Concept et formalisme

2.1.3 Des B-splines comme base de représentation . . . 72

2.2 La modélisation des projections . . . . 80

2.2.1 Caractérisation géométrique du système . . . 80 2.2.2 Définition d’un projecteur . . . 88 2.2.3 État de l’art . . . 93

2.3 Le projecteur de B-splines . . . 103

2.3.1 Détermination de l’empreinte . . . 103 2.3.2 Étude des erreurs de modélisation . . . 108 2.3.3 Mise en œuvre pratique . . . 114

2.4 Mise en application en reconstruction 2-D statique à faible nombre de projections . . . 118 2.5 Conclusion et perspectives . . . 154

Nous avons, dans le chapitre précédent, élaboré une approche inverse adaptée au problème de la reconstruction tomographique à faible nombre de projections, notamment grâce à l’em-ploi de la régularisation très efficace que constitue la variation totale TV. De nos études est ressorti le gain substantiel que pourrait apporter, dans ces conditions, un modèle de projection tomographique extrêmement précis.

Nous nous penchons donc dans ce chapitre sur ce point essentiel qu’est la modélisation du processus d’obtention des données dans tout problème inverse. En tomographie, nous verrons que des recherches conséquentes ont déjà été menées sur le sujet, amenant à des modèles de pointe, pourtant peu utilisés du fait notamment des contraintes en temps de calcul imposées par la reconstruction itérative.

Nous allons redéfinir les propriétés et les besoins essentiels à l’élaboration d’un projecteur tomographique précis et compétitif en temps de calcul. Nous proposerons alors de développer notre propre modèle optimisé, basé sur l’utilisation de fonctions B-splines, qui devrait surpasser en précision les modèles existants et améliorer grandement la qualité des reconstructions.

Grâce à un tel projecteur, qui sera expérimenté dans le cadre de reconstructions 2-D à faible nombre de projections, nous pensons assurer à notre méthode de reconstruction une robustesse accrue dans le traitement optimal de l’information parcimonieuse, qui nous permettra de traiter au mieux le problème de la tomographie dynamique, dans le chapitre suivant.

2.1 Approche continue de la représentation de l’objet d’intérêt

2.1.1 Concept et formalisme

Représenter l’information physique

Nous allons dans un premier temps établir le formalisme de la représentation de l’objet d’intérêt, dont nous souhaitons reconstruire une image. La finalité de cette image, ne l’ou-blions pas, est de rendre compte d’une information ou phénomène physique. Pour ce faire nous utilisons le seul langage qui nous est intelligible : le formalisme mathématique. Il est soumis à une théorie, à des règles et des contraintes qu’il nous faut suivre pour obtenir la meilleure représentation possible de notre information physique, et que nous développerons. En tomo-graphie par rayons X, l’information physique associée à cette image est l’absorption d’une source monochromatique, émise à une énergie donnée, par l’objet en tout point de l’espace (cf. chapitre 1). Elle s’interprète, dans notre représentation, par une quantité : le coefficient d’atténuation linéique (unité SI m−1) du matériau ou tissu traversé. Il faut noter que lorsqu’un faisceau de rayons X traverse un corps, il passe par différents tissus, qui peuvent chacun avoir un coefficient d’atténuation différent. La transition entre les tissus est nette, on suppose que ceux-ci ne se mélangent pas. Nous considérons l’image des valeurs des coefficients d’atténuation comme un signal continu par morceaux dans un espace à 2 ou 3 dimensions spatiales suivant le problème de tomographie mis en œuvre. Dans le cas de la tomographie dynamique, une 3ème

(respectivement 4ème) dimension, temporelle cette fois, s’intégrera au signal pour tenir compte de son évolution continue dans le temps. Cependant, dans notre approche de la projection to-mographique, nous allons supposer que l’acquisition des données pour un état fixé du système — i.e. à position fixée de l’objet, de la source et du détecteur — se fait à un instant t, pour lequel l’objet est totalement statique. Nous nous limiterons donc dans ce chapitre à considérer le signal comme une simple fonction de l’espace, et développerons le formalisme dynamique —

i.e. le signal vu comme une fonction de l’espace et du temps — dans le chapitre 3 qui lui est

