03BB étant unitaire - Etude théorique et expérimentale de la relaxation du niveau 6^3P

La condition m = 0 signifie physiquement que, dans ce cas particulier, la projection du

moment orbital sur Oz est nulle comme nous l’avons dit plus haut.

L’utilisation de (V.5) donne facilement :

où c est un coefficient de proportionnalité réel et positif indépendant de p. De même, pour la

polarisa-tion _03C0, la direction de l’onde _planeest déterminée _par

03B8k

= 03C0/2,

~k

= 0; seul 03BB0 est différent de 0 et

nous obtenons :

Le coefficient de proportionnalité c est le même _queprécédemment. Le vecteur

e

03BBétant

unitaire

03A3 03BBp 03BBp*

= 1; si on normalise le vecteur d’état du photon dipolaire électrique

correspondant,

à 1, on peut

prendre c = 1.

En conclusion : les coefficients

03BB

p

de la décomposition du vecteur polarisation

e03BBd’une

onde plane électromagnétique sont égaux aux coefficients

a de

la décomposition du vecteur d’état du

pho-ton dipolaire électrique sur la base correspondante. 2)

Matrice densité du rayonnement

Dans les processus qui nous intéressent le photon se comporte comme une particule de moment

angulaire j = 1. Nous décrirons donc son état au moyen d’une matrice densité 3 x 3 : 03A6. Désignons, comme

plus haut,

par |

p les états de base du vecteur d’état du photon (pour sa partie dipolaire électrique).

La matrice densité peut être décomposée suivant la base classique :

ou, suivant une base d’opérateurs tensoriels agissant dans l’espace du photon :

1103A6(k)

k ne peut prendre ici _{que les valeurs}0, 1 ou 2. Le _rayonnementdipolaire ne peut pas transporter des

118

On peut avoir besoin d’expliciter les composantes de la matrice densité en fonction de

celles du vecteur d’état du

photon | 03C8~

Ce vecteur d’état correspond, comme nous l’avons vu plus haut (V-B-1), à la partie dipolaire électrique d’une onde plane de polarisation

e03BBdéfinie

par :

Avec ces notations, nous obtenons :

Rappelons que

~pp

représente la population de

l’état | p

Cas d’un faisceau se propageant dans la direction Oz

Nous allons étudier et expliciter la matrice densité d’un photon dans certains cas utiles.

Tout d’abord _pourun photon, nous avons

~(0)0

1 3

Le photon n’ayant pas de composante de moment angulaire le long de sa direction de propagation :

- Un faisceau lumineux, même de lumière naturelle, a toujours une composante d’alignement non

nulle

le long de sa direction de propagation.

Pour k = 1 et k = 2, nous obtenons par (V.12) les autres composantes que nous avons

Faisceau se propageant suivant

Oz

Nous explicitons ci-dessous les valeurs de ces coefficients dans certains cas simples :

Polarisation circulaire :

Polarisation rectiligne :

La direction de polarisation

e03BBest

^déterminéepar l’angle ~

= (0x, e03BB).

Nous obtenons

Le tableau (V.14) rassemble certains cas intéressants expérimentalement. Les composantes nul-les ne sont pas incluses.

120

Nous explicitons aussi le cas d’une polarisation quelconque obtenue _parune lame biréfringente définie _parl’orientation de l’axe rapide OX : (Ox,

OX)

= 03C8,

le retard

de phase 03B8 de la vibration

parallè-le à OY sur celle parallèle à OX, enfin _parl’orientation d’un polariseur rectiligne situé avant la lame

biréfringente et repéré par son angle relatif avec la lame :

(OX, OP)

= ~.

A l’aide de ces expressions, on obtient les com-posantes de la matrice densité qui sont rassemblées

dans le tableau (V.15).

Faisceau se propageant dans une direction quelconque

Elle sera déterminée _parl’orientation du trièdre OXYZ transformé de Oxyz.

OZ

sera la direc-tion de propagation du faisceau. Les angles d’EULER caractérisant cette transformation seront désignés

par (03B1, 03B2. 03B3). Notons que 03B2 est

l’angle

entre Oz et OZ.

La matrice densité initiale (avant rotation) a la forme

Soit R =

R(03B1, 03B2, 03B3) l’opérateur unitaire de rotation; la matrice densité devient :

en appliquant la loi de transformation des opérateurs tensoriels irréductibles; d’où les _composantesaprès

Nous avons explicité, en appendice H, les valeurs de

q~k(03B1,

03B2, 03B3) et les avons calculé

pour les angles correspondant à un faisceau se propageant suivant les axes

Ox

Oy.

