE 5. MOD`ELE ANALYTIQUE DE LA FONCTION D’´ETALEMENT DE POINT

(a) voie B poses longues

(b) voie R poses longues

Fig. 5.3:Corr´elations α vs. β pour les poses longues dans les vois bleue(a)et rouge(b). La droite noire en pointill´es correspond `a un ajustement lin´eaire (moindres carr´es) sans tenir compte des erreurs sur les

points alors que la droite verte correspond `a l’ajustement (χ2) en tenant compte des erreurs sur α et sur

β.

β(α) = β₀+ β_{1× α} (5.2)

σ(α) = σ0+ σ1× α (5.3)

η(α) = η0+ η1× α (5.4)

Les valeurs des diff´erents coefficients des corr´elations lin´eaires sont pr´esent´ees dans la table5.3.4. Une fois les corr´elations lin´eaires fix´ees, on peut r´e´ecrire l’´equation (5.1) en utilisant les

5.3. CORR´ELATIONS

(a) poses courtes

(b) poses longues

Fig. 5.4:Chromaticit´e de la corr´elation α vs. β pour les poses courtes(a)et pour les poses longues(b). Les chromaticit´es moyennes pour les voies B et R sont trac´ees respectivement en bleue et en rouge. La chromaticit´e globale utilis´ee est trac´ee en pointill´es noirs.

Tab. 5.1: Valeurs des coefficients de corr´elation lin´eaire avec α pour les param`etres de la PSF

β, σ et η.

expositions β₀ β₁ σ₀ σ₁ η₀ η₁

longues 0.27 0.64 0.45 1.40 -0.03 0.91 courtes 0.23 0.62 0.47 1.39 0.11 0.58

CHAPITRE 5. MOD`ELE ANALYTIQUE DE LA FONCTION D’´ETALEMENT DE POINT

(a) voie B, poses courtes

(b) voie R, poses courtes

Fig. 5.5: Mˆemes explications que pour la figure5.2mais pour la corr´elation α vs. σ.

relations (5.5), (5.3) et (5.4) afin d’obtenir un profil radial de PSF dont la forme ne d´epend plus que de α(λ) le rayon de la Moffat.

P SF(r) = N   (η0+ η1× α) × exp & −2(σ0+ σ^r1× α)² ( + _# ¹ 1 + r α² $β0+β1×α    (5.5) La PSF ainsi obtenue est un mod`ele robuste, comportant un seul param`etre de forme chro-matique α(λ), ajust´e sur les donn´ees SNfactory dont la forme varie avec le seeing et avec la focalisation du t´elescope (cf. § 5.5).

5.3. CORR´ELATIONS

(a) voie B poses longues

(b) voie R poses longues

Fig. 5.6: Mˆemes explications que pour la figure5.3mais pour la corr´elation α vs. σ.

Le comportement de la PSF est diff´erent selon si l’on observe une ´etoile `a exposition courte ou une ´etoile `a exposition faible, c’est pourquoi les corr´elations ont ´et´e trait´ees s´epar´ement pour ces deux cas. Dans un premier temps, nous avons ´egalement choisi de traiter les voies rouge et bleue ensemble (malgr´e les diff´erences ´evidentes observ´ees sur les figures de chromaticit´e des corr´elations). En effet, en premier lieu nous avons pr´ef´er´e tester l’expression de la PSF la plus simple possible pour s’assurer que notre mod`ele fonctionne, et d’ajouter des param`etres suppl´ementaires ult´erieurement pour tenir compte de la chromaticit´e.

CHAPITRE 5. MOD`ELE ANALYTIQUE DE LA FONCTION D’´ETALEMENT DE POINT

(a) poses courtes

(b) poses longues

Fig. 5.7:Chromaticit´e de la corr´elation α vs. σ pour les poses courtes(a)et pour les poses longues(b).