En conclusion, nous disposons d’un montage expérimental permettant d’étudier l’évolution d’une mousse 2D et l’influence de l’humidité de la mousse sur cette évolution. Ce dispositif composé d’un réservoir et d’une partie confinée entre deux plaques est idéal pour contrôler l’humidité de la mousse et donc le mûrissement et la coalescence d’une mousse 2D. L’étude des caractéristiques de la cellule 2D effectuée, en imageant la surface de différentes mousses, a permis de vérifier que le paramètre de contrôle était la taille des pseudo-bords de Plateau rPS. Ceci signifie qu’avec cette cellule, ce n’est pas l’humidité de la mousse 2D, mais la pression capillaire Pc= r2γ
PS qui est contrôlée. Cette expérience nous permet donc de varier facilement la taille des bulles et φs à valeur de rPS contrôlée. De plus, grâce aux travaux effectués lors de la caractérisation de cellule
4.3. CONCLUSION SUR LE MONTAGE EXPÉRIMENTAL 43
2D, une première étape vers la compréhension du lien entre la fraction liquide à 2D et à 3D a été réalisée.
Dans les chapitres suivants, ce montage expérimental sera utilisé dans la configu-ration présentée dans la section4.1 afin d’étudier la compétition entre le mûrissement et la coalescence puis d’analyser exclusivement le mûrissement et enfin uniquement la coalescence.
Identification et analyse des mousses
qui coalescent
Dans cette partie, nous chercherons à étudier l’évolution de mousses 2D. Le mû-rissement et la coalescence peuvent être analysés à l’aide du montage expérimental présenté dans le chapitre4. L’une des difficultés majeures lors de cette étude est de dé-terminer automatiquement les mousses qui ont évolué principalement par coalescence et celles qui ont principalement mûri. En effet, nous pouvons voir sur la figure5.1 qu’il est possible de reconnaître à l’œil, à partir d’une image prise à un certain temps t, l’histoire de la mousse.
Ainsi, sur la figure 5.1a se trouve une mousse 2D de "fairy" (produit vaisselle couramment utilisé car il permet d’obtenir des mousses très stables). Á t = 0 min, la mousse est monodisperse avec de grandes zones des bulles hexagonales. Á t = 3355 min, la mousse est devenue polydisperse, avec la présence de grosses bulles de géométrie régulière. Les zones avec les bulles hexagonales ont rétréci mais sont toujours présentes. La seule visualisation de cette image, permet d’estimer que la mousse a principalement mûri.
Sur la figure5.1b, nous constatons qu’à temps t = 0 min, la mousse est similaire à celle de la figure 5.1a. Cependant, les bulles sont plus grosses et les films les séparant sont beaucoup plus fins montrant qu’il s’agit d’une mousse plus sèche. Si l’on s’inté-resse à l’image de cette mousse au temps t = 756 min, on peut voir une mousse très polydisperse avec une très grosse bulle et quelques grosses bulles de forme irrégulière. La forme de ces bulles permet de savoir qu’il s’agit d’une mousse ayant évolué par coalescence contrairement à la mousse dans la figure 5.1a.
À l’œil, il est donc possible de deviner l’histoire d’une mousse à partir d’une image de la mousse prise à un certain temps t. Dans ce chapitre est présenté un paramètre grâce auquel nous distinguons les mousses qui ont évolué principalement par coales-cence de celles ayant évolué principalement par mûrissement. Ensuite, nous verrons un programme Matlab permettant de suivre les bulles d’une image à l’autre afin de détecter chaque évènement de coalescence.