3) Détection

d’un faisceau

lumineux

Elle se fait dans nos expériences à l’aide d’une cellule photoélectrique ou d’un photomul-tiplicateur recevant la lumière d’une direction donnée. Un tel détecteur,seul, n’est sensible qu’à

l’inten-sité lumineuse et non à la polarisation. On peut le faire précéder par un système optique analyseur

(pola-riseur + lame biréfringente); un tel ensemble n’est alors sensible qu’à une polarisation

e03BBbien

déter-minée. Le signal reçu sera donc proportionnel à l’intensité de cette composante de polarisation. A cette

polarisation détectée correspond le vecteur d’état du photon dipolaire

électrique |

03BB > et sa matrice densité : A

= |

03BB > <

03BB |

. Si le faisceau incident sur le détecteur est caractérisé _{par la}matrice

densité 03A6, l’intensité détectée est proportionnelle à la valeur moyenne :

C’est une trace dans l’espace du photon.

En utilisant les décompositions :

En utilisant le fait _que

( 1103A6(k)q q = (-)+) 1103A6(k)-q,

nous obtenons (hermiticité de et ~) :

Nous voyons sur cette expression que si nous désirons obtenir un signal ne dépendant que du

paramètre

~kq,

il suffit d’avoir deux détecteurs dont les paramètres caractéristiques

k’q’(1)

k’

q’(2)

sont identiques, sauf _pourk’ = k, q’ =

122

Dans ces conditions, la différence des signaux n’est sensible qu’à

~kq :

De plus, si

k-q

est choisi réel, le

signal 0394I

D

est proportionnel à la partie réelle de ~

kq ;

k-q

est choisi imaginaire

pur, le signal

est proportionnel à la partie imaginaire de

~kq.

Ceci est

-très important pour le choix des signaux que l’on désire étudier.

Dans l’expression (V.24) et les précédentes, le signal

0394IDest

^celuique l’on obtient _pour un photon. Si l’intensité du faisceau est plus importante, il faut multiplier les expressions du type

(V.24) par ^{le nombre de}photons par unité de temps.

Bien entendu, cela suppose que les photons reçus ont la même énergie ou que le détecteur

n’y soit _pas(ou peu) sensible. En pratique, les signaux obtenus dépendent des sensibilités des détecteurs

qui ne sont pas identiques. Les causes en sont multiples : sensibilité de photocathode, de dynodes,

facteurs géométriques. Aussi un équilibrage ultérieur des sensibilités est toujours nécessaire de manière

à éliminer les signaux indésirables.

C - COUPLAGE RAYONNEMENT - SYSTEME ATOMIQUE

Processus d’absorption; excitation

Nous allons étudier le cas où l’état inférieur de la transition dipolaire électrique

consi-dérée est constitué d’un seul niveau de moment cinétique total

I

déterminé. Par absorption d’un photon,

de moment angulaire

J~,

l’atome est excité dans un état de moment cinétique total

F

avec

J~

I

F;

il peut y avoir plusieurs niveaux de F différents.

Comme aucune direction de l’espace n’est privilégiée, le couplage des deux particules (atome

dans l’état inférieur plus photon) est un processus invariant _parrotation de l’ensemble. On désigne. par

03C3 la matrice densité atomique de l’état inférieur et on pose :

La matrice densité du photon est donnée par l’équation (V.8). Avec ces notations, la matrice

densité _{p de}l’ensemble dans une base

découplée : . q(k)03A611{ IIT(k’)q’

} a comme composantes :

Le _{processus de}couplage est identique à celui utilisé en (IV-A-2) et l’équation (IV.9) donne

immédiatement la matrice densité de l’état excité; en effet tout le moment angulaire des photons se

uni-taire si on tient compte de tous les niveaux obtenus par couplage. Or, ce n’est pas toujours le cas

lors d’un processus d’absorption et nous allons envisager successivement les plus classiques.

a - Raie large. Excitation dite en "broad line".

Dans une telle situation, la largeur de la raie excitatrice est supposée beaucoup plus grande

que la structure de l’état excité séparé en niveaux de F donnés. Tous ces niveaux peuvent être atteints

et les probabilités d’excitation ont la même dépendance avec la forme de la raie excitatrice. L’équation (IV.9) donne alors (avec

J~

= I) directement l’état atomique aussitôt après l’excitation :

Après l’excitation, chacune des grandeurs

FG03C1KQ évoluera

avec sa fréquence propre atomique et

sous l’effet de hamiltoniens extérieurs.

b - Raie étroite.

A l’inverse du cas précédent, la largeur de raie excitatrice est supposée plus fine _{que la}

séparation entre les différents niveaux de l’état excité. S’il _ya coincidence entre

l’énergie

au centre

de la raie et l’énergie d’excitation du niveau caractérisé _parF, seul ce dernier sera réellement excité

La propriété d’invariance _parrotation de l’ensemble se conserve, donc l’état du niveau excité F sera encore donné _parl’équation (IV.9), mais en la restreignant aux termes diagonaux en F. La seule modifica

tion à apporter sera un facteur de normalisation égal à

3 (2I+1) (2F+1)

de façon que la trace de la matrice

densité dans le niveau F soit égale à 1 et non plus à la fraction donnée _{par le}poids statistique

Nous obtenons ainsi :

Les expressions (V.27) et (V.28) mettent bien en évidence l’introduction de grandeurs

tenso-rielles dans l’état excité _parcouplage entre celles de l’état inférieur et celles du rayonnement. En

particulier, le couplage n’est possible que si (k+k’+K) est pair (sinon le coefficient 9-j de (V.28) est

nul).

