II.3 Transport et capture des particules
II.7. Conclusion sur l’écoulement et la filtration
Nous avons présenté une étude théorique et expérimentale des écoulements de gaz et de la capture des particules dans les FAP. Compte tenu de la structure géométrique du dispositif, des phénomènes intervenant à différentes échelles ont dû être considérés. Cette problématique associée à l’étude des milieux poreux complexes a nécessité de considérer les problèmes en terme d’échelles croissantes ; en intégrant les résultats associés à l’échelle micrométrique des parois du FAP dans les modèles à l’échelle millimétrique des canaux puis dans le modèle macroscopique permettant de décrire l’ensemble du dispositif dont les dimensions sont de plusieurs dizaines de centimètres.
Dans un premier temps, le calcul de plusieurs nombres adimensionnels a permis de déterminer les régimes d’écoulement rencontrés dans les différentes parties du FAP. Dans la gamme de débit associé au fonctionnement des moteurs Diesel équipant les véhicules légers, l’écoulement en amont du filtre présente un caractère turbulent. Cependant, il reste laminaire dans les canaux de FAP et le passage dans les parois poreuses du dispositif s’effectue en régime de Stokes. La définition d’un nombre adimensionnel de Darcy a mis en évidence la différence d’ordre de grandeur entre les débits de gaz au sein des parois et dans les canaux suivant l’axe des canaux. La direction de l’écoulement des gaz traversant les parois poreuses peut donc être considéré orthogonale à celles-ci.
L’analyse dimensionnelle des phénomènes intervenant sur le transport des particules dans les canaux du FAP nous a conduit à considérer les particules comme des traceurs de l’écoulement. Cette hypothèse semble légitime pour la plus grande partie des particules émises. Cependant, on pourrait envisager de prendre en compte les effets de traînée pour des particules de plus grande taille (supérieures au micron) ou de gravité pour les particules de densité très élevée (particules métalliques issues de l’usure du moteur). De la même façon, l’influence de la diffusion Brownienne pourrait devenir sensible pour les particules de très petite taille (inférieure à 50 nm).
L’étude qualitative de la filtration à partir des évolutions de la perte de charge dans le FAP au cours du temps de la collecte des particules montre que la phase de filtration en profondeur a une durée très courte. Cette caractéristique des FAP est également mise en évidence par les mesures d’efficacité de filtration. Après une courte période (environ ½ heure pour un chargement de FAP durant généralement plusieurs heures), l’efficacité de filtration
initialement de l’ordre de 70% augmente rapidement pour atteindre des valeurs proches de 100%. Dans le cadre de cette thèse, nous avons choisi de restreindre notre modèle de filtration à la phase d’accumulation des particules à la surface des parois qui représente le mode de collecte principal dans les FAP. L’étude de la collecte des particules au sein des parois est cependant envisageable et pourra s’avérer indispensable dans le cadre de l’étude de FAP présentant des parois à forte porosité ou des dimensions de pores plus élevées. Les travaux de Quintard and Whitaker (1995) ouvrent, par exemple, des perspectives intéressantes pour construire un modèle homogénéisé de transport et collecte des particules au sein des parois.
Compte tenu du faible nombre de Reynolds caractérisant l’écoulement du gaz à travers les parois poreuses, la loi de Darcy a été retenue pour modéliser le transfert des gaz dans les parois. Les perméabilités intrinsèques des parois et du dépôt de particules ont été évaluées à partir des mesures expérimentales de pertes de charge globales. Cependant, des modèles de perméabilité (de Carman-Kozeny ou Rumpf-Gupte) peuvent être utilisés pour évaluer la perméabilité de parois en céramique poreuse en fonction de leur porosité et d’un diamètre de pore moyen. Une perméabilité effective caractéristique du système formé par la paroi et la couche de particules a été évaluée en considérant deux résistances hydrauliques en série. De plus, l’effet de singularité de paroi qui entre en jeu lorsqu’une couche poreuse de faible épaisseur est disposée su une paroi présentant des pores a été prise en compte en remplaçant la perméabilité intrinsèque du dépôt par une perméabilité effective. Cette correction issue de calculs numériques traduit l’effet de la contraction des lignes de courant à l’interface entre les deux zones poreuses. Elle permet ainsi de décrire correctement l’évolution de la perte de charge au début de la construction du gâteau de particules.