Un problème d’échantillonnage

Revenons à notre objet, statique donc. Soit f : x 7→ f(x), avec x = (x1, x₂, . . . , x_n)⊤∈ Rn, la fonction continue n-dimensionnelle (n ∈ {2, 3}) modélisant mathématiquement le signal d’intérêt soit, dans notre cas, l’atténuation linéique en x1. Le traitement de données étant une discipline s’épanouissant presqu’exclusivement dans un cadre numérique, il nous faut discré-tiser ce signal, et par voie de conséquence en considérer une forme approchée. Nous noterons

˜

f : x7→ ˜f (x) cette approximation. Ainsi nous nous basons sur la théorie de l’échantillonnage,

initiée en grande partie par Shannon en 1949 [Shannon, 1949], mais aussi par d’autres avant lui, comme Whittaker en 1929 [Whittaker, 1929] et Kotel’nikov en 1933 [Kotelnikov, 1933]. Cette théorie est la base des approches de la projection tomographique, comme la méthode élémentaire présentée dans le chapitre 1, section 1.2.3. Cependant nous verrons que cette théo-rie, du “pur” échantillonnage, possède ses limites, car elle ne se place notamment que dans le cas où l’on échantillonne un signal à bande spectrale limitée, pour lequel il est alors possible de définir la fréquence d’échantillonnage limite — la fréquence de Nyquist égale à 2 fois la fréquence maximale du signal. En d’autres termes, elle considère le cas de l’estimation exacte d’un tel signal. L’échantillonnage de ce dernier engendrant une périodisation de son spectre, les fréquences situées au-delà de cette limite subissent alors le phénomène de recouvrement (ou repliement). Or nous l’avons dit plus haut, nous sommes en présence d’un signal a priori continu par morceaux, donc à support spectral non borné. Quelle que soit la représentation du signal que l’on considérera, celle-ci sera de fait à bande limitée car coupée en fréquence par l’échantillonnage. Il nous sera donc impossible de rendre compte de la totalité de l’information spectrale du signal. Nous pouvons, d’une certaine façon, contourner la seule théorie de Shan-non et considérer le problème sous d’autres aspects. En effet, de récents travaux, notamment ceux de Blu, Thévenaz et Unser [Blu and Unser, 1999a, Blu and Unser, 1999b, Unser, 2000, Thévenaz et al., 2000b, Thévenaz et al., 2000a], ont fait émerger une nouvelle façon d’aborder la théorie de l’échantillonnage, qui élargit nos possibilités, et que nous détaillerons tout au long de cette partie. La fonction ˜f , qui approxime la fonction signal f , y est donnée par l’expression

générale : ˜ f (x) = ^X k∈Zn c_kϕ_k(x) = ^X k∈Zn c_kϕ(x− xk) (2.1)

Il s’agit d’une décomposition sur une base discrète de fonctions invariantes par translation, celle-ci étant donc composée d’une unique fonction compacte ϕ(x) de Rn dans R, nommée fonction atomique de la base, régulièrement disposée sur une grille n-dimensionnelle à N éléments. k = (k₁, k₂, . . . , k_n)⊤ ∈ Z^{n correspond aux indices des N éléments de la grille (ses} nœuds en quelque sorte), et dont les xk = (xk1, x_k2, . . . , x_kn)⊤∈ Rnconstituent les coordonnées respectives.

Dans la théorie de Shannon, la fonction atomique ϕ est la fonction sinus cardinal. Elle constitue la fonction d’échantillonnage idéale dans le cas d’un signal à bande limitée. Elle a l’avantage de s’annuler sur les positions échantillonnées x_k voisines, de sorte que les coefficients

c_k sont égaux aux valeurs ˜f (x_k), que nous notons fk, de ˜f en ces points. Elle a cependant un

support non borné, ce qui en fait une fonction peu adaptée à un cas pratique et à une mise en œuvre numérique.

On va plutôt rechercher une fonction ϕ à influence localisée, qui nous amènera, pour notre application, à un opérateur de projection creux. On l’autorise également à “s’étaler” sur les positions d’échantillonnage xk voisines, c’est-à-dire à ne pas s’annuler à ces positions — les ck 1. Comme la tomographie se place dans un espace tridimensionnel (ou bidimensionnel), les coordonnées x seront alors écrites (x, y, z) ((x, y) en 2-D).

