Convolution et r´ egularisation

a support dans {x} est combinaison lin´eaire de δ_x et ses d´eriv´ees (utiliser l’exercice pr´ec´edent et un d´eveloppement de Taylor).

2.3 Convolution et r´ egularisation

Dans ce paragraphe, sauf mention explicite du contraire nous nous pla-cerons dans le cas de l’espace R^d tout entier et ce afin de ne pas avoir `a discuter des questions (parfois plus subtiles qu’il n’y parait) des domaines de d´efinition. Pour ϕ ∈ D(R^d) on d´efinit ˇϕ par ˇϕ(x) := ϕ(−x) pour tout x∈R^d. Pour T ∈ D⁰(R^d) on d´efinit alors ˇT ∈ D⁰(R^d) (sym´etrique deT) par

T , ϕˇ

=hT,ϕiˇ , ∀ϕ ∈ D(R^d).

Evidemment la d´efinition pr´ec´edente fait aussi sens sur un ouvert sym´etrique Ω. Pour h ∈ R^d et ϕ ∈ D(R^d) on note τ_hϕ la translat´ee de ϕ d´efinie par τ_hϕ(x) := ϕ(x+h),∀x∈R^d. PourT ∈ D⁰(R^d) on d´efinit alors la distribution translat´eeτhT ∈ D⁰(R^d) par

hτ_hT, ϕi=hT, τ−hϕi, ∀ϕ∈ D(R^d).

Lemme 2.9 Soit ϕ ∈ E(R^d×R^N) telle que tout r > 0 il existe M(r) > 0 tel que supp(ϕ(., y)) ⊂ B_d(M(r)) pour tout y ∈ B_N(r) et soit T ∈ D⁰(R^d).

L’application y∈R^N 7→ hT, ϕ(., y)i est de classe C^∞ sur R^N et l’on a

∂^α(hT, ϕ(., y)i) =

T, ∂_y^αϕ(., y)

, ∀α∈N^N, ∀y∈R^N.

Preuve:

Posons pour tout y ∈ R^N G(y) := hT, ϕ(., y)i. Soit h ∈ R^d et t ∈ R 6=

0, on a alors t⁻¹(G(y + th) −G(y)) = hT, t⁻¹(ϕ(., y+th)−ϕ(., y))i. On montre ais´ement sous les hypoth`eses pr´ec´edentes quet⁻¹(ϕ(., y+th)−ϕ(., y)) converge dans D(R^d) vers∇_yϕ(., y)·h de sorte queG est Gˆateaux d´erivable avecG⁰(y)(h) = hT,∇_yϕ(., y)·hi. Commey7→ ∇_yϕ(., y) est continue deR^N dans D(R^d), on en d´eduit queG est de classeC¹ et∇G(y) =hT,∇_yϕ(., y)i.

En it´erant l’argument pr´ec´edent, on obtient que Gest de classe C^∞ et

∂^αG(y) =

T, ∂_y^αϕ(., y)

, ∀α∈N^N, ∀y∈R^N. 2

Lemme 2.10 (Lemme fondamental du calcul int´egral) Soit T ∈ D⁰(R^d), ϕ ∈ D(R^d) et x∈R^d, on a :

hT, τxϕi − hT, ϕi= Z 1

0

hT, τtx∇ϕ·xidt.

Preuve:

Posons pour tout t ∈ [0,1] g(t) := hT, τtxϕi. Soit t ∈ (0,1) et h 6= 0 tel que t +h ∈ (0,1) on a alors h⁻¹(g(t + h)− g(t)) = hT, ψ_hi avec ψ_h = h⁻¹(τ_(t+h)xϕ−τ_txϕ) et il est facile de voir que ψ_h → τ_tx∇ϕ·x dans D(R^d) quand h → 0 de sorte que g est d´erivable (et mˆeme de classe C^∞) avec g⁰(t) =hT, τ_tx∇ϕ·xi. Ainsi

hT, τxϕi − hT, ϕi=g(1)−g(0) = Z 1

0

g⁰(t)dt = Z 1

0

hT, τtx∇ϕ·xidt.

2

On cherche maintenant `a d´efinir la convolution d’une distribution et d’une fonction-test et ce, ´evidemment de mani`ere `a ´etendre la convolution des fonc-tions telle que d´efinie au d´ebut de ce chapitre. Soit f ∈L¹_loc pourg ∈ D,f ? g est la fonction C^∞ d´efinie pour toutx∈R^d par :

(f ? g)(x) = Z

R^d

f(y)g(x−y)dy=h{f}, g(x−.)i=h{f}, τ−xgiˇ , ∀x∈R^d. Une premi`ere strat´egie pour d´efinir T ? g (avec T ∈ D⁰ et g ∈ D) est donc de consid´erer (T ? g) comme la fonction x 7→ hT, τ−xgiˇ (qui, en vertu du lemme 2.9 est C^∞). Revenant au cas f ∈L¹_loc, on peut aussi consid´erer f ? g

comme une distribution c’est `a dire `a partir de son action sur les fonctions-test ϕ∈ D :

h{f ? g}, ϕi= Z

R^d

ϕ(x) Z

R^d

f(y)g(x−y)dydx

= Z

R^d

f(y) Z

R^d

ϕ(x)ˇg(y−x)dxdy=h{f},g ? ϕiˇ .

