4 Loi de comportement du pl
5.1 Concept de l’endommagement progressif
Le choix pertinent du critère de rupture est crucial pour pouvoir reproduire les mécanismes réels de fissuration. Il a été démontré physiquement que la rupture finale du matériau résulte généralement de la coexistence de plusieurs mécanismes élémentaires provoquant l’amorçage d’une série de fissures sous chargement continue. Les critères binaires de rupture ont été alors abandonnés au profit d’un concept d’endommagement progressif dont l’évolution est associée à l’énergie de rupture du matériau [Puc-98, Puc-02, Ian-06a, Ian-06b, Ian-07, pin-06a, pin-06b, Don-08, Don-09, Fal-11a, Fal-11b]. Cette approche permet d’exploiter l’énergie réelle dissipée dans un VER pour reproduire rigoureusement le développement de la fissure à partir de la phase physique d’initiation jusqu’à la rupture finale. Selon Puck [Puc-98, Puc-02], il est indispensable de séparer le critère de rupture des fibres et celui de la matrice car les mécanismes de rupture sont totalement différents. Il est également nécessaire de décrire la rupture dans la direction transversale et en cisaillement plan par deux équations indépendantes.
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Ces deux équations doivent décrire la dépendance des contraintes de cisaillement calculées dans le repère (1,2,3- à celles calculées dans le plan de rupture )1, E, -. Le paragraphe suivant décrit et justifie le choix de différents critères de rupture implémentés dans le modèle numérique proposé.
5.1.1 Modèle d’endommagement pour une rupture sous chargement longitudinal
Le comportement en traction et en compression dans le sens longitudinal est piloté par les fibres. Il est considéré linaire élastique et isotrope jusqu’à la rupture. Cette hypothèse est justifiée par les résultats d’essais de rupture conduits sur deux types de composites, à savoir un Verre/Epoxy et un Carbone/Epoxy. Aucune observation expérimentale n’a mis en évidence la contribution d’autres contraintes dans la rupture. Les caractéristiques mécaniques de la matrice n’ont quasiment pas d’influence sur la limite à la rupture en traction du pli. Ceci est dû aux faibles valeurs de la limite à la rupture de la matrice comparée à celle des fibres. La Figure 3.3
illustre un comportement type du matériau sous sollicitation longitudinale traction- compression, l’ordre a un sens.
Figure 3.3. Modèle de comportement longitudinal (traction→compression) d’un composite UD.
(a) sans récupération de rigidité initiale en phase compression [Don-08], (b) avec récupération de rigidité initiale en phase compression [Fal-11a].
On considère ici l’hypothèse de Falzon et al. [Fal-11a] qui suppose que le matériau, une fois chargé en traction jusqu’à même initiation de fissures (endommagement), peut reprendre en phase de compression sa rigidité initiale (Figure.3.3b). Physiquement, ce choix est motivé par le fait que les fissures amorcées par la traction sont supposées capables de se refermer complètement sous effet de compression. Le matériau est ainsi supposé après déchargement (BO) de même rigidité en compression (OC) qu’à son état initial (OA).
Les énergies par unité de surface de rupture des fibres sont exprimées respectivement en traction et en compression par les relations suivantes [Don-08, Don-09] :
0b,c Rd,3 e X f,3e D∗ 0b,h Rd,3 i X f,3i D∗ (3.15)
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caractéristique de l’élément de volume représentatif. La rupture des fibres est provoquée principalement par les contraintes portées par leur direction. Les caractéristiques mécaniques de la matrice sont considérées sans influence sur la limite à la rupture en traction du pli. Le critère de la déformation maximale a été alors utilisé pour modéliser l’initiation de l’endommagement des fibres en traction et en compression :
Gc kR33
Rf,3e l ≥ 1 Gh kR33
Rf,3i l ≥ 1
(3.16)
C,c et C,h sont les déformations seuil à l’initiation de la rupture du matériau, respectivement en
traction et en compression. L’évolution de l’endommagement est traduite respectivement en traction et en compression par les expressions suivantes :
Ac <nL o0, <_E p1, Rd,3e Rd,3e 1R f,3 e k1 −Rf,3 e R33lqr Ah <nL o0, <_E p1, Rd,3i Rd,3i 1R f,3 i =1 −Rf,3 i R33@qr (3.17)
Ac et Ah sont les variables internes d’endommagement dont les incréments peuvent être
respectivement obtenus en fonction de l’incrément de déformation comme suit [Don-08] : ∆Ac Rd,3e Rd,3e 1R f,3 e kRf,3 e R334 l ∆ ∆Ah Rd,3i Rd,3i 1R f,3 i =Rf,3 i R334 @ ∆ (3.18)
La variable interne d’endommagement des fibres sera ainsi identifiée comme suit : A <nL sAc 〈X33〉
|X33|, A
h w (3.19)
La contrainte longitudinale est calculée à partir de la contrainte effective en utilisant la relation suivante:
` )1 − A - (3.20) Dans le but de modéliser l’endommagement de la fibre sous compression, Donadon et al. [Don- 08] a proposé de faire dégrader la contrainte longitudinale ) - à une valeur ) xyz- équivalente à la résistance transverse de la matrice. L’endommagement est, à partir de ce point, piloté par le mécanisme de cisaillement de la matrice. A la différence de l’approche de Donadon et al. [Don- 08, Don-09],nous optons dans la présente étude pour une dégradation complète de la contrainte en compression par effet de la variable Ah .
Phénomène de "vrillage des fibres" en compression : "fibre kinking"
La rupture des fibres en compression peut se produire selon deux principaux modes. Le 'micro- flambement' dû à la déformation des fibres dans la matrice ou le 'vrillage' traduisant la formation d’une bande de cisaillement dans la matrice qui provoque une rupture située généralement à son extrémité. Suite à la déformation excessive, les fibres agissent sous compression de telle sorte à provoquer une bande de cisaillement générant ainsi la rupture de la matrice qui les entoure.
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Certains auteurs attribuent le vrillage des fibres au micro-flambement. En effet, la déformation excessive des fibres provoque la formation d’une bande de cisaillement puis une rupture de la matrice qui entoure les fibres déformées. Pinho et al. [Pin-06a, Pin-06b] ont adapté un modèle bidimensionnel de vrillage des fibres au cas tridimensionnel. Ils supposent que la formation de la bande de cisaillement est provoquée par la rupture de la matrice due à un désalignement initial des fibres.
Figure 3.4. Illustration du phénomène de vrillage des fibres en compression.
Pour un pli unidirectionnel soumis à un chargement unidirectionnel, la bande de cisaillement est supposée appartenir au plan du pli défini par la base )1, D, {-, les contraintes dans ce plan sont données par : | } ~ } • €€ X44•X55/X441X55Y^:)2‚- / :_E)2‚- ƒƒ / − €€ € Y^:)‚- / :_E)‚- €ƒ 0 ƒ Y^:)‚- + :_E)‚- (3.21)
L’angle de vrillage est obtenu en supposant que la contrainte de cisaillement transversale est nulle, il est alors défini par :
nE)2‚- „45
X441X55 (3.22)