Conformité et optimalité

Dans cette section, nous étudions les conditions suffisantes pour qu’une tension ait un coût minimal. Ces conditions sont très similaires aux conditions d’optimalité d’un flot de coût minimal. Elles sont associées à la notion de conformité (kilter). Ces conditions sont connues depuis longtemps pour le flot (cf. [Fulk61]). Elles ont ensuite été introduites pour la tension par J.M. Pla (cf. [Pla71]). Nous proposons un rappel de ces conditions et de la notion de conformité tout d’abord pour des coûts linéaires, puis pour des coûts convexes linéaires par morceaux et enfin pour des coûts convexes dérivables.

4.3.1. Coûts linéaires

Nous considérons ici une fonction de coût de la formecu(θu) = λuθu pour chaque arcu du graphe. Dans

[Pla71], la conformité d’un arc est définie de la manière suivante.

Soitθ une tension et ϕ un flot dans le graphe G. Un arc u est dit conforme par rapport

àθ et ϕ si l’une des affirmations suivantes est vérifiée. • ϕu < λ_uetθ_u= a_u.

• ϕu = λ_ueta_u≤ θu ≤ bu.

• ϕu > λ_uetθ_u= b_u.

(4.3)

La figure 4.2 illustre cette notion de conformité. La courbe qu’elle représente est appelée courbe de conformité. Quand un arc se trouve sur la courbe, il est conforme. En dehors, il ne l’est plus.

a_u b_u

λ_u

ϕ_u θ_u

Figure 4.2: Courbe de conformité (coût linéaire).

J.M. Pla propose le théorème suivant qui associe l’optimalité d’une tension à sa conformité pour chaque arc du graphe.

Soitθ une tension dans le graphe G. S’il existe un flot ϕ pour lequel tout arc de G est

conforme par rapport àθ et ϕ, alors θ est une tension de coût minimal. ^(4.4)

Preuve:

θ est optimale si et seulement si pour toute tension θ^′, on aP

u∈Ucu(θu)≤P

u∈Ucu(θ_u^′), i.e. P

u∈Uλu(θu− θ^′_u)≤ 0 (*). La tension et le flot étant orthogonaux, alors pour tout flot ϕ on a ϕ^t(θ− θ^′) = 0. L’inégalité (*)

s’écrit alorsP

u∈U(λ_u(θ_u− θu^′)− ϕu(θ_u− θu^′))≤ 0 ou encoreP

u∈U(λ_u− ϕu)(θ_u− θ^′u)≤ 0. La conformité

par rapport àθ et ϕ de chaque arc induit que les termes de la somme sont tous négatifs (cf. définition 4.3). 

CHAPITRE4 - TENSION DECOÛTMINIMAL Bruno Bachelet

4.3.2. Coûts linéaires par morceaux

Nous considérons maintenant pour chaque arcu du graphe une fonction de coût convexe linéaire par morceaux

de la forme suivante (cf. figure 2.11b).

c_u(θ_u) = 

c¹_u(o_u− θu), si a_u≤ θu ≤ ou

c²_u(θ_u− ou), si o_u< θ_u ≤ bu

En reprenant la transformation de la figure 4.1, un arcu du graphe G peut être remplacé par trois arcs u₁,u₂et

u₃dans le grapheG^′. Soitθ^′une tension dansG^′etθ la tension associée dans G telle que θ_u=−θu^′1+θ_u^′₂+θ^′_u3. De la même manière, soitϕ′ un flot dansG′etϕ le flot associé dans G telle que ϕ_u =−ϕ′

u1 = ϕ′ u2 = ϕ′

u3. La figure 4.3 montre les courbes de conformité des trois arcsu₁,u₂ etu₃. La première courbe est volontaire-ment inversée pour faciliter la compréhension de la construction de la courbe de conformité deu (cf. figure 4.4).

b_u− o_u θ_u 3 ϕ_u c_u² o_u θ_u2 ϕ_u o_u− a_u θu₁ − ϕu − c_u¹ arc u₁ arc u₂ arc u₃

Figure 4.3: Courbe de conformité (transformation en coûts linéaires d’un coût linéaire par morceaux).

Nous proposons de définir la conformité d’un arcu de la manière suivante. Un arc u dans le graphe G est dit

conforme par rapport àθ et ϕ si ses arcs associés dans G^′ sont tous les trois conformes par rapport àθ^′etϕ^′. Autrement dit,u est conforme si l’une des affirmations suivantes est vérifiée.

• ϕu <−c¹uetθ^′_u1 = o_u− au,θ_u^′₂ = o_u,θ^′_u3 = 0, i.e. θ_u= a_u.

• ϕu =−c1

uet0≤ θ^′u1 ≤ ou− au,θ_u^′₂ = o_u,θ_u^′₃ = 0, i.e. a_u≤ θu ≤ ou.

