La conductivité thermique

- Définition :

Il existe deux modes de transferts de la chaleur à l’échelle du matériau (Gueguen

et Palciauskas, 1992 ; Gérard, 1997) : 1) par radiation, la chaleur étant transmise par

ondes électromagnétiques émises et absorbées entre les minéraux, 2) par conduction, qui est un transfert de chaleur sans transfert de matière, par vibration du réseau cristallin. La conduction suit la loi de Fourrier décrivant le flux de chaleur conductif Fc (W.m-2) en fonction de la conductivité thermique λ (W.m−1.K−1) du matériau et du gradient de température (K) (Équation 3.7).

𝐹_𝑐 = 𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑇)

Le transfert de chaleur par conduction est ainsi contrôlé par la conductivité thermique du matériau, qui dans le cas des roches est lié à la composition minéralogique et à la porosité. Son expression mathématique a été définie pour un solide cylindrique de base S petite par rapport à sa longueur L (Équation 3.8) (Carslaw et Jaeger, 1986). Avec une température T1 à une extrémité du cylindre et une température T2 < T1 à l’autre, le flux de chaleur Qc est alors fonction du temps (t), des paramètres géométriques du cylindre et de la conductivité thermique.

𝑄_𝑐 =^{𝜆(𝑇1− 𝑇2}) 𝑆 𝑡 𝐿

Équation 3.8

- Méthodologie de mesure :

La méthode de caractérisation de la conductivité utilisée dans cette thèse est dite du « thermal conductivity scanner » et consiste à mesurer les variations de température à la surface d’un échantillon après passage d’une source de chaleur contrôlée (Popov et al.,

1983 ; Popov et al., 1985 ; Popov et al., 1999). La face de l’échantillon sciée et qui doit

être mesurée est préalablement peinte en noir pour avoir une absorption de chaleur uniforme et homogène. Un bloc contenant une source de chaleur encadrée par deux capteurs de température se déplace sous l’échantillon à vitesse constante. Le premier capteur mesure la température de l’échantillon avant chauffage et le second après le passage de la source de chaleur (Figure 3.14). La conductivité thermique 𝜆 (W.m-1.K-1) en chaque point de mesure x (m) est alors liée à l’augmentation de la température mesurée, θ(x) (K), par l’équation 3.9, où q est la puissance de la source de chaleur, l est la distance entre la source et le capteur de température.

𝜃(𝑥) = ^𝑞 2𝜋 𝑙 𝜆

Équation 3.9

Dans le protocole de mesure, la conductivité thermique du matériau est définie par rapport à celle d’un standard de conductivité thermique connue et mesurée pour

chaque test, suivant l’équation 3.10. Cette valeur mesurée est utilisée comme référence pour le calcul de la conductivité thermique de l’échantillon.

𝜆(𝑥) = 𝜆_𝑠𝑡𝑑 ^{𝜃𝑠𝑡𝑑} 𝜃(𝑥)

Équation 3.10

Figure 3.14 : schéma du dispositif de mesure du scanner de conductivité thermique, d’après Haffen, (2012) dérivé du dispositif de Popov et al., (1999).

3.2.5. La perméabilité

La perméabilité matricielle des échantillons a été mesurée grâce à un dispositif d’injection d’azote développé au laboratoire lors de la thèse de Rosener (2007). Les caractéristiques du gaz utilisé sont résumées dans le tableau 3.1. L’hypothèse d’incompressibilité du fluide énoncé dans la loi de Darcy n’est alors plus valide (section 2.1.4), il faut alors considérer la définition massique de la loi (Klingenberg, 1941 ;

Debschütz et al., 1989).

𝑄_𝑔 = −𝜌_𝑔 ^𝐾𝑎

Équation 3.11

Qg est le débit massique (g.m-2.s-1), ρg la densité (g.m3) et μg la viscosité (Pa.s) de l’azote, grad p le gradient de pression et Ka la perméabilité apparente (m2). La perméabilité est alors définie par l’équation 3.12, où p est la pression appliquée (Pa) et b un facteur de correction dépendant de la géométrie du réseau poreux.

