De même, m Q étant conservé : 0394m ~ =

-0394m

J ^d’où | 0394m~| <

2J. Comme nous avons supposé ~0 » J, nous obtenons :

Ainsi les modifications apportées par l’interaction anisotrope au mouvement orbital sont

faibles en valeurs relatives. On _peut donc donner, pour chaque ~0, une expression approchée de

l’opéra-teur S, en supposant que son effet sur les variables angulaires orbitales est nul, donc qu’il est

pro-portionnel dans cet espace à l’opérateur unité

II

~0

.

Ce dernier peut s’écrire (cf. éq. (I.28)) :

et l’opérateur S prend la forme approchée :

(A un déphasage près :

e1~(~0,

E0) _{dû à la}

partie isotrope du potentiel et ne dépendant que de (~0, Eo),

s

(x)

q

(~

0

,

E0).

JJT(x)q

apparaît comme un opérateur n’agissant que sur l’espace des variables internes).

Comme précédemment, il suffit de calculer le carré de la norme de la projection de cet

opé-rateur S(E0) sur le sous-espace construit avec x fixé et nous obtenons :

35

-Si maintenant nous effectuons l’hypothèse d’une trajectoire classique, déterminée _par l’éner-gie E0 et le paramètre d’impact b (tel que 0~ = k0b), ~ est considéré comme une variable continue et non

plus discrète; on peut remplacer :

qui est la forme obtenue directement _{par A. OMONT}

(16)

dans l’hypothèse d’une trajectoire classique.

Rappelons que dans cette approximation le moment cinétique orbital de la collision n’est _pas modifié. La trajectoire est supposée être déterminée uniquement par la partie à symétrie sphérique du

potentiel, la partie anisotrope ne jouant un rôle important que sur le moment cinétique interne. Bien

entendu, le moment cinétique total du système n’est plus conservé.

C - TRAJECTOIRE CLASSIQUE

1) Introduction

Cette approximation consiste, dans le problème de collisions où le nombre d’ondes

partiel-les à considérer est élevé, à traiter classiquement le mouvement des noyaux. De plus, on supposera que

cette trajectoire classique est déterminée uniquement par la partie à symétrie sphérique du potentiel;

on néglige donc les variations du moment cinétique orbital. C’est donc l’approximation discutée au

paragraphe précédent à laquelle on ajoute l’hypothèse de trajectoire classique. Pour calculer celle-ci,

on néglige donc le couplage avec le moment cinétique atomique. Le mouvement de ce dernier est alors

déterminé à l’aide de l’équation de

Schrödinger,

le hamiltonien d’interaction

V(R; J)

étant fonction du

temps par l’intermédiaire des coordonnées nucléaires relatives

R(t)

représentant la trajectoire classique.

On peut noter que dans cette équation la partie scalaire du potentiel V0(R) introduit un

déphasage égal pour tous les niveaux et n’introduit aucune transition à l’intérieur de la multiplicité (2J+1) de l’état atomique (elle modifie cependant les cohérences optiques). Cet effet est facilement éliminé en passant en représentation d’interaction :

Si on désigne par A(t) le vecteur à (2J+I) composantes représentant l’état interne de l’atome,

en représentation d’interaction, (II.39) s’écrit :

où

VI(t)

désigne la partie anisotrope du potentiel et est représenté par une matrice carrée d’ordre (2J+I) (V

0

(t) étant proportionnel à la matrice unité commute avec toute la partie anisotrope du potentiel

VI).

2) Symétries du potentiel

Comme nous l’avons vu en (I-A-6),

VI(R;

J) est de la forme :

Nous avons décomposé ce potentiel au chapitre I en faisant apparaître le moment cinétique orbital ~ des atomes en collisions (I-b-2), et nous avons remarqué que seules les transitions 0394~ = 0, ± 2, ± 4, etc... étaient possibles. Cela n’était autre que l’expression de la conservation de la

parité. Nous allons voir _{que, dans} l’hypothèse de trajectoire classique, une propriété semblable

décou-lera de ce principe de conservation et d’expression simple si on prend comme axe de quantification la

direction du moment cinétique orbital (classique).

La trajectoire classique étant déterminée _par le potentiel à symétrie sphérique est plane

(conservation du moment cinétique orbital

~).