Afin d’étudier l’écoulement des gaz à l’échelle des canaux du filtre, nous nous sommes tout d’abord intéressés à des configurations géométriques simples : les canaux plan et axisymétrique avec une aspiration (ou une injection) pariétale. Un modèle mono- dimensionnel a été obtenu en intégrant analytiquement les équations de conservation locale sur la section des canaux. Les profils de vitesses sont obtenus en utilisant les solutions asymptotiques développées pour ces problèmes. La confrontation avec des simulations numériques 2D a permis de valider cette approche simplifiée. Le cas des canaux carrés a ensuite été traité de façon analogue en utilisant les profils de vitesses obtenus numériquement par des calculs 3D. Les coefficients apparaissant dans le système d’équations mono- dimensionnelles ainsi obtenu sont caractéristiques de l’écoulement en canal carré et
Ce modèle d’écoulement a été utilisé pour évaluer le transport des particules vers les parois poreuses dans une cellule unitaire périodique représentative du FAP. Le processus de filtration est modélisé par une suite d’états stationnaires et permet d’évaluer la distribution des épaisseurs de dépôt le long des canaux. Une tendance à l’accumulation de suie en fond de canal a été mise en évidence. Cependant, la faible perméabilité des parois tend à uniformiser les épaisseurs de dépôt. Ce phénomène est directement lié à la diminution du poids relatif des gradients de pressions dans les canaux (lié aux effets visqueux et inertiels) devant les gradients de pression dans les parois poreuses. Une méthode de mesure expérimentale des épaisseurs de dépôt a récemment été mise au point au Laboratoire de Mécanique et d’Energétique d’Orléans. Les résultats préliminaires semblent valider qualitativement les prédictions du modèle.
Le modèle utilisé pour étudier le cas de la cellule périodique de FAP a été étendu sous une forme « multi-canaux ». Les équations de conservation de la masse ont été modifiées pour prendre en compte explicitement les échanges entre chaque canal et ces quatre voisins. Les équations associées à la conservation de la quantité de mouvement n’ont pas été modifiées. Dans cette approximation, la non-symétrie éventuelle des profils de vitesses dans les canaux n’est pas prise en compte. La modification des coefficients de l’équation est supposée faible. Des simulations de filtration dans des domaines composés d’une centaine de canaux ont été utilisées pour évaluer l’impact de différentes hétérogénéités initiales sur la construction des gâteaux de particules. Il apparaît que l’extension transversale des perturbations sur les débits de gaz dans les canaux ou les épaisseurs des couches de suies collectées reste limitée à une distance de trois canaux.
Le modèle « multi-canaux » ne permet pas de simuler la filtration dans l’intégralité des canaux d’un FAP. A partir d’une méthode de changement d’échelle par prise de moyenne volumique, une forme macroscopique des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement a pu être exprimée sous une forme non fermée. Afin de contourner les difficultés mathématiques associées à la résolution des problèmes de fermeture, les équations obtenues après l’étude à l’échelle les canaux des FAP ont été exprimées sous forme macroscopique. L’hypothèse forte retenue consiste à considérer que l’écoulement macroscopique est mono-dimensionnel. Cette simplification est justifiée par les résultats obtenus avec l’approche « multi-canaux ». Ce modèle simplifié ne permet pas de prendre en compte l’effet d’hétérogénéités ponctuelles sur un canal. Cependant, la répartition des débits de gaz sur la surface d’entrée du filtre est bien prise en compte avec des conditions limites en
pression imposée. L’étude du chargement de FAP présentant deux zones de caractéristiques géométriques différentes ou de FAP partiellement régénéré a montré l’existence d’une répartition fortement hétérogène des suies. Le couplage de ce modèle avec un calcul direct de l’écoulement turbulent en amont du FAP reste une perspective à notre travail qui permettrait de connaître plus précisément la répartition réelle de l’écoulement dans le FAP en imposant des conditions limites d’entrée variant dans le temps.
II.8. Références
1. Basset, A. B. (1888). "Treatise on Hydrodynamics". London, Deighton Bell.
2. Beavers, G. S. and Joseph, D. D. (1967). "Boundary Conditions at a Naturally Permeable Wall." Journal of Fluid Mechanics(30): 197-207.
3. Berman, A. S. (1953). "Laminar flow in channels with porous walls." Journal of Applied Physics(24): 1232.
4. Bisset, E. J. (1983). "Mathematical model of the thermal regeneration of wall-flow monolith diesel particulate filter." chemical Engineering Science 39(n°7/8): 1233-1244. 5. Boussinesq, J. (1885). "Sur la résistance qu'oppose un fluide indéfini en repos, sans
pesanteur, au mouvement varié d'une sphère solide qu'il mouille sur toute sa surface, quand les vitesses restent bien continues et assez faibles pour que leurs carrés et produits soient négligeables." C.R.A.S. 100.
6. Brady, J. F. (1984). "Flow development in a porous channel and tube." Physics of Fluids
27(5): 1061-1067.
7. Bruun, H. H. (1995). Hot-wire anemometry, principles and signal analysis, Oxford Science Publications.
8. Chatterjee, S. G. and Belfort, G. (1986). "Fluid flow in an idealized spiral wound membrane." Journal of membrane science(28): 191-208.
9. Doshi, M. R., Gill, W. N. and Kabadi, V. N. (1977). "Optimal design of hollow fiber modules." AIChE Journal 5(23): 765-768.
10.Dufreche, J., Prat, M., Schmitz, P. and Sherwood, J. D. (2002). "On the overall permeability of a porous layer limited by a perforated plate." Chemical Engineering science(57): 2933-2944.
