Composite renforcé par des Fibres Longues Aléatoires

Pour distinguer le cas du composite renforcé par des fibres longues CFLA de celui des fibres courtes CFCA, les fibres du CFLA sont continues avec une longueur infinie et sont orientées aléatoirement. La même technique de génération d’image est utilisée ici mais seul le diamètre d de 15 pixels est imposé sur les fibres alors que la longueur l n’est pas définie. De cette manière, les fibres générées dans ce cas sont d’une longueur infinie. Les fibres sont imprégnées dans une image de 1000² pixels et avec 100 fibres générées, nous obtenons un CFLA avec une fraction surfacique

Af de 0,51 (Figure II-18). 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Di s c rep an c y err or ( %) Area fraction Thermal conductivity error Δλ Percolation threshold p

Figure II-18 Microstructures du CFLA à une fraction surfacique Af de 0,51

Les fibres longues et aléatoires du composite CFLA apportent plusieurs contraintes morphologiques :

• Le rapport de forme infini : Des études sur l’effet du rapport de forme sur les propriétés effectives des composites ont déjà été menées par Kari et al. (2007), Lu et al. (2014), Tian et al. (2014), Qian et al. (2012) et Moussaddy

et al. (2013). Mais, ils ont gardé une longueur de fibres assez courte et

discontinue. Les fibres du CFLA sont des fibres continues et aléatoires. • L’absence de la périodicité du matériau : Selon Gitman et al. (2007), la

périodicité d’un matériau est définie par un matériau qui ne subit pas d’effet de la paroi. Autrement dit, la partie du renfort qui sort de la paroi doit apparaitre à la paroi opposée. La périodicité est facilement réalisée dans le cas des renforts discontinues. Or, les fibres continues et aléatoires du CFLA rendent cette périodicité impossible.

• La superposition des fibres : Puisque l’étude est effectuée en 2D et les fibres aléatoires sont d’une longueur infinie, la superposition des fibres est inévitable même à basse fraction surfacique Af. Or, nos calculs sont élastiques

linéaires et le contact entre les fibres signifie simplement une continuité de la phase. Ainsi, aucun frottement entre les fibres n’est considéré. Ces points de contact peuvent créer des concentrations de contraintes. Néanmoins, elles

n’influencent pas nos calculs car l’homogénéisation numérique se fait à l’échelle macroscopique.

II.5.2.1

Propriétés mécaniques et thermiques

Les propriétés mécaniques et thermiques du composite CFLA montrent les tendances similaires, donc elles seront présentées ensembles dans cette section. Les résultats sont détaillés dans le Tableau II-5 et illustrés dans la Figure II-19. Les résultats ont montré que les propriétés apparentes calculées avec différentes conditions aux limites sont loin l’une de l’autre même à la plus grande taille de l’échantillon S. Les erreurs relatives sont

k

app = 42% pour le module de

compression, app = 38% pour le module de cisaillement et app = 31% pour la

conductivité thermique. En plus, dans les deux cas mécaniques et thermiques, les propriétés apparentes moyennes restent quasiment constantes de la plus petite taille de l’échantillon S jusqu’à la plus grande. Par conséquent, elles sont quasi-parallèles et ne convergeront pas. Sans la convergence, les propriétés calculées ne sont pas effectives et la microstructure du CFLA n’est pas un VER.

Quant à l’intervalle de confiance, il est le plus grand au plus petit S et diminue lorsque S augmente. Le petit intervalle au plus grand S signifie la stabilité des propriétés apparentes calculées, c'est-à-dire que les résultats sont moins dispersés. Les propriétés apparentes moyennes calculées avec des conditions aux limites de type Dirichlet sont toujours supérieures à celle de type périodique.

