Contacts cohésifs

Dans de nombreux matériaux granulaires, les forces de cohésion entre grains sont signicatives. Trois catégories de forces cohésives sont distinguées selon leur origine phy- sique : les forces électrostatiques, signicative pour les petits grains (<100 µm), les forces capillaires pour les grains humides et les forces de type ponts solides pour les grains frittés. Le plus souvent, les interactions cohésives entre grains s'expriment par une force normale d'adhésion Na _{qui s'oppose à la répulsion élastique. Elles donnent lieu à une}

résistance du contact à la traction Nc _{ainsi qu'à une déection normale d'équilibre h}c

pour laquelle la répulsion élastique compense la force d'adhésion. La gure 2.3 trace la forme des modèles de cohésion les plus courants, qu'ils soient expérimentaux, théoriques ou simplement utilisés dans des simulations numériques.

Forces électrostatiques

Le premier type de cohésion entre grains est dû à l'existence de forces électrostatiques entre molécules, telles que les forces de Van der Waals [195, 100, 101, 69], qui tendent

S eff 1 S eff 2 >S eff 1 S app N N 1 N 2 >N 1

Fig. 2.2  Déformation plastique des aspérités : la surface eective Sef f du contact est

inférieure à la surface apparente Sapp et augmente avec la force normale N maximale qui

a été imposée.

à rapprocher deux surfaces solides en contact. Ces forces n'interviennent que lorsque la distance entre les surfaces est susamment faible (distance moléculaire) et ne sont signicatives que pour des grains assez ns, tels que les poudres [167, 157] ou les particules dites du troisième corps en tribologie [90]. Si la formulation complète de ces forces est complexe, plusieurs modèles théoriques simples ont été proposés pour les décrire dans le cas d'un contact entre deux sphères.

Le modèle DMT [51] considère que seules les molécules en périphérie de la surface de contact sont responsables de l'adhésion. Ce modèle se place dans le cas où la force d'adhésion est susamment faible comparée à la répulsion élastique, de sorte que la surface du contact ne soit que peu modiée et reste proche de celle décrite par Hertz. Il en résulte une formulation simple qui oppose à la répulsion de Hertz une force d'adhésion constante Na_{(h) = N}

c(Figure 2.3 (a)) :

N = knh

3

2 − N_c. (2.3)

Inversement, le modèle JKR [95] considère que les molécules responsables de l'adhé- sion sont présentes uniquement au sein de la surface en contact. Ce modèle se place dans le cas où la force d'adhésion est assez forte comparée à la répulsion élastique, de sorte que la surface du contact soit signicativement modiée par rapport à celle décrite par Hertz. Il en résulte une formulation qui oppose à la répulsion de Hertz une force d'adhésion Na

proportionnelle à la surface en contact. Mais la relation entre cette surface de contact et la déection normale h est implicite et ne permet pas une écriture simple. La gure 2.3 (a) trace cette fonction Na_{(h), mais son expression exacte n'est pas donnée ici par souci}

de concision. Il faut remarquer que ce modèle ne se contente pas d'opposer une force d'adhésion à la répulsion élastique, il rend aussi compte de la formation d'un pont solide dès la formation du contact (hf = 0) qui relie les grains jusqu'à une distance de rupture

-1 0 1 2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 h/h c h/h c N/N c N/N c N/N c h r =h f N/N c h/h c h f h r (c) (d) (b) h r (a) h/h c

Fig. 2.3  Les principaux modèles de cohésion : la force normale N est normalisée par la résistance maximale à la traction Nc_{et la déection h par la deéction d'équilibre h}c_{. (a)}

modèles théoriques JKR [95] (- -) et DMT () [51] ; (b) modèle expérimental de pont liquide[149, 14] ; modèles utilisés en simulation numérique : (c) carré (- -) et triangulaire () [72, 99, 211], (d) plastique [118, 165].

hr < 0. Le modèle JKR donne ainsi lieu à une hystérésis entre les cycles de chargement

et de déchargement du contact qui se retrouvera dans d'autres modèles de cohésion (pont liquides, plastication).

Les modèles DMT et JKR sont les cas extrêmes de modèle de Maugis [123], plus complèt, qui considère que les molécules responsables de l'adhésion sont présentes à la fois au sein et à la périphérie de la surface en contact. Les modèles DMT et JKR, initialement théoriques, ont pu être vériés expérimentalement respectivement dans [87] et [83].

Ponts liquides

Le second type de cohésion, appelé cohésion capillaire, est lié à la présence de mé- nisques liquides entre des grains. Ce mode de cohésion est très répandu puisqu'il concerne tous les matériaux granulaires humides. Il a été caractérisé par diérentes études expéri- mentales [149, 14] et théoriques [53, 30]. Le ménisque se forme dès que les surfaces liquides entrent en contact, c'est à dire avant le contact entre la partie solide des grains (hf < 0).

Le ménisque tend alors à rapprocher les grains qui, une fois en contact, se repoussent. Pour rompre le contact, il faut étirer le ménisque jusqu'à sa distance de rupture hr < hf,

donnant ainsi lieu à une hystérésis entre les cycles de chargement et de déchargement du contact dans la zone hr< h < hf. Une expression simpliée de cette force d'adhésion est

[149] (Figure 2.3 (b)) : ( N = −Nc¡1 −_2rh¢ pour h 6 0, N = knh 3 2 − Nc pour h > 0, (2.4)

où r est le rayon de courbure du ménisque, et Nc _{la résistance maximale à la traction}

reliée à l'angle de mouillage α et la tension de surface γl du liquide : Nc = πdγlcos α.

L'angle de mouillage est souvent proche de 0◦ _{(mouillage total) et les valeurs typiques}

de la tension de surface varient entre 72 mN/m pour l'eau et 2 mN/m huile de silicone. La viscosité du liquide tend à s'opposer au mouvement relatif des deux grains [54].

La gure 2.3 (c) trace des formes simpliées de ce modèle souvent utilisées en simula- tion numérique bidimensionnelle [99, 211, 72]. L'hystérésis entre la distance de formation et celle de rupture du contact n'y est pas prise en compte.

Ponts solides

Le troisième mode de cohésion est lié à la formation de ponts solides entre les grains [47]. Ces ponts solides peuvent être formés par le gel d'un pont liquide [82], où lors du frittage, fréquent pour les poudres [128]. La formation et la croissance des ponts solides est généralement lente. Les caractéristiques mécaniques du contact sont celles d'un solide et font intervenir de nombreux paramètres tels que la résistance à la traction, à la compression, au cisaillement, et à la torsion.

Rôle de la rugosité, contact plastiques

Les aspérités jouent aussi un rôle déterminant dans le cas de grains cohésifs. Pour les poudres, les interactions de van der Waals, signicatives uniquement à courte portée, n'entrent en jeu qu'au niveau des aspérités en contact, et non plus sur toute la surface apparente [68, 202, 206]. Dans le cas de grains humides, diérents régimes de cohésion capillaires ont été identiés selon le taux de remplissage des aspérités [14]. Pour des volumes de liquides très faibles, les ménisques se forment entre les pointes des aspérités. En ajoutant du liquide, les ménisques remplissent l'espace entre deux aspérités et pour des quantités de liquide encore plus grande, le ménisque remplit toute la surface apparente du contact.

La déformation plastique des aspérités, due non seulement à la contrainte appliquée au contact mais aussi aux forces d'adhésion, conduit là encore à des phénomènes de vieillissement du contact [145, 146]. La gure 2.3 (d) trace un exemple de modèle de cohésion incluant la plasticité du contact utilisé en simulation numérique bidimensionnelle [118, 165].