1.4 Techniques de corr´ elation d’images
1.4.2 Corr´ elation avec hypoth` eses cin´ ematiques et m´ ecaniques
Bas´ee sur des m´ethodes de d´etermination de flot optique [HOR 81], cette approche a ´et´e adapt´ee `a la corr´elation d’images r´ecemment [BES 06]. De nouveau, il est suppos´e que toute diff´erence entre les images f et g provient de l’effet du champ de d´eplacement u sur la structure. Il est alors possible d’´ecrire la relation suivante :
La r´esolution de l’´equation 1.41 ´etant un probl`eme inverse, l’objectif est simplement d’obtenir la meilleure approximation possible v du champ de d´eplacement u. Ce probl`eme inverse est r´esolu `
a l’int´erieur d’une r´egion Ω par minimisation de l’erreur globale du flot optique. La solution v est celle qui minimise au mieux la fonctionnelle ϕ2cor :
v(x) = Ar g Mi n (ϕ2cor) (1.42)
ϕ2cor(x) =
Z Z
Ω[f (x)− g(x + v(x))]2dx (1.43)
Pour r´egulariser cin´ematiquement ce probl`eme mal pos´e, le champ de d´eplacement v est d´ecompos´e sur une base de fonctions `a l’int´erieur de chaque r´egion Ω. ψn sont les fonctions de forme et αn les degr´es de libert´es associ´es aux fonctions ψn. Le champ v est d´ecompos´e comme suit :
v(x) =
∑
n
αnψn(x) (1.44)
Le choix de la d´ecomposition du champ de d´eplacement dans l’´equation 1.44 est une ´etape essentielle de la technique de corr´elation d’images pour laquelle il existe de nombreuses possibi-lit´es. Ces fonctions de forme ψn constituent en effet une biblioth`eque de solutions analytiques pond´er´ees par les degr´es αn pour obtenir la meilleure solution de d´eplacement v `a l’int´erieur de la zone Ω.
Choix de fonctions de forme ψn pour la d´ecomposition du d´eplacement
Quant au choix de cette d´ecomposition, il est possible par exemple d’utiliser des fonctions de forme de type ´el´ements finis [SUN 05, BES 06]. Cette approche, nomm´ee FE-DIC et pr´esent´ee en d´etail dans la section 3.1.1, suppose un champ de d´eplacement continu sur l’ensemble de la surface ´etudi´ee Ω. Si la structure est fissur´ee, il est possible a posteriori de rep´erer la position des fissures. Plus les zones Ω sont grandes et contiennent d’informations en termes de niveaux de gris, plus les incertitudes de mesure sont r´eduites (Fig.1.33). C’est le rapport entre les nombres de pixels et de degr´es de libert´e qui conditionne la qualit´e de la mesure.
Figure 1.32: Image d´eform´ee, d´eplacement vertical et carte d’erreur avec l’approche FE-DIC
en pr´esence de fissures dans du b´eton [ROU 09].
L’avantage principal de cette approche FE-DIC est son formalisme de type ´el´ements finis, qui permet une interface et un dialogue directs entre les simulations num´eriques et les techniques d’identification [CLA 04, HIL 06, ROU 08a, AVR 08, PER 09, LEC 09]. Mˆeme si cette m´ethode
Figure 1.33:Incertitudes avec l’approche FE-DIC en fonction de la taille des ´elements Q4 pour un essai de traction sur de l’aluminium [BES 06].
offre d’importantes r´eductions sur les incertitudes de mesures par rapport `a l’approche classique de corr´elation d’images, cela peut s’av´erer encore insuffisant pour l’´etude de mat´eriaux qui se d´eforment peu (ǫ≤ 10−3−10−4). Une autre limitation de cette m´ethode r´eside paradoxalement dans le fait qu’elle soit g´en´erale et qu’elle s’adapte `a de nombreux probl`emes m´ecaniques. Pour extraire une quantit´e recherch´ee, il est alors n´ecessaire de post-traiter un champ de d´eplacement mesur´e puisque cette m´ethode ne permet pas l’extraction directe de quantit´es m´ecaniques ou cin´ematiques pr´ecises tels le module de Young, le coefficient de Poisson, l’endommagement ou le facteur d’intensit´e des contraintes.
