De la même manière que pour le shunt résistif, les paramètres électriques optimaux pour une réponse libre ou forcée sont directement donnés dans le tableau (2.9). Les détails des calculs ainsi que l’expression de ARLdB sont disponibles dans [47].
réponse libre réponse forcée résistance optimale R= 2ki Ceqωi(1+k2 i)3/2 R= q 3 2 ki Ceqωi√ 1+k2 i inductance optimale L= 1 Ceqω2 i(1+k2 i)2 L= 1 Ceqω2 i(1+k2 i) performances ξRLadd= √kkik 4−k2 i ≈ kkik 2 ARLdB =ARLdB(ki, ξi)
Tab.2.9 –Valeurs optimales de la résistance et de l’inductance du shuntRLpour une réponse libre ou forcée et indicateur de performance associé.
La figure 2.26 permet de voir que le shunt résonant est bien plus efficace que le shunt résis-tif, même si l’amortissement modal est important. Néanmoins, il est très sensible audetuning, ce qui implique que ses performances sont très réduites si wi, R ou L varient légèrement. De plus, les valeurs importantes de L obligent à utiliser des inductances synthétiques, qui sont des composants actifs. Dès lors, le système est plus complexe à mettre en œuvre et une alimentation électrique est nécessaire.
ξi= 0.01% ξi= 0.1% ξi= 1% ξi= 10% 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 ki (adim.) A tt én ua tio n (d B )
Fig. 2.26 – Atténuation apportée par un shunt résonant en fonction du facteur de couplage modalki, pour différentes valeurs de l’amortissement modal ξi.
2.7 Conclusion
Tout d’abord, le modèle utilisé pour le comportement d’un matériau piézoélectrique, dans le cadre de la piézoélectricité linéaire, a été présenté, de même que les divers coefficients de couplage matériau. Un modèle éléments finis d’une structure arbitraire munie d’éléments pié-zoélectriques minces a ensuite été développé dans le cas d’éléments finis tétraédriques à 10 nœuds. En particulier, toutes les étapes de construction de la matrice de couplage ont été détaillées pour cet élément. L’originalité du modèle éléments finis développé dans [130, 46] et appliqué ici dans le cas 3D [120, 121, 119] vient du fait qu’il n’y a que 2 degrés de liberté
électrique par pastille piézoélectrique au lieu d’un degré électrique par nœud comme dans la plupart des codes commerciaux. Ainsi, seule la partie mécanique du problème est à assem-bler. Par ailleurs, les hypothèses permettant de passer des variables électriques locales à une formulation faisant intervenir des variables électriques globales (V(p),Q(p)) pour chaque pas-tilles s’adaptent à la plupart des cas rencontrés dans la pratique. Deux limitations demeurent néanmoins : l’hypothèse d’un potentiel électrique linéaire dans l’épaisseur de la pastille et le fait que celle-ci doit être mince.
Puis, le problème électromécanique couplé a été projeté sur la base des modes propres en court-circuit. Cette base a été choisie car elle peut être directement calculée à partir d’un problème d’élasticité classique. Le modèle réduit obtenu est particulièrement adapté à l’étude des shunts car il s’exprime directement à partir de la charge électrique contenue dans le circuit et de la tension électrique aux bornes du shunt. Par ailleurs, ce modèle permet de prendre facilement en compte les différentes configurations de câblage des pastilles et de calculer les coefficients de couplage effectif correspondants.
Enfin, la construction de la matrice de couplage, dans le cas d’une poutre munie de deux pastilles connectées en série et discrétisée par des éléments finis tétraédriques à 10 nœuds, a été validée en comparant les coefficients de couplage avec ceux obtenus à partir d’un modèle éléments finis 1D, de l’expérience et d’un modèle analytique. Lors de cette validation, il a également été vérifié que la réponse du modèle réduit converge lorsque le nombre de modes de la base de projection augmente.
Les différentes contributions, par rapport aux travaux antérieurs, portent essentiellement sur :
• le développement d’un code de calcul capable de traiter des problèmes électromécanique 3D quelconque grâce à
- la prise en charge de pastilles courbes ;
- l’utilisation de logiciels commerciaux pour la résolution de problèmes aux valeurs propres de grande taille ;
- l’automatisation des opérations de maillage, de construction du modèle réduit et de calcul des coefficients de couplage ;
• la définition des coefficients de couplage effectif pour les différents câblages possibles de
P pastilles piézoélectriques ;
• la validation numérique et expérimental du modèle 3D.
Il s’agira par la suite d’intégrer ce code de calcul dans un ensemble plus vaste permettant, en autre, d’optimiser la position et la géométrie de P pastilles piézoélectriques collées sur une structure quelconque (Chap. 3).
Un autre point important mis en avant dans cette partie est que la valeur optimale des paramètres électriques ne dépend que du facteur de couplage modal ki et de l’amortissement modal de la structureξi. Par conséquent, l’optimisation des paramètres du shunt peut se faire séparément de l’optimisation mécanique de la structure, dont l’objectif est de maximiser les
ki. Par conséquent, une démarche possible pour optimiser le système structure/pastilles/shunt est la suivante :
• déterminer le niveau d’atténuation souhaité, ainsi que l’amortissement du mode à atté-nuer ;
• lire les abaques des figures 2.25 et 2.26 afin d’évaluer le facteur de couplage nécessaire pour atteindre un tel objectif ;
• utiliser les algorithmes d’optimisation (chapitre 3) qui trouveront, sous certaines contraintes11,
11Les contraintes liées au processus d’optimisation, qui seront détaillées dans le chapitre 3, sont, par exemple, une masse maximum de matériau piézoélectrique à ne pas dépasser ou un nombre de pastilles figé.