Ce qui sugg`ere une deuxi`eme strat´egie pour d´efinir T ? g comme une dis-tribution. Nous verrons un peu plus loin qu’en fait ces deux points de vue co¨ıncident.

D´efinition 2.8 Soit T ∈ D⁰(R^d) et g ∈ D(R^d). On d´efinit la convol´ee de T et de g en tant que fonction C^∞ (i.e. (T ?₁g)∈ E(R^d)) par :

(T ?₁g)(x) :=hT, τ−xgiˇ , ∀x∈R^d.

On d´efinit la convol´ee de T et de g en tant que distribution (i.e. (T ?2 g)∈ D⁰(R^d)) par :

h(T ?₂g), ϕi:=hT,g ? ϕiˇ , ∀ϕ ∈ D(R^d).

En posant G := Z^d l’ensemble des points de R^d `a coordonn´ees enti`eres, un exercice standard sur les sommes de Riemann, laiss´e au lecteur, donne Lemme 2.11 Soit F ∈Cc(R^d×R^d), et soit

f(y) :=

Z

R^d

F(x, y)dx, f_ε(y) := ε^dX

x∈G

F(εx, y), ∀ε >0, ∀y∈R^d alors f_ε converge uniform´ement vers f.

Pourg et ϕ dans D(R^d), on d´eduit facilement du lemme pr´ec´edent que ε^dX

x∈G

τ−εx ˇg ϕ(εx)→g ? ϕˇ dans D(R^d) (2.13) quand ε → 0. Ceci permet de conclure que les deux notions de convolution d´efinies plus haut co¨ıncident :

Lemme 2.12 Soit T ∈ D⁰(R^d) et g ∈ D(R^d), on a {T ?₁g}=T ?₂g.

Preuve:

Soit ϕ ∈ D(R^d), on a d’abord h{T ?1g}, ϕi=

Z

R^d

hT, τ−xˇgiϕ(x)dx= lim

ε→0ε^dX

x∈G

hT, τ−εxˇgiϕ(εx).

Par continuit´e et lin´earit´e de T, on a ensuite en utilisant (2.13) : lim

ε→0⁺

* T,X

x∈G

ε^dτ_−εxˇg ϕ(εx) +

=hT,ˇg ? ϕi=hT ?₂g, ϕi. 2

Evidemment par la suite, nous noterons la convolution de T ∈ D⁰(R^d) et g ∈ D(R^d) simplement sous la forme T ? g.

Lemme 2.13 Soit T ∈ D⁰(R^d), g ∈ D(R^d) et α∈N^d, on a alors

∂^α(T ? g) =∂^αT ? g =T ? ∂^αg.

Preuve:

Soit ϕ ∈ D(R^d), on a

h∂^α(T ? g), ϕi= (−1)^|α|hT,ˇg ? ∂^αϕi= (−1)^|α|hT, ∂^α(ˇg ? ϕ)i=h∂^αT ? g, ϕi. et donc ∂^α(T ? g) = ∂^αT ? g. Pour l’autre identit´e, on remarque que ∂ˇ^αg = (−1)^|α|∂^αˇg et donc

h∂^α(T ? g), ϕi= (−1)^|α|hT, ∂^αg ? ϕ)iˇ =

T,∂ˇ^αg ? ϕ

=hT ? ∂^αg, ϕi. 2

Lemme 2.14 Soit T ∈ D⁰(R^d), g ∈ D(R^d) et α∈N^d, on a alors supp(T ? g)⊂supp(T) + supp(g).

Preuve:

Soit ω un ouvert inclus dans R^d\(supp(T) + supp(g)) et ϕ ∈ D(R^d) avec supp(ϕ) ⊂ ω; il s’agit de montrer que hT ? g, ϕi = 0. Or hT ? g, ϕi = hT,g ? ϕiˇ et supp(ˇg ? ϕ)⊂ω−supp(g)⊂R^d\supp(T) et donchT ? g, ϕi= 0.

2

Le lemme pr´ec´edent montre que si S ∈ E⁰(R^d) etϕ ∈ D(R^d) alors S ? g∈ D(R^d) ce qui permet de d´efinir le produit de convolution de deux distributions dont l’une est `a support compact S ∈ E⁰(R^d) et T ∈ D⁰(R^d) par

hT ? S, ϕi=

T,S ? ϕˇ

, ∀ϕ ∈ D(R^d).