KUBC/UGT PBC

Z

app (%)

app

k

(GPa) 374 ± 45 264 ± 27 42

app (GPa) 188 ± 21 136 ± 17 38

app (W/mK) 370 ± 62 283 ± 30 31

(a)

(b)

(c)

Figure II-19 (a) Module de compression k, (b) Module de cisaillement μ et (c) conductivité thermiques λ moyens apparents du composite CFLA en fonction de

la longueur de côté L

Une comparaison avec le CFCA0,51 qui a la même fraction surfacique Af que

le CFLA est effectuée. Les propriétés apparentes moyennes du CFCA0,51 sont bien

inférieures alors que celles du CFLA sont assez proches de la borne HS+_{. Ce serait}

0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 A p p a re n t b u lk m o d u lu s k ( G P a ) L (pixels) KUBC PBC HS+ 0 100 200 300 400 500 0 200 400 600 800 1000 A p p a re n t s h e a r m o d u lu s μ (G P a ) L (pixels) KUBC PBC HS+ 0 150 300 450 600 750 0 200 400 600 800 1000 A pp arent the rm al c on du c ti v it y λ (W /m K ) L (pixels) UGT PBC HS+

dû aux différentes morphologies des fibres. Puisque les fibres du CFLA sont continues et que chaque fibre touche les bords de la microstructure, la charge appliquée sur les bords est subie par toutes les fibres. Dans le cas du CFCA0,51,

seules les fibres courtes percolées subissent le chargement sur les bords. Ceci expliquerait les propriétés inférieures du CFCA0,51 comparées à celles du CFLA.

Cette observation met en évidence également l’effet de la longueur sur les composites dans notre étude.

(a) (b)

(c)

Figure II-20 Distribution de la contrainte équivalente de von Mises après le calcul du module de (a) compression et (b) cisaillement et (c) la distribution de la

conductivité thermique dans la microstructure du CFLA

La Figure II-20 montre la distribution de (a – b) la contrainte de von Mises et de (c) la conductivité thermique dans la microstructure du CFLA. On observe que l’effet de la percolation des fibres est moins évident que dans le cas du composite

à fibres courtes CFCA. Par exemple, pour les calculs du module de compression k, toutes les fibres du CFLA sont sollicitées et ne montrent pas une claire préférence directionnelle. Une légère préférence directionnelle peut être déduite dans le cas du module de cisaillement μ et de la conductivité thermique λ. Or, une conclusion définitive ne peut pas se faire sans vérification par d’autres approches.

Figure II-21 (a) Microstructure du CFCA et ses déformées après les calculs du module de (b) compression et de (c) cisaillement

Il apparait que les propriétés apparentes moyennes divergentes dans le cas du CFCA légèrement percolé s’étendent aussi au cas de percolation extrême du CFLA. Pour le CFCA légèrement percolé, les propriétés divergentes seraient causées par l’anisotropie créée par une ou deux longues chaines de fibres. Mais, le CFLA ont des fibres dans toutes les directions. En principe, des préférences directionnelles auraient disparu. Pour vérifier la présence d’anisotropie dans le CFLA, des études plus profondes sur sa morphologie et sa résistance mécanique

(a)

(b)

sont effectuées. Deux approches sont employées : la mesure de la covariance de l’image macroscopique et le calcul de son tenseur de rigidité.

II.5.2.2

Covariance et arrangement spatial

La mesure de la covariance pour assurer la représentativité d’un matériau hétérogène est employée par plusieurs études antérieures comme Kanit et al. (2003, 2006) et El Moumen et al. (2013, 2015b). Avec la covariance, des données importantes concernant la microstructure comme la dispersion des fibres et sa fraction surfacique peuvent être obtenues. Selon Matheron (1975), la covariance est une analyse de la probabilité que les points x et x + h appartiennent à la même phase X du matériau hétérogène. Cette covariance C est décrite par l’équation suivante :

( , ) ,( )

C x x h P x X x h X Eq. (II.43) A la distance initiale h = 0, la covariance C est maximale et correspond à la fraction surfacique des fibres Af. Plus h augmente, plus la covariance C diminue.

Dans le cas où h → ∞, la covariance C atteint une valeur asymptotique qui est égale à Af2. La courbe de covariance C du composite CFLA en fonction de la

distance h, ou simplement appelé le covariogramme, est illustrée dans la Figure II-22. Le vecteur h se translate dans les directions de x, y, et les directions transversales de xy et -xy.