𝐾_𝑎 = 𝑘 (1 +^𝑏 𝑝⁾

Équation 3.12 Tableau 3.1 : propriétés physiques du diazote à une pression de 105 Pa et une

température de 20°C. Propriété N2 Masse molaire Mg (g.mol-1) ^28,01 Rayon rm (Å) 1,67 λ (nm) 65 µg (Pa.s) 1,76.10-5

En effet, à des pressions équivalentes aux conditions expérimentales utilisées et pour de faible perméabilité, le libre parcours des molécules de gaz peut devenir équivalent à la taille des pores. Dans ce cas, l’adhérence aux parois du gaz ne satisfait plus le modèle de Poiseuille décrivant l’écoulement laminaire à l’échelle du pore, et les molécules accélèrent par rapport à ce que prévoit la loi de Darcy. C’est l’effet Klingenberg, qui est corrigé par le facteur b dans l’équation 3.12 reliant la perméabilité apparente et intrinsèque.

Considérant l’azote comme gaz parfait dans les conditions expérimentales, dans le cas d’un échantillon cylindrique, l’équation 3.11 peut alors se réécrire selon l’équation 3.13, qui traduit l’écoulement dans la direction dx dans l’axe du cylindre, avec Mg la masse molaire de l’azote (g.mol-1), R la constante des gaz parfaits, T la température (K),

𝑄_𝑔𝑑𝑥 = − ^𝑀𝑔 𝑅𝑇

𝑘 (1 +_𝑝(𝑥))^𝑏

𝜇_𝑔 ^{𝑝(𝑥)𝑑𝑝}

Équation 3.13

En supposant un écoulement isotherme et une viscosité de l’azote indépendante de la pression, et en réintroduisant le débit volumique Q = Qg.S où S est la section du cylindre, l’intégration de l’équation 3.13 entre la pression d’injection de l’azote en tête du cylindre p1 et la pression en pied p2 revient alors à écrire (Dal Pont, 2004) :

𝑄 = ^𝑀𝑔𝑆 𝑅𝑇 𝑘 2𝐿𝜇_𝑔(𝑝₁2− 𝑝₂2) (1 +^𝑏 𝑝^{) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝 =} 𝑝₁− 𝑝₂ 2 Équation 3.14

Où, k et b peuvent alors être déterminés expérimentalement en faisant varier la différence de pression entre p1 et p2 et en calculant la perméabilité apparente Ka selon l’équation 3.15. 𝐾_𝑎 = ^𝑅𝑇 𝑀_𝑔𝑆 2𝑄𝜇_𝑔𝐿 𝑝₁2− 𝑝₂2 Équation 3.15

La perméabilité apparente Ka est alors proportionnelle à 1/𝑝, et k est l’ordonnée à l’origine de la droite formée par les différents paliers de pression p1 – p2 puisque quand 1/𝑝 → 0, (1 + ^𝑏_𝑝̅) → 1 𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐾_𝑎→ 𝑘 (Figure 3.15a). En pratique, la prise en compte de l’effet Klingenberg n’est nécessaire que pour les échantillons peu perméables. Pour les échantillons dont la perméabilité est supérieure à 0,1 mD, il est possible d’utiliser simplement l’équation de base reliant le débit au différentiel de pression (Figure 3.15b). La perméabilité est alors considérée comme étant la moyenne des perméabilités apparentes mesurées à chaque gradient de pression.

Figure 3.15 : exemples des graphiques obtenus lors de la détermination de la perméabilité à l’azote a) avec et b) sans prise en compte de l’effet Klingenberg.

Le dispositif expérimental est composé de (Figure 3.16) : - une cellule où l’on place l’échantillon,

- des capteurs de pressions de confinement (Pc), de tête (Pt) et de pied (Pp) de l’échantillon,

- de débitmètres pouvant couvrir quatre ordres de grandeur de débits sortants (0 à 0,02L/min, de 0 à 1/L/min et de 0 à 10L/min).