11.Dullien, F. A. L. (1979). Porous media - Fluid transport and Pore structure. New York, Academic Press.
12.Durlofski, L. and Brady, J. F. (1984). "The stability of a class of similarity solutions." Physics of Fluids 27(5): 1068-1076.
13.Einstein, A. (1905). "Uber die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendiertenTeilchen." Ann. Phys. Leipzig 17: 549–560.
14.Friedlander, S. K. (2000). "Smoke, Dust, and Haze : Fundamentals of Aerosol Dynamics". New York, Oxford University Press.
15.Gouverneur, C. (1991). "Etude expérimentale du champ hydrodynamique dans un tube poreux avec transfert de masse pariétal", INPT, Toulouse.
16.Idel'Cik, I. E. (1986). "Mémento des pertes de charges", Editions Eyrolles.
17.Konstandopoulos, A. G., Skaperdas, E. and Masoudi, M. (2001). "Inertial contributions to the pressure drop of diesel particulate filters." SAE Technical paper series(2001-01-0909). 18.Lücke, T. and Fissan, H. (1995). "The prediction of filtration performance of high
efficiency gas filter elements." Chemical Engineering science 51(8): 1199-1208.
19.Magnaudet, J., Rivero, M. and Fabre, J. (1995). "Accelerated flows past a rigid sphere or a spherical bubble. Part 1. Steady straining flow." Journal of Fluid Mechanics 284: 97-135. 20.Marcuccilli, F. (1993). "Etude expérimentale et théorique de la structure et de la réactivité
de suies issues de moteurs Diesel", Universite de haute-alsace.
21.Noel, F., Schmitz, P. and Prat, M. (2004). "Effective Hydraulic Resistance of the first cake Layer at the filter surface : A Three Dimensional Solution". 9th World Filtration Congress, New Orleans.
22.Noirot, R. (1990). "Etude expérimentale et paramétrique de la combustion de suies sur filtres à particules (Application à l'epuration des échappements des moteurs Diesel)", Université de haute alsace.
23.Oseen, C. W. (1927). "Hydrodynamik". Leipzig.
24.Oxarango, L., Benmachou, K. and Schmitz, P. (2002). "Modelling of particulate loading of multi-channel filtration systems". 5th International Filtration Conference, Stuttgart. 25.Oxarango, L., Bardon, S., Schmitz, P. and Quintard, M. (2003). "3D macroscopic model
for fluid flow and soot deposit in wall flow honeycomb DPF." Journal of Fuels and Lubricants(2003-01-0834).
26.Oxarango, L., Schmitz, P. and Quintard, M. (2004). "Laminar flow in channels with wall suction or injection : a new model to study multichannel filtration systems." Chemical Engineering Science 59(5): 1039-1051.
28.Quintard, M. and Whitaker, S. (1995). "Aerosol filtration: An analysis using the method of volume averaging." Journal of Aerosol Science 8( 26): 1227-1255.
29.Rumpf, H. and Gupte, A. R. (1971). "Einflusse der Porositat und Korngroenverteilung im Widerstandsgesetz der Proenstromung." Chemie Ingenieur Technik(43): 367-375.
30.Schmitz, P. (1990). "Mécanismes d'interaction : hydrodynamique et agrégation, dans la formation du dépôt en microfiltration tangentielle", INPT, Toulouse.
31.Schmitz, P. and Prat, M. (1995). "Three dimensional laminar stationary flow over a porous surface with suction. Description at pore level." AIChE Journal(41): 2212-2226. 32.Stokes, G. G. (1851). "On the effect of the inertial friction of fluids on the motion of
pendulums." Trans. Cambridge Phil. Soc.
33.Tchen, C. M. (1947). "Mean value and correlation problems connected with the motion of small particles suspended in a turbulent fluid", PhD dissertation, Technische Hogeschool Delft.
34.Terril, R. M. (1964). "Laminar flow in a uniformly porous channel." Aeronaut(15): 297. 35.Terril, R. M. and Thomas, P. W. (1969). "On laminar flow through a uniformly porous
pipe." Applied Science Research(21): 37.
36.Vonarb, R. (1999). "Contribution à l'étude des phénomènes d'inflammation et de propagation de la combustion d'un lit de suies Diesel additivées", universite de haute alsace.
37.Weissberg, H. (1959). "Laminar flow in the entrance region of a porous pipe." Physics of Fluids(2): 510.
38.Whitaker, S. (1996). "The Forchheimer Equation : A Theoretical Development." Transport In Porous Media(25): 27-61.
39.Whitaker, S. (1999). "The method of volume averaging". Dordrecht / Boston / London, Kluwer Academic Press.
40.Yu, H. H. S. and Goulding, C. H. (1992). "Optimized ultra high efficiency filter for high- efficiency industrial combustion turbines". ASME Gaz Turbine Congress and Exhibition, Köln.
41.Yuan, S. W. and Finkelstein, A. B. (1956). "Laminar pipe flow with injection and suction through a porous wall." Transaction of ASME 78(719-724).