Conclusion : l’essor de la programmation par contraintes sur intervalles

equipes de recherche travailleraient `a instancier leur outil g´en´erique (peu accessible `a l’utilisateur final) pour produire des outils clefs en main, avec peu de poign´ees d’entr´ee pour l’utilisateur final.

Je voudrais conclure cette section par un souhait, qui peut aussi s’interpr´eter n´egativement comme une crainte. Il est difficile aujourd’hui d’avoir une comparaison entre les op´erateurs de PPCI, entre ceux de programmation math´ematique ou entre ceux d’analyse par intervalles.

De mˆeme, aucun travail d’exp´erimentation pouss´e ne permet de comparer les contracteurs des diff´erentes sous-communaut´es. Ne parlons pas de confrontations avec les outils de r´esolution de syst`emes alg´ebriques ou les m´ethodes de continuation. Les m´ethodes `a intervalles ont tard´e `a montrer des performances int´eressantes en pratique et il n’y a plus de temps `a perdre pour promouvoir ce domaine de recherche. Certaines d´erives de la publication scientifique et de la recherche en g´en´eral fournissent une partie de l’explication, mais des domaines comme SAT, mais aussi l’optimisation globale (non fiable), avec l’organisation annuelle de comp´etitions de solveurs, montrent la voie `a suivre. Sans aller jusqu’`a l’organisation de telles comp´etitions sur un serveur d´edi´e, le mod`ele des NCSP est suffisamment simple pour esp´erer connaˆıtre les performances des diff´erents outils (avec un param´etrage r´egl´e automatiquement), mˆeme si l’´evaluation de la qualit´e des solutions et l’influence de la forme des ´equations sur les temps de r´esolution compliquent sensiblement la tˆache. Des benchmarks existent d´ej`a (page Web de COPRIN, COCONUT), mais il faut aller plus loin. Une confrontation scientifique saine doit avoir lieu pour passer `a une autre

´

echelle dans l’int´erˆet de l’industrie pour ce domaine.

3.6 Conclusion : l’essor de la programmation par contraintes sur intervalles

Nous concluons par diff´erents arguments expliquant l’essor naissant des m´ethodes `a intervalles dans plusieurs champs d’application, ainsi que l’essor des techniques de PPCI dans ces m´ethodes de r´esolution :

– De nouveaux outils de r´esolution g´en´eralistes bas´es sur les intervalles voient et verront le jour, contribuant ainsi `a convaincre les ing´enieurs de l’efficacit´e de l’approche. Certains outils sont autonomes, d’autres constituent des biblioth`equesC++, d’autres sont int´egr´es `a des outils d’analyse num´erique (Matlab/Scilab), ou seront bientˆot int´egr´es `a des outils de calcul formel (Mathematica/Maple).

Les outils d´edi´es `a des classes de probl`emes sp´ecifiques devraient impacter plus vite encore le monde industriel.

– De plus, les gains en performance d´ej`a obtenus ou `a venir devraient permettre de traiter des probl`emes plus importants ou plus difficiles (optimisation, avec quantificateurs, ´equations diff´erentielles, etc).

– Enfin, les m´ethodes `a intervalles sont irrempla¸cables pour mod´eliser et r´esoudre certains probl`emes.

Les paragraphes suivants approfondissent les deux derniers arguments. Ajoutons comme argu-ment peu technique la venue d’une nouvelle g´en´eration de jeunes chercheurs `a forte et double-comp´etence en PPCI (informatique) et en analyse par intervalles (math´ematiques), comme en France Alexandre Goldsztejn (CNRS, LINA) et Gilles Chabert (Ecole des Mines de Nantes).

Gains en performance d´ej`a obtenus ou `a venir

Nous avons soulign´e plus haut les gains d´ej`a obtenus par les sch´emas de r´esolution bas´es sur les contracteurs de PPCI et Newton intervalles par rapport aux sch´emas pr´ec´edents (tests d’exis-tence + Newton). Notons que finalement peu d’outils exploitent `a la fois des op´erateurs de PPCI, des algorithmes de type Newton intervalles et des techniques de relaxation lin´eaire.

Le r´ecent sch´ema d’optimisation globale robuste sous contraintes propos´e par Rueher et al. [245]

et int´egr´e dans Icos montre des performances encourageantes, qui sont interm´ediaires entre GlobSolde Kearfott [165] etBaron[250]. Il s’agit d’un point de d´epart incontournable pour tout travail de recherche en optimisation globale robuste. Les derniers travaux pour am´eliorer la borne sup´erieure men´es notamment par A. Goldzstejn et L. Granvilliers (non encore publi´es) et qui seront int´egr´es dansRealPaver[112] devraient pratiquement combler le manque de performance en optimisation globale des outils `a intervalles par rapport `aBaron.

Concernant les contributions en PPCI, rappelons l’int´egration dans Baron de l’algorithme 2B.

Rappelons que certains algorithmes existants de PPCI ont ´et´e sous-estim´es et sous-utilis´es jus-qu’`a pr´esent, notamment l’algorithme3B. De plus, des gains en performance sont `a venir `a court ou moyen terme grˆace `a de nouveaux contracteurs comme MohC (exploitant la monotonie des fonctions) et `a la manipulation symbolique des contraintes ou de la matrice jacobienne. Ces arguments sugg`erent que notre sch´ema de contraction (I-CSE suivi de 3BCID(Mohc)) pourrait apporter des gains cons´equents dans d’autres domaines connexes comme l’optimisation globale.

