Dans ce chapitre, nous avons présenté des algorithmes permettant de décrire de manière volumique, des objets discrets. Pour simplifier le propos, après quelques variations autour du thème des algorithmes séparables et de leurs généralisations, nous nous sommes attachés à la description de formes par union de boules.
Quel que soit l’objectif, simplification, filtrage, transmission progressive, et que ce soit d’un point de vue théorique ou pratique, l’aspect crucial était de caractériser l’importance d’une boule relativement aux autres et à la forme. Pour mieux comprendre les différentes interactions entre boules, les liens que nous avons présentés avec les diagrammes de puis-sances nous semblent très importants. Une analyse un peu plus fine de cette structure en interaction avec le modèle discret est une perspective importante. En particulier, il serait intéressant d’analyser les variantes discrètes des formules d’inclusion/exclusion de Attali et Edelsbrunner [AE07] pour mieux contrôler l’apport d’une boule sur le volume total de l’objet.
Une autre utilisation de ces objets de la géométrie algorithmique concerne la description hiérarchique par union de boules d’une forme (sphere-tree). Des travaux récents dans ce domaine ont montrés l’intérêt d’une telle structure dans de nombreuses applications [BO02]. Une perspective de tous ces outils serait donc de proposer une approche discrète de cette
8.6. Conclusion et perspectives
structure.
D’un point de vue plus théorique, nous avons prouvé que, dans le cas général, l’extrac-tion de l’axe médian minimum était un problème NP-complet pour la distance euclidienne. Si des généralisations à d’autres distances (d∞, distances de chanfrein,. . . ) peuvent être envisagées, elles demandent très souvent une construction ad-hoc des objets élémentaires (variables, clauses,. . . , voir [CHS07]). Par ailleurs, la réduction polynomiale construit des formes possédant des trous (cycles dans Planar-4-3-SAT), nous pouvons donc nous poser la question suivante : le problème est-il toujours NP-complet si l’objet n’a pas de trous ? Dans le cas continu, certains problèmes semblent plus simples pour ce type d’objets. Dans le cas discret, si certains signaux ne sont pas très optimistes (non chordialité du graphe), le problème reste à étudier.
0 10 20 30 40 50 60 70 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 Unions convexes jusqu’a 4 boules
Unions convexes jusqu’a 3 boules Troncs de cones et boules Boules (a) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 Unions convexes jusqu’a 4 boules
Unions convexes jusqu’a 3 boules Troncs de cones et boules Boules
(b)
Fig. 8.13 – Courbes débit/distorsion sur les objets catenoid de taille 8 (a) et 32Dodge (b) avec plusieurs stratégies.
8.6. Conclusion et perspectives
Conclusion générale et perspectives
8.7 Synthèse des travaux réalisés
Commençons par reprendre les différents chapitres afin d’isoler un peu plus précisément nos différentes contributions.
– Chapitre 4 : nous avons présenté les différents modèles de discrétisation les plus utilisés. Nous avons ensuite proposé une approche basée sur l’arithmétique d’intervalles pour caractériser la supercouverture d’un objet euclidien.
– Chapitre 5: nous nous sommes intéressés aux objets fondamentaux de la géométrie discrète que sont les droites, les plans et les cercles discrets. Après avoir fait le lien avec des résultats de géométrie algorithmique, de programmation linéaire ou d’arith-métique, nous avons analysé la complexité des algorithmes de reconnaissance. Plus précisément, nous avons insisté sur la caractérisation de la préimage des plans discrets et sur l’algorithmique associée à la reconnaissance de cercles discrets.
– Chapitre6: nous avons mis en œuvre les algorithmes de reconnaissance dans le cadre de la reconstruction réversible d’objets euclidiens. Dans un contexte de tracé par un solveur d’arithmétique d’intervalles de fonctions complexes, nous avons présenté un mécanisme de reconstruction sur des grilles isothétiques irrégulières en dimension 2 à la fois efficace en nombres de segments mais aussi correct topologiquement et géo-métriquement. Nous avons ensuite exploité et optimisé la préimage des plans discrets pour obtenir une reconstruction réversible d’un polyèdre à partir d’un objet discret 3D.
– Chapitre 7: nous nous sommes intéressés à l’analyse volumique de formes discrètes par le biais de la transformation en distance et de l’extraction de l’axe médian. Nous avons présenté des algorithmes séparables, optimaux en temps, pour tous ces pro-blèmes. Par la suite et en exploitant le côté séparable des outils, nous avons généralisé ces transformations aux espaces toriques, modélisation très utilisée dans de nombreuses applications.
– Chapitre 8 : nous nous sommes intéressé à l’exploitation et à l’optimisation de la représentation des objets discrets sous forme d’union de boules discrètes (l’axe médian). Cette représentation étant parfois redondante, nous avons tout d’abord montré que la notion d’axe médian minimum entrait dans une classe de problèmes algorithmiques difficiles (NP-difficiles). Par la suite, plusieurs heuristiques ont été proposées pour réduire cet ensemble sans perte d’information. Enfin, nous nous sommes intéressés à la notion de filtrage (donc avec perte) de l’axe médian. Ces différents outils ont été utilisés dans une problématique de transmission progressive d’objets discrets.
D’un point de vue contractuel, les développements liés à l’arithmétique d’intervalles et aux grilles isothétiques irrégulières se sont déroulés dans le cadre de l’ACI Jeunes Chercheurs GeomDiGIT (voir section1.6). Concernant l’analyse d’objets fondamentaux, nous rejoignons ici le projet ANR Blanc GeoDib sur lequel nous reviendrons dans les perspectives.
En termes de collaborations, ces éléments ont été très souvent le fruit de collaborations ou de discussions (voir sections1.4.2et 1.4.3) et ont donné lieu, en plus de publications, à des développements logiciels diffusés (voir annexeA).