Transformée de Fourier 5 0 5 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0

Figure 2.1: La fonction sinus cardinal : sinc(x) = sin(πx)

πx ; et sa transformée de Fourier : T F [sinc] (ν) =

R∞

−∞sinc(x)e−2iπνxdx = rect(ν).

ne sont plus égaux aux f_k. Ainsi, pour repasser à une représentation échantillonnée de ˜f , i.e.

l’image discrétisée f, une opération linéaire est nécessaire :

f = (f₁, f₂, . . . , f_N)⊤, avec f_k = ^X

k′∈Zn

c_k′ϕ_k′(x_k) (2.2)

Il s’agit en fait d’une interpolation des ck sur les positions xk à partir des fonctions ϕk, qui se trouve alors être une base d’interpolation. Cette opération peut être exprimée par un opérateur matriciel Φ :

f = Φ· c (2.3)

En définitif, ˜f reste une fonction continue, paramétrée par l’ensemble des valeurs discrètes c_k— d’où le nom de paramètres donné aux inconnues du problème de la reconstruction. Ces derniers constituent donc le vecteur à N = N_{1× N2× · · · × Nn} éléments que nous devons estimer :

c = (c₁, c₂, . . . , c_N)⊤ (2.4) La seule connaissance de ces paramètres, associés à leur base de fonctions sous-jacente, permet ainsi de définir ˜f . Ainsi, il est important de noter que nous n’abordons plus la discrétisation de

l’image comme un pur échantillonnage au sens de Shannon, mais comme un ajustement continu

de ˜f sur f [Unser, 2000, Thévenaz et al., 2000b, Thévenaz et al., 2000a]. Nous conservons ainsi

une représentation “analytique” de l’objet d’intérêt, donc plus réaliste, puisqu’intrinsèquement ˜

f est définie en tout point de l’espace. Le cadre purement discret constitue généralement

l’interprétation qui est faite de la théorie de Shannon, ce qui est assez réducteur. En effet, la fonction sinus cardinal, fonction de base sous-jacente, selon Shannon, à la représentation du signal ˜f , est complètement compatible avec la notion d’ajustement conitnu de f . Il ne s’agit

simplement que du cas idéal, uniquement adapté aux signaux à bande spectrale limitée. Ce que nous avons introduit comme une évolution de cette théorie, constitue donc une généralisation à tout type de signaux.

Généralisation de la théorie de l’échantillonnage

Dans la théorie de Unser2, les paramètres c_k sont déterminés de façon à minimiser l’erreur d’approximation

f− ˜f

2, au sens de la norme L2— moindre norme au carré, dans le domaine continu. Par conséquent ˜f est la projection orthogonale de f sur l’espace des combinaisons

linéaires des fonctions de base ϕ_k, réparties sur une grille régulière. Les coefficients c_koptimaux au sens de la norme L2 peuvent donc être déduits, et sont le résultat du produit scalaire dans

L₂ de f avec les fonctions duales des ϕk correspondantes, notées ˚ϕ_k [Unser, 2000] :

c_k= hf, ˚ϕ_ki ^(2.5)

La fonction duale ˚ϕ_k est unique, et est une combinaison linéaire des ϕ_k. Elle hérite de la propriété d’invariance par translation de ϕ : ˚ϕ_k(x) = ˚ϕ(x− xk), et est déterminée par la condition de bi-orthogonalité :

h˚ϕ_k, ϕ_li = δ(xk− xl) (2.6)