Le protocole de mesure se déroule comme suit :

- L’échantillon carotté est recouvert d’une membrane exceptée sur les faces circulaires et placé dans la cellule reliée à au circuit d’approvisionnement en azote.

- Une pression de confinement (Pc) est appliquée (circuit rouge, Figure 3.16). Elle permet de maintenir la membrane contre l’échantillon, afin que l’azote ne puisse s’écouler que dans le sens longitudinal.

- L’azote est ensuite injecté en tête du circuit (circuit bleu, Figure 3.16) à une pression Pt < Pc.

- Un gradient de pression se forme alors entre le sommet de l’échantillon à Pt = p1 et la base à Pp = p2 ce qui induit un débit mesuré en sortie du circuit (circuit

jaune, Figure 3.16).

Ainsi, en faisant varier la pression en tête du circuit, il est possible de mesurer le débit d’azote qui traverse l’échantillon pour différents gradients de pression, et de calculer la perméabilité avec ou sans prise en compte de l’effet de Klingenberg explicité précédemment (Figure 3.15).

Figure 3.16 : schéma du dispositif expérimentale de mesure de la perméabilité à l’azote (d’après Rosener, 2007).

3.3. Modélisation

Dans le cadre de la collaboration avec Fonroche Géothermie, une méthodologie de transfert entre les données d’affleurements et la modélisation numérique 3D des zones de failles a été élaborée. Les données d’affleurements permettent de définir les caractéristiques du réseau de fracturation et les propriétés pétrophysiques des différentes parties des zones de failles. Le transfert de ces données vers un modèle numérique de zone de faille réaliste et efficace pour la prédiction des écoulements représente un double défi :

- la complexité du réseau de failles, de par son aspect multi-échelle et multi-structurel (fractures ouvertes, colmatées, zone endommagée, cœur de faille conduit ou barrière, cœurs secondaires, structures transverses,…) se doit d’être simplifiée pour en permettre la modélisation numérique.

- Les structures agissant sur les transferts depuis celles de la porosité matricielle jusqu’à celles structurant le bassin doivent être pris en compte pour la prédiction des écoulements et des transferts thermiques dans le réservoir fracturé.

De l’avancée globale des recherches à ce sujet, il apparaît qu’un modèle simple de porosité matricielle n’est pas réaliste pour les réservoirs fracturés. L’utilisation d’un modèle de double-porosité, comprenant à la fois les aspects matriciels, et les écoulements au sein du réseau de fractures, s’avère indispensable (Pathak, 2013). Dans le cadre de cette thèse, nous avons ainsi combiné l’approche de génération statistique du réseau de fractures avec l’aide du module FracMV de GoCAD® et l’approche de simulation d’écoulements avec Pumaflow® et une étude de sensibilité des différents paramètres avec le logiciel CougarFlow®, tout deux de Beicip Franlab. Le premier permet dans un premier temps la génération statistique d’un réseau de fractures en fonction des données statistiques (longueurs, densités, d’ouvertures, etc), acquises sur le terrain. La génération de réseaux dont les paramètres évoluent au sein de la zone de faille conceptuelle va dans un second temps permettre le calcul de la perméabilité et de la porosité équivalente, ainsi que de leur anisotropie directionnelle au sein des différents faciès pétro-structuraux. Dans un troisième temps, les propriétés de fractures générées sont combinées aux propriétés matricielles dans un modèle numérique représentant la zone de faille conceptualisée. Enfin, la maille des propriétés générées est transférée sur le logiciel Pumaflow® où est

géothermique sur 30 ans. Le logiciel GougarFlow® permet quand à lui de générer automatiquement plusieurs simulations en fonction de la distribution des paramètres considérés. Des statistiques sont ensuite réalisables sur les réponses choisies (telle que les différentiels de pression ou la température de production).