Soit Oz l’axe perpendiculaire au plan de la collision.

La trajectoire classique est celle de la particule réduite (cf. I-b-1) dans le potentiel V0(R) centré

à l’origine. Nous prendrons comme axe

Ox

l’axe dirigé vers la direction de la particule incidente,

0y

l’axe directement perpendiculaire. On désignera par

Ou

l’axe internucléaire dirigé de C vers la

parti-cule. Il est dans le plan x0y et sera repéré par l’angle

(0x, Ou)

= 03B8 (figure 1). La collision est

déterminée d’autre _{part par le} paramètre d’impact b et

l’énergie

cinétique du système.

La matrice représentant

TR(k)0

est obtenue à partir de celle représentant

T(k)0

d’abord _par

une rotation autour de

0y

d’angle 03B2 = 03C0/2 suivie d’une rotation 03B1 autour de

0z _d’angle

03B8.

et

kq*Y (03C0 2 ,

03B8 ) est nul si k-q est impair (MESSIAH

), (25

app. B, éq. 93 et 81), donc si _q est impair

dans notre problème.

T

R

(k)

0

pour k pair ne connecte donc que des niveaux de

0394mJpair.

La matrice représentant

VI

se décompose donc en deux sous-matrices carrées et l’équation de

Schrödinger

en deux équations séparées.

Si J est entier, l’une connecte les (J+1) états de même parité que J, l’autre les J états de parité

opposée. Si J est demi-entier, les deux sous-matrices carrées sont de dimensions égales (J +

1 2)

et

con-nectent l’une les états

m

J= 1 2

+ 2n (n entier

~ 0),

l’autre les états

mJ = - 1 2

+ 2n’ (n’

~ 0).

Remarque : Cette décomposition ne se produit que si l’axe de quantification est

perpendicu-laire au plan de la collision. Pour des collisions de directions quelconques, si on prend un axe de

quantification fixe dans l’espace (le même _pour toutes les collisions), cette propriété disparaît et

par rapport à cet axe, des transitions de

0394m

J

impair

(± 1, ±3) apparaissent.

Cette "règle de sélection"

0394mJ

= 0, ±2, ±4, ... a été remarquée par différents auteurs dans

des calculs similaires

45) )(50)(38)(37(

en utilisant un référentiel lié aux paramètres de la collision. L’oubli de la moyenne angulaire à effectuer sur toutes les directions _pour exprimer les résultats dans

un référentiel fixe dans l’espace conduit à des prévisions erronées

(108).

3) Solution formelle. Développement de MAGNUS

L’équation de

Schrödinger

(II.40) admet comme solution formelle le développement :

En définissant l’opérateur s par :

nous obtenons :

où

_{désigne l’opérateur} d’ordre par rapport au temps. Sa présence est nécessaire car les valeurs du

hamiltonien d’interaction prises à deux instants différents ne commutent pas. Le développement (II.44) présente l’inconvénient suivant : si on le tronque ^à un ordre quelconque en

V

I

,

la matrice s obtenue

n’est _pas unitaire.

Un autre développement qui garantit automatiquement l’unitarité de s utilise la formule de MAGNUS

(49)

38

-pour les premiers termes du développement.

Ce développement met bien en évidence le rôle des commutateurs. De plus, tronqué à quelque

terme du développement de M _que ce soit, l’opérateur reste unitaire. Enfin, un développement suivant

l’ordre du potentiel de l’opérateur

eM

_tronqué à l’ordre n (M1 + ... +

M

n

)

donne les n premiers termes

du développement (II.44).

4)

Cas particulier J = 1. Mercure niveau 63P1

Nous allons expliciter l’équation de

Schrödinger

dans le cas où J = 1. Dans ce cas, l’état

m

J

=

^{0 n’est relié à} aucun autre état et les deux états

m

J

=

^{±1 sont couplés. Seule} une interaction

ten-sorielle d’ordre 2 les couple. L’opérateur

11T(2)0

est représenté par la matrice 3 3 :

et

TR(2)0

en explicitant (II.41) s’écrit :

Dans le document Etude théorique et expérimentale de la relaxation du niveau 6^3P_1 du mercure (isotopes pairs et impairs) par collisions contre des atomes de gaz rares (Page 49-54)