On a alors E⁰ ?D⁰ ⊂ D⁰ et E⁰?E⁰ ⊂ E⁰. Notons aussi que T ? δ₀ = T pour tout T ∈ D⁰(R^d). En utilisant le fait que S?S ⊂ S et en d´efinissant pour T ∈ S⁰etg ∈ Sla convolution deT ?gcomme pr´ec´edemment (i.e.hT ? g, ϕi= hT,g ? ϕiˇ , ∀ϕ∈ D(R^d)) il est facile de voir qu’en fait cette d´efinition co¨ıncide avec la convolution de T et g en tant que fonction ((T ? g(x)) := hT, τ−xgiˇ pour tout x) et queT ? g ∈ S⁰∩ E. Enfin, pour m∈Mloc(R^d) et ϕ ∈Cc(R^d) la convolution de m etϕ est la fonction continue d´efinie par :

(m ? ϕ)(x) :=

Z

R^d

ϕ(x−y)dm(y).

Lemme 2.15 Soit T ∈ D(R^d)et (ρ_ε)_ε une famille r´egularisante alors T ? ρ_ε converge vers T dans D⁰(R^d) quand ε→0⁺.

Preuve:

Soit ϕ ∈ D(R^d) on a

hT ? ρ_ε, ϕi=hT,ρˇ_ε? ϕi

et on conclut en utilisant le fait que ˇρ_ε? ϕ converge vers ϕ dans D(R^d). 2 Comme T ? ρε ∈ E(R^d), on d´eduit du lemme pr´ec´edent que E(R^d) est s´equentiellement dense dans D⁰(R^d). Par des argument classiques de tronca-ture, on en d´eduit le r´esultat de densit´e suivant :

Th´eor`eme 2.2 Soit Ω un ouvert de R^d alors D(Ω) est s´equentiellement dense dans D⁰(Ω).

Preuve:

Soit K_n une suite exhaustive de compacts de Ω, η_n ∈ D(Ω) avec supp(η_n)⊂ K_n+1 et η_n ≡ 1 sur K_n et soit ρ_n une suite r´egularisante telle qu’en outre supp(ρ_n) + K_n+1 ⊂ Ω. Soit T ∈ D⁰(Ω) et T_n := (η_nT) ? ρ_n, on a alors T_n∈ D(Ω) et T_n converge versT dans D⁰(Ω) quandn→+∞. 2

Lemme 2.16 (Lemme de Dubois-Reymond) Soit T ∈ D⁰(Ω) telle que ∇T soit une fonction continue alors T est une fonction de classe C¹ et ses d´eriv´ees premi`eres au sens des distributions et au sens classique co¨ıncident.

Preuve:

Notons ∇T = {G} (avec G continue sur Ω). Soit x₀ ∈ Ω et r > 0 tels que B(x₀, r) ⊂ Ω, soit r₀ ∈ (0, r) et ε ∈ (0, r−r₀). On peut alors d´efinir T_ε:=ρ_ε?T `a la fois comme distribution surB(x₀, r₀) (´etant entendu que l’on prolonge par 0 en dehors de B(x₀, r₀) les fonctions-test de D(B(x₀, r₀))) et comme fonction C^∞ sur B(x₀, r₀). En particulier surB(x₀, r₀), on a ∇T_ε = G_ε =ρ_ε? G, de sorte que pour toutx, y dans B(x₀, r₀), on a :

T_ε(y)−T_ε(x) = Z 1

0

G_ε(x+t(y−x))·(y−x)dt. (2.14) Comme r₀+ε < r, et G est born´ee surB(x₀, r), on a aussi

sup

B(x0,r0)

|G_ε| ≤ sup

B(x0,r)

|G|:=K <+∞. (2.15) On d´eduit de (2.16) et (2.15) que T_ε est une famille ´equilipschitzienne sur B(x₀, r₀). Comme T_ε converge dans D⁰(B(x₀, r₀)) il est facile d’en d´eduire queT_εest uniform´ement born´ee surB(x₀, r₀) (sans quoi il existerait une sous suite qui convergerait uniform´ement vers +∞ou−∞ce qui est incompatible avec la convergence des int´egrales R

B(x0,r0)T_εϕ avec ϕ ∈ D(B(x₀, r₀))). On d´eduit donc du th´eor`eme d’Ascoli qu’il existe une suite ε<sub>n</sub> tendant vers 0 telle que Tn := Tεn converge uniform´ement sur B(x0, r0) vers une fonction continue f. On a ´evidemment h{f}, ϕi = hT, ϕi pour tout ϕ ∈ D(Ω) avec supp(ϕ)⊂ B(x<sub>0</sub>, r<sub>0</sub>) de sorte que T co¨ıncide avec une fonction continue sur B(x0, r0). Enfin, en passant `a la limite dans (2.16), on obtient que pour tout x, y dans B(x₀, r₀), on a :

f(y)−f(x) = Z 1

0

G(x+t(y−x))·(y−x)dt (2.16) de sorte que f est de classe C¹ et∇f =GsurB(x₀, r₀). Le r´esultat cherch´e

´

etant de nature locale, sa preuve en est achev´ee.

2

Comme corollaire imm´ediat du r´esultat pr´ec´edent, on a :

Lemme 2.17 SoitΩun ouvert connexe deR^detT ∈ D⁰(Ω)telle que∇T = 0 alors il existe une constante C telle que T ={C}.

Exercice 2.6 Montrer que S ne poss`ede pas d’´el´ement neutre pour ?.

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