• −c1

u < ϕu< c²_uetθ^′_u1 = 0, θ^′_u2 = ou,θ^′_u3 = 0, i.e. θu = ou.

Bruno Bachelet CHAPITRE4 - TENSION DECOÛTMINIMAL

• ϕu = c2

uetθ^′_u1 = 0, θ_u^′₂ = o_u,0≤ θu^′3 ≤ bu− ou, i.e.o_u ≤ θu ≤ bu.

• ϕu > c2

uetθ^′_u1 = 0, θ_u^′₂ = o_u,θ_u^′₃ = b_u, i.e.θ_u = b_u. En résumé, voici la définition d’un arc conforme.

Soitθ une tension et ϕ un flot dans le graphe G. Un arc u est dit conforme par rapport

àθ et ϕ si l’une des affirmations suivantes est vérifiée. • ϕu <−c1 uetθ_u= a_u. • ϕu =−c1 ueta_u ≤ θu≤ ou. • −c1 u< ϕ_u < c2 uetθ_u = o_u. • ϕu = c2 u eto_u ≤ θu ≤ bu. • ϕu > c2 u etθ_u = b_u. (4.5)

Ce qui se traduit par la courbe de conformité illustrée dans la figure 4.4. Commeθ_u = −θ′

u1 + θ^′_u2 + θ^′_u3, la courbe se construit simplement en sommant les courbes de conformité des trois arcsu₁,u₂etu₃(cf. figure 4.3).

b_u θ_u ϕ_u c_u2 a_u − c_u1 o_u

Figure 4.4: Courbe de conformité (coût linéaire par morceaux).

Comme trouver une tension optimale dansG′est équivalent à trouver une tension optimale dansG, une

propo-sition similaire à celle de J.M. Pla peut être établie.

Soitθ une tension dans le graphe G. S’il existe un flot ϕ pour lequel tout arc de G est

conforme par rapport àθ et ϕ, alors θ est une tension de coût minimal. ^(4.6)

Nous avons considéré ici une fonction convexe avec deux morceaux linéaires, mais l’étude peut s’appliquer à n’importe quelle fonction convexe linéaire par morceaux. La convexité de la fonction de coût implique que la courbe de conformité sera toujours croissante. La seule différence réside dans le nombre de "paliers" dans la courbe. En fait, il y en a autant que de morceaux linéaires dans la fonction de coût.

4.3.3. Coûts dérivables

Nous considérons ici une fonction de coût convexe dérivable quelconque pour chaque arcu du graphe. Nous

proposons de définir la conformité d’un arc de la manière suivante.

CHAPITRE4 - TENSION DECOÛTMINIMAL Bruno Bachelet

Soitθ une tension et ϕ un flot dans le graphe G. Un arc u est dit conforme par rapport

àθ et ϕ si l’une des affirmations suivantes est vérifiée. • ϕu < c^′_u(au) et θu= au.

• ϕu = c^′_u(θu) et au≤ θu ≤ bu.

• ϕu > c^′_u(bu) et θu = bu.

(4.7)

La figure 4.5 est un exemple de courbe de conformité associée à cette définition. Comme la fonction de coût est convexe, cette courbe est toujours croissante.

b_u θ_u

ϕ_u a_u

Figure 4.5: Courbe de conformité (coût dérivable).

Comme pour les coûts linéaires, il est possible d’associer l’optimalité d’une tension à sa conformité pour chaque arc du graphe grâce à la proposition suivante.

Soitθ une tension dans le graphe G. S’il existe un flot ϕ pour lequel tout arc de G est

conforme par rapport àθ et ϕ, alors θ est une tension de coût minimal. ^(4.8)

Preuve:

Soitθ une tension et ϕ un flot dans G pour lesquels tous les arcs du graphe sont conformes. Quelque soit la

tensionθ^′, il est facile de vérifier que∀ u ∈ U, (c′

u(θu)− ϕu)(θu− θ′

u)≤ 0 (*). La fonction cuétant convexe, on ac_u(θ_u)− cu(θ_u^′)≤ c^′u(θ_u)(θ_u− θu^′) (**). (*) et (**) induisent∀ u ∈ U, cu(θ_u)− cu(θ^′_u)≤ ϕu(θ_u− θu^′).

DoncP

u∈U(c_u(θ_u)− cu(θ_u^′))≤P

u∈Uϕ_u(θ_u− θu^′). La tension et le flot étant orthogonaux, ϕt(θ− θ^′) = 0,

d’oùP

u∈U(c_u(θ_u)− cu(θ_u^′))≤ 0, i.e. P

u∈U c_u(θ_u)≤P

u∈U c_u(θ^′_u), donc θ est de coût minimal.