Dans l’espace de Fourier, son expression est la suivante : ˆ

˚

ϕ(ω) = ϕ(ω)ˆ

P

k∈Zn| ˆϕ(ω + 2kπ)|^{2 (2.7)}

où le symbole ˆ désigne la transformée de Fourier. Les ck optimaux ne sont pas directement issus du produit scalaire de f avec les ϕ_k car, comme nous l’avons dit plus haut, ces fonctions de base sont susceptibles de voir leur support s’étaler sur les positions adjacentes de la grille,

i.e. de se recouvrir mutuellement —hϕk, ϕ_li 6= 0 pour k 6= l. Ainsi, le produit scalaire hϕk, fi

ne définit pas de façon unique et indépendante la contribution de ϕ_k au signal ˜f sur sa

zone d’influence, puisque d’autres ϕ_l y contribuent. Il est donc nécessaire, dans le calcul de chaque coefficient ck, “d’ôter” en quelque sorte la contribution des atomes adjacents, d’où l’introduction de cette base duale. Dans le cas d’une base orthonormale — hϕk, ϕ_li = 0 pour

k6= l —, la fonction duale ˚ϕ est la fonction ϕ elle-même.

Selon la théorie de l’échantillonnage, la projection de f sur cette base de fonctions se décompose en plusieurs étapes qui sont résumées sur la figure 2.2 tirée de [Unser, 1999] et [Unser, 2000] :

• Une étape de pré-filtrage passe-bas de f, pour obtenir un signal à bande spectrale limitée. Cette étape est essentielle pour éviter les problèmes de recouvrement, qui influeraient sur l’erreur d’approximation

f− ˜f

2. Ainsi le rôle du pré-filtre est joué par la fonction duale ˚

ϕ.

• Une étape d’échantillonnage du signal filtré, qui a pour effet de périodiser le spectre de Fourier du signal au double de la fréquence de Nyquist. Les 2 premières étapes constituent le calcul des coefficients ck défini dans l’équation 2.5.

• Une étape de post-filtrage par la fonction ϕ qui a pour but de récupérer un spectre unique du signal. Autrement dit, il permet de retrouver un signal continu à partir des échantillons

c_k : il s’agit d’une interpolation pour obtenir ˜f en tout point de l’espace, et dont la base

associée est celle constituée par ϕ.

2. Nous la nommerons ainsi par abus de langage (et d’attribution des lauriers !), car Unser, en plus d’en être un des principaux contributeurs, est celui qui en a fait la revue dans un cadre général [Unser, 2000], mais elle est bien évidemment l’aboutissement de multiples travaux d’autres auteurs au cours des 50 dernières années.

pré-filtrage échantillonnage post-filtrage

Figure2.2: Schéma d’échantillonnage d’un signal f, selon le principe de minimisation de l’erreur d’approximation

f − ˜f

2 au sens des moindres carrés (tiré de [Unser, 1999] et [Unser, 2000]).

On voit donc que ce formalisme peut s’interpréter du point de vue spectral3, où la fonction atomique ϕ et sa fonction duale ˚ϕ jouent les rôles des pré et post-filtres passe-bas. On peut

donner sens à ce parallèle de façon simple :

• Pour le pré-filtre, on peut ré-écrire l’équation 2.5 ainsi :

c_k= hf, ˚ϕ_ki

=^Z f (x) ˚ϕ(x− xk) dx

=^Z f (x) ˚ϕ(−(xk− x)) dx

= f(x) ∗ ˚ϕ(x)
|x=xk (2.8)

Les coefficients c_k correspondent donc à la convolution de la fonction f par le filtre ˚ϕ(−·), prise aux points x_k. Ainsi l’équation 2.8 démontre comment l’on peut déduire de la théorie de l’échantillonnage initiée dans le domaine spectral, la notion qu’elle est équivalente à une projection orthogonale dans l’espace des fonctions ϕ_k.

• Pour le post-filtre, il suffit de développer l’expression 2.1 en y introduisant l’écriture de la fonction échantillonnée à l’aide de la distribution de Dirac δ, que nous noterons fδ(x) :

˜ f (x) = ^X k∈Zn c_kϕ(x− xk) =  ^X k∈Zn c_kδ(x− xk)   | {z } fδ(x) ∗ϕ(x) (2.9)

On retrouve ainsi la notion de convolution par le filtre ϕ, mais cette fois-ci sur la fonction “peigne de Dirac” f_δ.