2.7. CONCLUSION
une configuration (dimensions et positions des pastilles) qui maximise le facteur de cou-plage modal ;
• enfin, régler l’impédance d’après les formules des tableaux 2.9 et 2.8.
Dans le chapitre suivant, la méthode d’optimisation choisie est exposée et les algorithmes qui la composent sont détaillés.
chapitre 3
Optimisation de la géométrie et de la
localisation des pastilles piézoélectriques
L’objectif de ce chapitre est de présenter une méthode pour maximiser le couplage modal électromécanique entre un ensemble de pastilles piézoélectriques et une structure élastique quelconque discrétisée par la méthode des éléments finis. La valeur optimale du couplage est ensuite utilisée pour maximiser les performances d’un shunt résistif ou résonant1.
Pour augmenter l’amortissement, un point important est d’optimiser le système dans son ensemble, c’est-à-dire la position et la géométrie des pastilles ainsi que le choix des composants du circuit électrique du shunt. Il a été montré, à la section 2.3.4 et dans [46, 130], que ces deux optimisations, mécanique et électrique, peuvent être réalisées séparément. De plus, il a été prouvé dans [62, 41, 22, 48] que les seuls paramètres à maximiser sont les coefficients de couplage modaux électromécaniques, qui caractérisent les échanges d’énergie entre les pastilles piézoélectriques et la structure selon les différents modes de vibration de cette dernière.
Puisque les valeurs optimales des composants du circuit électrique du shunt sont unique-ment fonctions des coefficients de couplage modaux et des caractéristiques des pastilles et de la structure [47, 46], elles peuvent être calculées dans un second temps. Ainsi, il faut en premier lieu réaliser l’optimisation mécanique puis l’optimisation électrique, les deux étant découplées.
L’optimisation mécanique consiste uniquement à maximiser les coefficients de couplages modaux électromécaniques en déterminant les meilleures positions et dimensions des pastilles. Pour atteindre cet objectif, sous la contrainte que la structure sur laquelle elles sont collées possède une géométrie quelconque, une formulation éléments finis 3D du problème électromé-canique est utilisée (chapitre 2). Puis, afin d’obtenir les coefficients de couplages modaux, un modèle réduit du problème discrétisé est construit en projetant le vecteur des inconnues de déplacement mécanique sur les modes du système en court-circuit.
Cependant, un problème rédhibitoire intervient lorsque la procédure d’optimisation, qui vise à réduire l’amplitude des vibrations, utilise plusieurs pastilles. Le nombre de combinaisons possibles de géométrie et de position, associé au fait qu’il faille résoudre un problème aux valeurs propres de grande taille pour accéder aux coefficients de couplages modaux, conduit à des temps de calcul gigantesques, qui rendent la méthode inutilisable. Même lorsque la taille de l’espace de recherche est réduit,i.e., certains paramètres (longueurs, épaisseurs, . . .) sont figés, les temps de simulation restent très importants (plusieurs jours). Pour remédier à cette difficulté, la procédure d’optimisation est séparée en deux étapes distinctes dont chacune
possède sa stratégie de recherche.
• dans la première étape, l’influence des pastilles sur les modes et les fréquences propres de la structure est négligée. Cela est équivalent à dire que les pastilles ont une épaisseur négligeable. Associé à cette hypothèse, qui permet de n’effectuer qu’une seule résolution de problème aux valeurs propres, un indicateur analytique de couplage électromécanique, basé sur les déformées modales de la structure nue, est défini et sert à indiquer si à tel ou tel choix de paramètre correspond un couplage élevé. Pour explorer de manière efficace l’espace de recherche, un algorithme de recuit simulé [44, 49, 51, 141] est employé. Le but est ici de trouver une solution dont les coefficients de couplage modaux associés sont proches de ceux de la solution optimale. La nature aléatoire du recuit simulé oblige à rejouer cette première étape plusieurs fois afin de constituer un ensemble de solution approchée de bonne qualité. La meilleure sert alors de point de départ à la seconde étape du processus d’optimisation.
• La seconde étape réintègre l’effet de la raideur et de la masse des pastilles piézoélectriques sur les modes et les fréquences propres de la structure. Un algorithme de recherche avec liste taboue [26, 141, 85, 71] est alors chargé d’explorer le voisinage local de la configuration fournie par l’algorithme de recuit simulé.
Cette approche est valide uniquement si la structure sur laquelle sont collées les pastilles est massive. Dans ce cas, l’approximation consistant à négliger les effets de la raideur et de la masse des pastilles sur les modes propres et valeurs propres de la structure ne devrait pas conduire l’algorithme de recuit simulé à trouver des solutions trop éloignées de la solution optimale. Dit autrement, les ki sont supposés ne dépendrent, dans un premier temps, que des modes propres de la structure nue, de la matrice de couplage et des capacités des pastilles. Le rôle de la seconde étape d’optimisation, très chronophage, est de prendre en compte cette petite influence des pastilles sur la structure et d’adapter localement les positions et les géométries des pastilles précédemment trouvées.
Le chapitre débute sur une présentation succincte du domaine de l’optimisation. Le fonc-tionnement de la procédure de calcul et des algorithmes qui la compose est ensuite détaillé. Enfin, l’implémentation du code ainsi qu’un cas test de validation sont présentés.