Comptabilisation des objets touchés par une déformation

c1 u(o_u− θu), si a_u≤ θu ≤ ou c²_u(θu− ou), si ou< θu ≤ bu

2.5.2. Plus d’égalité, coûts convexes dérivables

La tension optimale obtenue avec le type de coût présenté précédemment peut produire une inégalité entre les objets multimédia (cf. [Kim95]). Autrement dit, certains objets peuvent subir une importante déformation alors que d’autres n’en subissent qu’une légère.

a_u o_u b_u − c_u¹ _c u 2 θu c_u a_u o_u b_u −k_u k_u θu c_u (b) (a) a_u o_u b_u θu c_u (c)

Figure 2.11: Exemples de coûts convexes pour mesurer la qualité d’une planifi cation hypermédia.

Afin d’équilibrer ces altérations, i.e. que chacun est à peu près la même déformation, [Kim95] propose une fonction de la forme c_u(θ_u) = (θ_u − ou)2 (cf. figure 2.11c). Nous nous intéresserons donc par la suite à déterminer une tension optimale avec des fonctions de coût convexes dérivables quelconques.

2.5.3. Comptabilisation des objets touchés par une déformation

Un dernier type de coût présenté dans [Medi02] semble également illustrer la qualité d’un document hyper-média. La déformation de la durée d’un objet multimédia peut entraîner un temps d’exécution important au moment de la présentation du document. Une mesure de qualité qui intéresse donc les auteurs de documents hypermédia est simplement le nombre d’objets qui ne sont pas planifiés à leur durée idéale. Autrement dit, la fonction de coûtc_u est de la forme suivante.

c_u(θ_u) = 

1, si θ_u 6= ou

0, si θ_u = o_u

2.6. Conclusion

Nous avons exposé ici une modélisation possible des relations temporelles d’objets multimédia à synchro-niser. Nous avons supposé les ensembles de tolérance quelconques. Dans notre étude, nous nous limiterons pour l’instant à des intervalles de tolérance continu (pour tout arc u, un intervalle [a_u; b_u] ∈ R), simplement

parce que les problèmes sont plus faciles à aborder dans le domaine continu que dans le domaine discret, où la combinatoire peut rapidement devenir trop importante. Nous choisissons également d’aborder l’étude du problème d’optimisation avec des fonctions convexes linéaires par morceaux ou simplement dérivables. Nous n’étudierons pas pour l’instant la minimisation du nombre d’objets touchés par une déformation dans une plan-ification hypermédia. Cette modélisation est également de nature discrète.

P

ARTIE

II - T

ENSION DE

C

OÛT

M

INIMAL

Les problèmes de tension de coût minimal sont des modélisations possibles des problèmes de syn-chronisation hypermédia. Nous proposons ici des algorithmes pour résoudre certains de ces prob-lèmes. L’étude est effectuée tout d’abord sur des graphes quelconques, puis sur une classe par-ticulière de graphes, les graphes série-parallèles, qui représentent des situations idéales pour les problèmes de synchronisation hypermédia. Nous proposons pour ces algorithmes et ces classes de graphes un comparatif à la fois théorique (étude de la complexité) et pratique (résultat de jeux d’essais).

Bruno Bachelet AVANT-PROPOS

AVANT-PROPOS

Le flot et la tension sont des composantes fortement couplées dans les problèmes de graphes. Cependant, alors que beaucoup d’attention est portée au flot, peu de travaux semblent s’intéresser aux problèmes de tension. Le flot permet en effet de modéliser de nombreux problèmes liés aux flux: télécommunication, transport de marchandises / de personnes... La tension est une notion beaucoup moins naturelle, mais permet néanmoins de modéliser quelques problèmes, plutôt liés à la planification de projets, au placement de dispositifs... (e.g. [Hadj96]). En outre, les méthodes d’optimisation de flot reposent très souvent sur un couplage des composantes flot et tension. Nous verrons au cours de notre étude que le flot joue le même rôle dans les problèmes de tension que la tension dans les problèmes de flot.