Dans le cas particulier où l’état fondamental n’est pas orienté, seul

03C300

est différent de 0

03C3

0

1

et les expressions (V.27) et (V.28) se simplifient et deviennent respectivement : ~2I+1

124

a’) Raie large

b’) Raie étroite

Les expressions obtenues (V.27), (V.28), (V.29), (V.30) permettent ainsi de préparer le

système atomique dans un état donné.

2) Processus

d’émission spontanée

C’est un processus de dissociation, l’atome excité se retrouve à l’état inférieur de la

transition après avoir émis un photon. Dans cette dissociation, aucune direction de l’espace n’est privi-légiée, l’émission spontanée étant interprétée comme de l’émission induite par les fluctuations

électro-magnétiques du vide, qui ont un caractère isotrope. C’est un processus inverse de celui de l’excitation.

Le système se scindant en deux particules, la matrice densité finale sera obtenue en passant dans une

base découplée. Avec les mêmes notations que plus haut, il suffit d’utiliser l’équation (IV.8) avec

J

~

= 1

Mais en Physique atomique, nous n’observons _{pas les}corrélations entre l’état atomique après désexcitation et l’état du photon. Les deux particules sont observées indépendamment l’une de l’autre.

La matrice densité de l’état inférieur 03C3 et celle du photon 03A6 seront obtenues en prenant la

trace de p par rapport aux variables respectivement du rayonnement et de l’atome

Dans la base découplée, le calcul est immédiat; seuls les opérateurs

11~(0)0

IIT0

ont

des traces non nulles (égales à ~3 et

~2I+1)

et nous obtenons, après émission spontanée :

pour le rayonnement :

La dernière expression (éq. V.34) est très précieuse. Elle montre d’une _part_queles grandeurs

tensorielles du rayonnement émis sont proportionnelles à celles de l’état excité de même ordre; elle donne

d’autre _{part le coefficient}numérique de proportionnalité. On peut dire que les diverses orientations

pré-sentes dans l’état excité se répercutent sur l’atome dans l’état inférieur et sur le rayonnement.

Remar-quons que celui-ci ne pouvant "transporter" que des grandeurs tensorielles d’ordre inférieur ou égal à 2,

on ne pourra détecter ainsi _{que les ordres}tensoriels correspondantsde l’état excité. Mais il faut faire attention _quececi n’est valable _quesi le système détecteur, sensible à la polarisation, n’est pas

sen-sible à l’énergie des photons émis. Ainsi, en présence d’un fort champ magnétique et avec un filtre qui

permet de séparer à l’observation diverses composantes Zeeman, la remarque précédente ne s’applique plus.

Dans ce cas, d’ailleurs, la décomposition de la matrice densité en opérateurs tensoriels est de moindre

intérêt.

Modification de l’état fondamental apportée par le processus d’excitation

On sait _{que le processus}d’excitation atomique par une raie étroite introduit dans l’état

fondamental atomique certaines orientations ainsi _{que dans le}faisceau lumineux excitateur. L’effet sur

l’état fondamental atomique a été étudié en détail _parCOHEN-TANNOUDJI

(62)

et celui correspondant sur le

faisceau lumineux _{par COHEN-TANNOUDJI}et LALOE

(101).

Nous ne nous intéressons ici qu’à l’aspect angulaire du phénomène et non au détail du processus d’excitation. Aussi, nous allons, pour obtenir les formules

utiles,procéder de façon globale. Considérons le système global (atome + rayonnement). Il peut être dans deux états :

état | a

> où les atomes et les photons sont séparés et

l’état | b

> représentant l’état excité atomique obtenu _parcouplage d’un atome et d’un photon. Nous supposons que le faisceau excitateur

est résonnant, donc que les deux

états | a

et |

b > ont exactement la même énergie. Initialement, seul

l’état |

a > est supposé peuplé. Une évolution se produit sous l’effet du couplage atome-rayonnement.

Ce couplage est représenté par un hamiltonien d’interaction H, hermitique, indépendant du temps; c’est,

de plus, un scalaire (invariant par rotation), car aucune direction de l’espace n’est privilégiée et

l’évolution sera la même quelle que soit l’orientation dans l’espace du système total (FANO

(26),

chap.

19). Soit U (t, to) l’opérateur d’évolution. Il est relié à H en représentation d’interaction par :

126

On peut développer l’opérateur d’évolution en puissance de l’interaction V :

03C1

a

^désigne

la matrice

^densité^de^l’état^initial,on obtient p,

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