En fin de compte ˜f est une projection de f sur un sous-espace de fonctions à support spectral

borné, défini par les combinaisons linéaires des ϕk. Selon cette interprétation, le problème d’échantillonnage constitue alors un problème de filtrage optimal. C’est ici que l’on peut évo-quer le cas idéal, à savoir l’échantillonnage d’une fonction à support spectral borné, et dont le tenant est la théorie de Shannon. Celle-ci considère alors une fonction f(x) dont le spectre ˆf (ω)

s’annule au-delà d’une fréquence maximale ω_max. La figure 2.3 illustre le processus d’échan-tillonnage selon Shannon, dans l’espace de Fourier. On y retrouve les 3 étapes présentées dans la figure 2.2. L’étape de pré-filtrage est réalisée par une fonction porte, i.e. le spectre du sinus cardinal qui est la fonction de base utilisée dans ce cadre. La phase d’échantillonnage engen-drant une périodisation du spectre, il faut définir un pas d’échantillonnage ∆, dont découle

pré-filtrage

échantillonnage

post-filtrage

pas tel que

Figure2.3: Schéma d’échantillonnage (tiré de [Unser, 2000]), dans le domaine de Fourier, selon la théorie de Shan-non, s’appliquant à une fonction f à support spectral borné (fréquence maximale du spectre ωmax). Sa transformée de Fourier est notée ˆf (ω). On retrouve les trois étapes vues dans la figure 2.2. Le pas d’échantillonnage ∆ est

choisi tel que la fréquence d’échantillonnage 2π

∆ soit supérieure au double de la fréquence de Nyquist 2ωmax. L’étape d’échantillonnage revient à une périodisation du spectre. Le post-filtrage ˆϕ(ω) permet de retrouver le spectre initial.

Dans la théorie de Shannon, ce filtre est idéal, c’est la fonction sinus cardinal sinc(x) dont la transformée de Fourier est la fonction porte rect_2π/∆(ω) de largeur 2π

directement la période 2π

∆ du spectre ˆf_δ(ω), suffisamment fin pour éviter les recouvrements. Le théorème de Shannon, qui impose ^2π_{∆ ≥ 2ω}max, traduit donc la condition précédente. ωmax

est alors appelée la fréquence de Nyquist. La phase de “reconstruction” du spectre initial ˆf (ω)

est accomplie par un filtre passe-bas idéal, à savoir la fonction porte rect_2π/∆(ω), transformée de Fourier du sinus cardinal sinc(x)4 (cf. Fig. 2.1). Là encore, pour récupérer l’intégralité du spectre, la largeur idéale de la porte doit être de 2π

∆. Nous remarquons alors que, dans ce cas, les pré et post-filtres sont identiques.

Pour notre part, l’idéalité n’est pas au programme. Cela s’explique d’une part car le spectre ˆ

f (ω) n’est pas borné, du fait, comme nous l’avons évoqué plus haut, de la potentielle continuité

par morceaux de f, pouvant engendrer les transitions abruptes dans l’image. D’autre part, quand bien même le spectre serait-il borné, il nous faudrait encore disposer d’un filtre idéal, ce qui nous conduit à ϕ(x) = sinc(x). Nous le verrons, cette fonction n’est pas adaptée à une mise en œuvre numérique, notamment de par son support infini. En revanche, on pourra chercher à s’approcher au mieux de l’idéalité au sens de Shannon, qui sera donc pour nous un moyen d’interpréter la théorie de Unser d’après ce “cas d’école” du traitement du signal.

Revenons au cœur de l’approche de Unser de la modélisation. Nous abordons pour finir un point essentiel de la théorie, à savoir la façon d’évaluer l’erreur d’approximation

f − ˜f

2.

Cette erreur dépend à la fois de la base de fonctions formée par l’atome ϕ, mais aussi et surtout du pas d’échantillonnage ∆. Nous la notons donc ǫ_f(∆). D’après [Unser, 1999], cette erreur peut s’écrire dans le domaine fréquentiel :

ǫ_f(∆) = f − ˜f 2 =^{Z +∞} −∞ E_ϕ(∆ω) | ˆf (ω)|^2dω_2π 1/2 | {z } ¯ǫf(∆) + γ ∆r f^(r) 2 (2.10)

sous condition que f ∈ Wr

2 [Unser, 2000], où Wr

2 est l’espace de Sobolev d’ordre r5. Dans le premier terme, Eϕ(∆ω), constitue le noyau d’erreur fréquentiel, défini ainsi :