Figure II-22 Covariogramme du CFLA dans les deux directions x et y

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0 100 200 300 400 500 Cov aria nc e h (pixels) Af² y xy - xy x

Dans la Figure II-22, on observe que la covariance C (0) = 0,513 quand h = 0, ce qui confirme l’hypothèse précédente. La première intersection avec la valeur asymptotique de Af2 a eu lieu quand h = 90 pixels pour toutes les directions. Cette

égalité montre que la microstructure du CFLA est isotrope. Cette distance de h à l’intersection s’appelle aussi la longueur de corrélation de la microstructure. Plus cette longueur est grande, plus l’image de l’échantillon doit être grande pour représenter la microstructure. Dans tous les cas, l’étude de la covariance a montré que le composite CFLA est morphologiquement isotrope.

II.5.2.3

Tenseur de rigidité

Afin de vérifier l’isotropie de la microstructure du CFLA, nous calculons ici sa matrice de rigidité C . Selon la loi de Hooke généralisée pour les matériaux

élastiques linéaires, la contrainte macroscopique Σ, la déformation macroscopique

E et la matrice de rigidité C sont reliées par l’équation suivante :

C E

Eq. (II.44)

Dans un problème 2D, les tenseurs d’ordre 4 et 2 sont simplifiés ainsi :

1 11 12 16 1 2 12 22 26 2 6 16 26 66 6 C C C E C C C E C C C E Eq. (II.45)

Pour trouver les composants de C , il faut calculer la résistance mécanique

du CFLA dans chaque direction. Par exemple, les éléments de

C

1j sont calculés en

appliquant une déformation macroscopique constante dans la direction 1 : 1

0 0

E Eq. (II.46)

Ainsi, trois composants de C sont obtenus. Ce processus est répété dans les

autres directions avec deux conditions aux limites différentes (KUBC et PBC) pour chaque échantillon S du CFLA. Nous obtenons ensuite les matrices de rigidité

apparentes

C

app de KUBC et PBC. Les résultats des calculs sont montrés sous forme matricielle : 672 48 188 18 10 15 188 18 424 60 22 14 10 15 22 14 185 15 app KUBC C Eq. (II.47) 515 34 113 12 8 12 113 12 283 80 21 12 8 12 21 12 132 10 app PBC C Eq. (II.48)

Les composants

C

13app et

C

23app sont petits comparés aux autres composants dans les matrices (>4%) et sont considérés zéro. Le premier signe d’anisotropie est observé où les composants dans les direction 11 et 22 ne sont pas égaux

C

11app

C

22app pour les deux cas de KUBC et PBC. Néanmoins, il existe un moyen plus précis de calculer l’anisotropie. Zener (1948) a développé l’indice d’anisotropie a consacré à l’étude d’isotropie des matériaux :

66 11 12

2C

a

C C Eq. (II.49)

Nous avons trouvé que les indices d’anisotropie sont de aKUBC = 0,76 et aPBC

= 0,66, et ils divergent du cas isotrope (a = 1) de 24% et 34% respectivement. Donc, le composite CFLA a montré une réponse mécanique anisotrope. Demirci et

al. (2012) ont étudié des fibres longues non-tissées orientées aléatoirement qui

ressemblent à notre composite CFLA. Ils ont fait une analyse d’image sur les fibres et ont trouvé que les fibres ont tendance à privilégier une direction. En fait, l’orientation aléatoire des fibres longues et continues ne garantit pas de distribution homogène des fibres. La possibilité d’avoir la même résistance mécanique sur chaque côté de l’image est faible si on considère le caractère aléatoire des positions et orientations des fibres continues. L’hypothèse qui dit que les fibres distribuées et orientées aléatoirement conduisent au comportement isotrope n’est peut-être pas applicable au CFLA.

Néanmoins, il est incertain que ces observations et conclusions restent valides pour des échelles plus élevées. Même sans la convergence des propriétés moyennes apparentes, Dirrenberger et al. (2014) ont estimé que le VER des fibres de Poisson en 3D existe mais il est très large. Ceci pourrait être vrai pour les composites CFLA et CFCA aux échelles plus grandes. Or, à l’échelle de cette étude, les propriétés moyennes apparentes du CFLA et du CFCA restent divergentes et ne sont pas effectives. Sans les propriétés effectives, le VER ne peut pas être calculé.

Dans le document Pépite | Etude des propriétés mécanique et thermique des biocomposites basée sur l'homogénéisation numérique (Page 107-116)