5.1 Paramètre de convexité
En regardant les images d’évolution de mousses de la figure 5.1, on peut observer plusieurs différences en fonction de l’histoire des mousses. Ainsi, dans une mousse ayant évolué principalement par coalescence des bulles, nous avons la présence de bulles
5.1. PARAMÈTRE DE CONVEXITÉ 45
(a)
(b)
Figure 5.1: L’évolution de deux mousses. Au temps t = 0 s, les deux mousses sont mono-disperses et similaires. Au bout d’un certain temps t, elles ont évolué de manière différente. a) La mousse qui a évolué par mûrissement, est composée de plusieurs grosses bulles et de zones de bulles à 6 cotés n’ayant pas évolué. De plus, ces bulles sont de forme régulière. b) Cette mousse a évolué par coalescence, il y a quelques bulles de très grande taille et de forme très irrégulière.
beaucoup plus grosses, très allongées, avec de nombreux voisins. L’utilisation de ces paramètres pour comparer l’histoire des mousses est complexe car ces grosses bulles sont rares et leur influence sur les paramètres à l’échelle globale est faible. Il faudrait donc étudier les queues de distribution ce qui s’avère difficile. Ainsi, nous avons mesuré des paramètres tels que l’aire moyenne des bulles, leur allongement, leur nombre de côtés. La valeur de ces paramètres pondérée par la taille des bulles a été calculée. Mais la différence entre les différentes images de la figure 5.1 reste noyée dans le bruit. Un autre paramètre caractéristique de ces bulles a donc été introduit : leur convexité. Pour caractériser cette convexité, nous avons choisi d’utiliser un outil mathématique appelé l’enveloppe convexe.
5.1.1 Définition de l’enveloppe convexe
L’enveloppe convexe est le plus petit ensemble convexe contenant les points du système. Il est facile de comprendre ce qu’elle représente grâce à l’expérience de pensée présentée sur la figure 5.2. Il s’agit d’utiliser des clous plantés dans un support. La forme prise par l’élastique, rouge de la figure 5.2 est celle de l’enveloppe convexe. Les clous verts sont en contact avec l’élastique et donc à la limite de l’enveloppe. Nous allons appliquer cette expérience de pensée sur les bulles composant une mousse 2D pour extraire leur enveloppe convexe.
Figure 5.2: Exemple de l’enveloppe convexe avec des clous et un élastique. La forme prise par l’élastique pour faire le tour des clous correspond à l’enveloppe convexe.
5.1.2 Convexité des bulles
Afin de calculer l’enveloppe convexe, nous utilisons le squelette d’images de mousse 2D. Pour chaque bulle de l’image, les coordonnées des vertex sont connues (la manière dont ces informations sont obtenues est détaillée dans le chapitre 7). En utilisant la fonction "convexhull" de MATLAB, il est possible de calculer l’enveloppe convexe et son aire pour chacune des bulles.
(a)
(b)
Figure 5.3: Exemple de l’enveloppe convexe sur a) une bulle qui a mûri et b) une bulle qui a évolué par coalescence.
Sur la figure 5.3 sont représentées deux bulles avec leurs vertex en bleu et leur enveloppe convexe en rouge. Sur la figure 5.3a, l’évolution est due principalement au mûrissement. On peut ainsi constater que l’enveloppe convexe passe par tous les vertex. De plus, la différence entre l’aire réelle de la bulle et celle de son enveloppe convexe est faible. Au contraire dans le cas de la bulle ayant principalement évolué par coalescence (Figure 5.3b), l’enveloppe convexe ne passe pas par tous les vertex et l’aire comprise par l’enveloppe convexe est plus grande que l’aire réelle de la bulle.
En calculant la différence entre l’aire de l’enveloppe convexe et celle de la bulle pour chacune des bulles, nous pouvons calculer la convexité, Cv de la mousse pour une image donnée grâce à l’équation 5.1.
Cv = hAconv−Abulle
hAbullei i hAconv t=0−Abulle t=0
hAbulle t=0i i (5.1) Cette équation correspond à la moyenne sur toutes les bulles de l’image de la différence entre l’aire de l’enveloppe convexe, Aconv et l’aire réelle de la bulle, Abulle pondérée par l’aire moyenne des bulles de l’image, hAbullei. Afin de pouvoir comparer les différentes expériences, ce paramètre est normalisé par sa valeur sur la première image à t = 0 min. Dans le cas de mousses ayant évolué par mûrissement ou par évènements isolés de