Il est donc possible d’utiliser d’autres fonctions de forme ψn qui introduisent des hypoth`eses cin´ematiques suppl´ementaires sp´ecifiques `a chaque type d’essai m´ecanique et de probl´ematique. Les quantit´es recherch´ees sont introduites en tant que degr´es de libert´e de la mesure. On parle alors d’approche int´egr´ee I-DIC (’Integrated-DIC’), dans le sens o`u la cin´ematique globale de l’es-sai est int´egr´ee a priori dans les fonctions de forme choisies. Ces derni`eres ann´ees, de nombreuses bases de fonctions ψn ont ´et´e propos´ees : pour une cin´ematique de poutres en flexion de type Cantilever avec une courbure lin´eaire [HIL 09], pour des poutres en flexion bas´ees sur des fonc-tions NURBS [R´ET 09a], pour un essai br´esilien [HIL 06] ou pour une cin´ematique de fissuration bas´ee sur les s´eries de Williams [ROU 06]. Cette derni`ere approche permet d’´evaluer pr´ecisement sur une image la position d’une fissure ainsi que les facteurs d’intensit´e des contraintes associ´es. D’importantes r´eductions des incertitudes de mesure sont possibles avec ces m´ethodes dites int´egr´ees. Par exemple, partant d’un maillage avec plusieurs milliers de degr´es de libert´e, il est possible de r´eduire le nombre d’inconnues `a moins de quinze pour la mesure [ROU 06, HIL 09]. Ces approches sp´ecifiques permettent d’obtenir les quantit´es m´ecaniques recherch´ees direc-tement `a partir des inconnues du probl`eme de corr´elation d’images. Le post-traitement ´etant minime, les incertitudes finales sont de nouveau r´eduites. Le potentiel de ces approches int´egr´ees de la corr´elation d’images est donc important pour la caract´erisation et l’identification de com-portements m´ecaniques.
La m´ethode d’´ecart `a l’´equilibre comme filtre m´ecanique
La section 1.4.2 a pr´esent´e diff´erentes approches de la corr´elation d’images et les hypoth`eses associ´ees sur la d´ecomposition de la cin´ematique globale de la structure. Une autre approche propos´ee derni`erement se base sur des hypoth`eses concernant le comportement m´ecanique du
mat´eriau [R´ET 09b]. En supposant connue la loi de comportement du mat´eriau, cette m´ethode filtre toutes les solutions `a partir de la m´ethode d’´ecart `a l’´equilibre. Tout solide en ´equilibre satisfait l’´equation locale suivante :
di v(σ) = 0 (1.45)
Transcrite dans un formalisme discret en ´el´ements finis, l’´equation 1.45 signifie que le vecteur des forces internes doit ˆetre ´egal `a celui des forces externes appliqu´ees :
{Fint} = {Fext} (1.46)
En l’absence de forces volumiques, le vecteur des forces ext´erieures{Fext} est nul partout sauf au niveau des fronti`eres. On appelle ¯
Fint
le vecteur des forces int´erieures pour l’ensemble des noeuds o`u le vecteur {Fext} est nul. L’´equilibre du solide est respect´e si ce vecteur F¯int est effectivement nul. Pour une solution du champ de d´eplacement v obtenue par l’approche FE-DIC (Sec.1.4.2), il est possible de calculer ¯
Fint
, puisque la loi de comportement reliant d´eformation et contrainte est connue. Il est donc propos´e d’ajouter `a la minimisation de la fonctionnelle ϕ2cor celle d’une seconde bas´ee sur l’´ecart `a l’´equilibre ϕ2mec :
ϕ2mec = 1 2 ¯ Fint T¯ Fint (1.47) Par rapport `a la fonctionnelle ϕ2cor, ϕ2mec est utilis´ee comme p´enalisation `a travers le param`etre λ. Une fonctionnelle totale ϕ2tot est alors construite :
ϕ2tot = ϕ2cor+ (1
λ− 1)ϕ2mec (1.48)
Pour d´eterminer la meilleure solution du champ de d´eplacement v , l’objectif est d´esormais de minimiser le r´esidu de corr´elation (Eq.3.6), p´enalis´e par celui de l’´equation d’´ecart `a l’´equilibre (Eq.1.47). Pour cette approche, il a ´et´e montr´e que les solutions obtenues par l’approche R-DIC ne d´ependent que tr`es peu de la valeur de λ (Fig.1.34). Toutes les solutions v qui ne respectent pas l’´equilibre du mat´eriau sont p´enalis´ees et disqualifi´ees par ϕ2mec. Au final, la solution obtenue est dite r´egularis´ee au sens de la loi de comportement indiqu´ee.
Figure 1.34: Influence du param`etre de p´enalisation λ sur la solution obtenue avec l’approche
R-DIC pour un essai de flexion entaill´ee [R ´ET 09b].
Cette approche permet d’obtenir directement les champs de d´eplacement et de contrainte `a la surface de la structure visualis´ee. Situ´ee `a la fronti`ere entre le num´erique et l’exp´erimental, cette approche de corr´elation d’images combin´ee `a la r´egularisation m´ecanique est nomm´ee dans ces travaux R-DIC (’Regularized Digital Image Correlation’).