Dans la première partie, nous avons vu que les principaux problèmes de synchronisation hypermédia peuvent être modélisés comme des problèmes de tension, et plus précisément comme des problèmes de tension com-patible et de tension de coût minimal. Nous allons donc tenter dans cette seconde partie de proposer différents algorithmes pour résoudre ces problèmes, discutant des avantages et défauts éventuels de chacun. Il ne faut pas perdre de vue que les méthodes que nous proposons doivent être rapides et ne doivent pratiquement pas dépasser la seconde pour permettre une réponse quasiment en temps réel.

Cet aspect est très important puisqu’il limite notre champs d’investigation. En effet, les graphes traités en synchronisation hypermédia sont relativement petits et ne dépassent pas à l’heure actuelle la centaine de noeuds. Il est alors impossible d’employer des algorithmes qui ont une bonne complexité théorique, mais qui révèlent leur efficacité sur des graphes de grande taille. Des algorithmes considérés moins efficaces en théorie peuvent tout à fait convenir, et s’avérer plus efficaces, sur des graphes de petite taille.

Les auteurs de documents hypermédia affirment actuellement qu’une centaine de noeuds suffit amplement pour les documents qu’ils souhaitent créer. Mais il est très difficile, même pour des experts, d’envisager les besoins et les possibilités futures, l’histoire de l’informatique est remplie d’exemples dans ce sens (le plus célèbre étant la phrase "640 Ko of RAM is enough"). Il est donc raisonnable de penser que si des outils efficaces de synchronisation hypermédia se répandent, la taille des documents manipulés augmentera et dépassera largement les besoins actuels. Il en existe déjà un exemple présenté dans [Vazi98] qui tente de synchroniser 10⁴ objets dans un film de synthèse de 90 minutes. Il est donc important de s’intéresser tout de même au comportement théorique et pratique de nos algorithmes sur des graphes de taille conséquente.

Dans les deux premiers chapitres de cette seconde partie, nous nous intéressons aux problèmes de la tension compatible et de la tension minimale sur des graphes quelconques. Cependant, il est facile de s’apercevoir, en regardant notamment les relations d’Allen, que des graphes temporels issus d’une synchronisation hypermédia sont très organisés. Une classe de graphes semble très proche de cette structure: les graphes série-parallèles. Nous consacrons donc un dernier chapitre à l’étude du problème de tension de coût minimal sur cette classe de graphes. Cependant, les graphes issus d’une synchronisation hypermédia sont légèrement moins structurés que les graphes série-parallèles. Nous proposons une approche qui permet d’optimiser la tension d’un graphe presque série-parallèle en profitant tout de même de sa structure série-parallèle.

Bruno Bachelet CHAPITRE3 - TENSIONCOMPATIBLE

C

3

TENSION COMPATIBLE

Avant de chercher à optimiser une tension dans un graphe, il faut déjà être capable de trouver efficacement une

tension compatible. Nous rappelons tout d’abord ce problème, il s’agit de trouver une tensionθ sur un graphe G = (X; U ), avec m =|U| et n = |X|, telle que pour tout arc u, au ≤ θu ≤ bu, oùa_uetb_usont des valeurs réelles ou entières. Dans sa thèse, M. Hadjiat (cf. [Hadj96]) propose deux manières de résoudre ce problème. En fait, les algorithmes reposent sur deux façons différentes de trouver la tension maximale pour un arc donné, l’une se base sur des plus courts chemins, l’autre sur la recherche de cocycles. Nous proposons ici de réviser ces approches en abordant directement le problème de la tension compatible.

3.1. Recherche d’une tension maximale sur un arc

Nous nous intéressons tout d’abord au problème de la tension maximale. Soit un arcv donné du graphe G,

il faut trouver la valeur maximale de la tension θv de l’arc, sachant que θ doit être compatible. En d’autres

termes, nous cherchons:

ˆ

θ_v = max

θ tension compatible

θ_v