Enfin, des gains en performance sont `a esp´erer grˆace `a des nouvelles heuristiques de choix de variables `a bissecter et des parcours intelligents de l’arbre de recherche issus de la PPC.

D’un point de vue exp´erimental, la confrontation croissante (ou `a venir) entre les diff´erentes sous-communaut´es intervalles, et avec les approches alg´ebriques, les m´ethodes de continuation et l’optimisation globale devraient faire progresser les m´ethodes `a intervalles.

3.6. Conclusion : l’essor de la programmation par contraintes sur intervalles 75

Champs d’application incontournables

Les m´ethodes `a intervalles sont utilis´ees dans un nombre croissant d’applications dans des do-maines vari´es comme la robotique, l’automatique, la chimie, l’imagerie. Comme je ne suis pas un sp´ecialiste de ces applications, le lecteur pourra obtenir de multiples autres exemples que ceux d´ecrits ci-apr`es en consultant (les travaux de) Luc Jaulin et Jean-Pierre Merlet.

Les strat´egies de recherche de l’ensemble des solutions sont d’abord cruciales dans certaines applications. Nous donnons trois exemples. Une application en chimie est propos´ee par Baharev et Rev concernant la recherche des ´etats stables (et instables) des processus de distillation [16, 18, 17]. Calculer ces ´etats stables de mani`ere fiable est crucial dans la construction, la simulation et le contrˆole des colonnes de distillation. Les syst`emes correspondants comprennent des dizaines voire des centaines de contraintes non-lin´eaires. Si les m´ethodes alg´ebriques semblent ´ecart´ees `a cause de la taille des syst`emes trait´es, les m´ethodes `a intervalles entrent en concurrence avec les m´ethodes de continuation.

Un deuxi`eme exemple est le lancer de rayon (ray tracing) pour tracer sur un ´ecran des surfaces implicites d´efinies par les solutions d’une ´equation du type f(x, y, z) = 0. Sans d´etailler, l’ap-proche revient `a intersecter, pour chaque pixel dessin´e, le rayon (allant de l’oeil au pixel dessin´e) et la surface. En pla¸cant un rep`ere sur le rayon, cela revient `a trouver la plus petite racine posi-tive (la plus proche de l’oeil) d’une fonction univari´ee. Les m´ethodes `a intervalles commencent

`

a ˆetre tr`es comp´etitives pour cette recherche de racine, au point de parvenir `a du temps r´eel en utilisant un processeur de type GPU [170].

Le troisi`eme exemple peut se voir comme une version tr`es simplifi´ee du probl`eme trait´e dans mon ´equipe et mentionn´e `a la section 2.5.1. Il s’agit de la d´etection de singularit´es pour un robot parall`ele, o`u il faut garantir que le robot ne casse pas quand l’organe terminal atteint n’importe quel point dans une boˆıte donn´ee (espace de travail). Un moyen de r´esoudre ce probl`eme consiste

`

a s’assurer que le d´eterminant d’une certaine matrice J ne s’annule pas. A cette fin, on v´erifie que le syst`emedet(J(X)) = 0 n’a pas de solution dans la boˆıte, ce qui demande une exploration exhaustive de l’espace de recherche.

Les m´ethodes `a intervalles semblent ˆetre, avec les m´ethodes d’optimisation globale sous contrain-tes non-lin´eaires qui d´efinissent l’espace de recherche par des polytopes, laseule approche possible pour prendre en compte des erreurs de fabrication ou de mesure born´ees, ou pour ajouter des quantificateurs sur ces coefficients. On peut reprendre l’exemple pr´ec´edent que l’on rend plus r´ealiste en consid´erant les erreurs sur les points de pose des jambes sur les plateformes (ou sur les longueurs de ces jambes). Un autre exemple est celui de la conception d’un robot qui doit ˆ

etre capable d’atteindre un espace de travail : pour toute perturbation sur les points d’attache et sur les mesures des jambes, existe-t-il un point atteignable (par l’organe terminal) dans un espace de travail donn´e ? Les travaux de Luc Jaulin et Eric Walter sur l’estimation robuste de param`etres en pr´esence de mesures aberrantes (en nombre born´e) constituent un autre exemple de probl`eme difficile `a aborder autrement que par les m´ethodes `a intervalles [148].

De l’autre cˆot´e du spectre, les m´ethodes `a intervalles, en l’occurrence la propagation de contrain-tes, sont parfois capables de r´esoudre des probl`emes comprenant des milliers de contraintes. Un exemple est la d´etection de mines par un robot sous-marin et son auto-localisation (SLAM :

simultaneaous localization and map building) qui a ´et´e abord´e par Luc Jaulin [145]. Le robot sous-marin est muni de plusieurs appareils de mesure sophistiqu´es et le probl`eme est mod´elis´e essentiellement par une ´equation d’´etat (diff´erentielle ordinaire) dont la discr´etisation produit des centaines de milliers de contraintes. Comme les appareils du sous-marin sont de grande qualit´e et produisent des erreurs de mesure faibles et garanties par le fabriquant, la r´esolution de ce probl`eme est essentiellement assur´ee par l’algorithme2B(aucun point de choix n’est n´ecessaire).

La propagation de contraintes intersecte en quelque sorte les diff´erentes boˆıtes obtenues par ces multiples mesures au cours du temps.

Chapitre 4

Autres contributions

Ce chapitre r´esume mes contributions dans les autres domaines de recherche auxquels je me suis int´eress´e depuis la th`ese : le mod`ele des contraintes fonctionnelles, la d´ecomposition et la r´esolution des syst`emes de contraintes (g´eom´etriques) et la recherche locale pour l’optimisation combinatoire.