Eϕ(ω) = 1 − P ^{| ˆϕ(ω)|2}

k∈Zn| ˆϕ(ω + 2kπ)|² = 1 − ^{| ˆϕ(ω)|2}

A_ϕ(ejω) ^(2.11)

ϕ étant la fonction atomique de la base. Eϕ(ω) nous donnera par la suite un très bon aperçu

du comportement de la base dans le domaine spectral, et nous permettra de faire le lien avec des interprétations “type Shannon”. On verra notamment que le noyau contrôle — plus ou moins bien suivant ϕ — l’erreur sur le spectre de f en-deçà de la fréquence de Nyquist π

∆. Il peut finalement être vu comme une prédiction de l’erreur d’approximation quand l’atome ϕ est utilisé pour interpoler une version échantillonnée de la fonction f(x) = sin(ω⊤x)⁶ d’énergie infinie [Thévenaz et al., 2000b, Thévenaz et al., 2000a]. Ce dernier postulat nous servira par la suite.

Le premier terme de 2.10, ¯ǫf(∆), correspond à l’erreur d’approximation moyenne de toutes les erreurs ǫ_f(∆) sur tous les décalages possibles de la grille d’échantillonnage par rapport à l’origine du signal f. Cela correspond d’après [Blu and Unser, 1999a] à une simple intégration dans le domaine fréquentiel. Cette erreur constitue la part dominante de l’erreur ǫf(∆). Le second terme de 2.10 constitue une correction d’erreur en o(∆r), pouvant être positive ou négative suivant le signe de γ, dont la valeur absolue est bornée par :

4. La notation sinc(x) définit la fonction sinus cardinal n-dimensionnelle séparable sinc(x1)×sinc(x2)×· · ·× sinc(xn).

5. L’espace de Sobolev Wr

2 constitue un espace de fonctions r fois différentiables, muni de la norme L2 (cf. [Unser, 2000]).

|γ| ≤ ²

πr

q

ζ(2r)kEk_∞ (2.12)

où ζ est la fonction de Riemann définie comme ζ(s) = P

n≥1n−s. r correspond à l’ordre de dérivabilité de f— f ∈ Wr

2, donc f(r) correspond à la dérivée rème de f. Ce terme est nul ou négligeable si le signal f est à bande spectrale limitée ou bien si f est suffisamment lisse. r sera relié à l’ordre d’approximation L = r + 1 de la fonction atomique ϕ.

Qu’est-ce qu’une “bonne” base ?

À partir de là, nous pouvons commencer à définir des critères de sélection de notre base de fonctions, i.e. rechercher la “bonne” fonction atomique ϕ, qui nous amènera à sélectionner les fonctions B-splines (cf. section 2.1.3).

On a dit que la fonction ˜f était une approximation de f . On l’a vu précédemment, il

nous est impossible de définir une grille discrète et une base de fonctions qui permettraient de modéliser exactement l’information contenue dans f, que ce soit d’un point de vue spectral ou au sens d’une projection orthogonale du signal sur l’espace défini par cette base (étant donné que f n’en fait pas nécessairement partie). À supposer que cela soit possible, trouver la base de fonctions et l’échantillonnage de la grille — fini bien entendu — qui permettraient d’atteindre une erreur nulle, tout en restant général, relève plus alors de l’utopie, du moins pour l’humble doctorant traiteur de signal que je suis. De plus, d’un point de vue plus pratique et réaliste, une modélisation idéale n’aurait aucun intérêt, étant donné qu’elle doit servir à résoudre un problème de reconstruction, à partir de données qui sont par nature entachées d’incertitude, où le bruit notamment est l’un de nos fardeaux. Celui-ci induit des fréquences “parasites” dans le signal f, que nous aimerions bien enlever. Un cas de figure où le spectre du bruit serait complétement dissocié du spectre du signal d’intérêt, de sorte que l’on puisse “couper” directement ces fréquences indésirables, n’est absolument pas réaliste. Ces spectres peuvent être “mélangés”, et l’on voit bien que dans ce cas l’idéalité, e.g. au sens de Shannon

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