Comportement des uides sous l'eet d'une contrainte de cisaillement

Considérons l'écoulement de cisaillement simple déni dans la section (1.2), i.e. un uide cisaillé entre deux plans parallèles. Pour que ce matériau s'écoule, il faudra exercer une force externe F sur la plaque supérieure an de surmonter la résistance du matériau. La résistance du matériau est due à la présence de forces visqueuses au sein du matériau et est dénie par une grandeur physique intrinsèque au matériau qui est la viscosité notée η. Rappelant

le terme déviateur du tenseur de contrainte dans l'équation (1.2), la contrainte tangentielle est dénie comme :

Σ12=

F

S (1.22)

où S est l'aire de la surface de la plaque. La contrainte tangentielle est reliée à la vitesse de cisaillement ˙γ (équation 1.8) :

Σ12= f ( ˙γ) (1.23)

Cette relation est appelée loi de comportement et varie d'un matériau à un autre. La viscosité ηd'un matériau est dénie comme le rapport de la contrainte de cisaillement, Σ12au taux de

cisaillement ˙γ, et peut ne pas être une constante, mais dépend de ˙γ, on parle alors de uides non newtoniens. La viscosité peut aussi dépendre du temps ou de l'histoire du matériau. C'est le cas de uides thixotropes dont on ne parlera pas dans la suite.

1.3.1 Comportement Newtonien

Un matériau est dit newtonien si la loi de comportement, équation (1.23) est une relation linéaire (loi de Newton) :

¯ ¯

τ = 2η · ¯¯e , avec η = cste (1.24)

Dans le cas du uide Newtonien, le tenseur des contraintes déni dans l'équation (1.4) en cisaillement simple s'écrit :

¯ ¯ Σ =      −P η ˙γ 0 η ˙γ −P 0 0 0 −P      (1.25)

où le coecient de proportionnalité, η, est la viscosité dynamique du matériau appelée aussi viscosité de cisaillement. La viscosité a donc la dimension du produit d'une pression par un temps, et s'exprime en P a.s dans le système SI, ou en Poise (1P oise = 0.1P a.s) dans le système C.G.S. La viscosité pour un uide newtonien ne dépend donc ni de la contrainte appliquée Σ12, ni de la vitesse de cisaillement ˙γ. En absence de forces externes ρ~g = ~0,

1.3. Comportement des uides sous l'eet d'une contrainte de cisaillement 13

vient l'équation de Navier-Stokes :

ρ∂~v

∂t + (ρ~v · ~∇)~v = −~∇P + η∆~v (1.26)

Le terme non linéaire (ρ~v · ~∇)~v désigne le terme inertiel dans l'écoulement, et le terme η∆~v représente le terme visqueux. Pour une échelle h et une vitesse v0 caractéristique de

l'écoulement on peut évaluer l'ordre de grandeur de ces deux termes :

|ρ(~v · ~∇)~v| ' ρv 2 0 h , |η∆~v| ' η v0 h2 (1.27)

On peut construire un nombre sans dimension noté Requi est le rapport des termes inertiels

sur les termes visqueux :

Re= ρv₀2 h ηv0 h2 = ρv0h η (1.28)

Ce rapport dénit le nombre de Reynolds (sans dimension), et décrit le régime d'écoulement. Dans le cas d'un écoulement en régime turbulent, c'est le terme inertiel qui domine et Re> Re,cr. Où Re,cr, est le nombre de Reynolds critique, qui détermine la transition entre

les deux régimes, [Tillmark & Alfredsson 1992], alors qu'en régime laminaire c'est le terme visqueux qui domine et Re << Re,cr. Notons que Re << Re,cr dépend de la géométrie

de l'écoulement, par exemple pour un écoulement à travers un tube, Re,cr ≈ 2000, pour

un écoulement en cisaillement simple, Re,cr ≈ 360, alors que pour un écoulement autour

d'une sphere Re,cr ≈ 1. Dans notre travail, on s'intéressera seulement aux écoulements à

faible nombre de Reynolds. Pour un écoulement stationnaire (∂~v

∂t = 0) et à faible nombre de Reynolds, l'équation (1.26) devient l'équation de Stokes :

~

∇ · ¯Σ = − ~¯ ∇P + η∆~v = ~0 (1.29)

1.3.2 Quelques comportements non-Newtoniens

C'est le comportement des uides dit complexes. La loi de comportement (équation (1.23)) est une relation non linéaire entre la contrainte de cisaillement Σ12 et le taux de

uides on dénit une viscosité apparente ηapp pour un Σ12 et ˙γ donnés :

ηapp=

Σ

˙γ (1.30)

On peut classer les comportements non newtoniens des uides en trois grandes catégories :

 Fluides rhéouidiants :

Un uide est dit rhéouidiant, si sa viscosité apparente ηapp décroît avec le taux de

cisaillement. Ce comportement peut être dû à une destruction de la microstructure du uide. Exemples : le shampoing, la plupart des suspensions de sphères ou de bres concentrées. Dans ce travail nous allons nous intéresser à ce comportement dans le cas des suspensions de bres et tenter de donner une explication à son origine. C'est l'objectif de l'étude décrite dans le chapitre 5 de ce manuscrit.

 Fluides rhéoépaississants :

Un uide rhéo-épaississant a un comportement opposé, sa viscosité apparente ηapp

croît lorsque le taux de cisaillement augmente. (Exemple : la maïzena)  Fluides à seuil :

Parmi les uides rhéouidiants, certain ne s'écoulent que lorsque la contrainte ap- pliquée dépasse une contrainte critique Σ12= τ0 appelée contrainte seuil, (exemple la

pâte de dentifrice, mousse à raser, boues de forage).

Les deux lois de conservation dénies dans la section ci dessus (section (1.2.4)) restent val- ables pour un uide non-newtonien. En l'absence de la connaissance de loi de comportement Σ12= f ( ˙γ), l'équation de conservation de la quantité de mouvement, équation (1.21) pour

un écoulement stationnaire (∂~v

∂t = 0) s'écrit : ~

∇ · ¯Σ = − ~¯ ∇P + div(¯τ ) = ~0¯ (1.31)

Il sut donc d'établir une loi de comportement pour le uide an de résoudre l'équation de mouvement associée.

Une autre classe de uide non-newtoniens concerne les uides pour lesquels, des contraintes normales anisotropes apparaissent lorsqu'ils sont soumis à un cisaillement, exemples : (les suspensions de particules, solutions de polymères...).

1.3. Comportement des uides sous l'eet d'une contrainte de cisaillement 15

1.3.3 Modèles rhéologiques

La courbe décrivant Σ12en fonction de ˙γ est appelée rhéogramme du matériau ou encore

courbe d'écoulement. Un certain nombre de modèles plus ou moins compliqués peuvent être trouvés dans la littérature. Nous en citons quelques uns qui nous seront utiles pour la suite du présent travail.

 Modèles sans contrainte seuil : Loi d'Ostwald-de-Waele (1925) :

C'est une loi phénoménologique très souvent utilisée pour modéliser le comportement des uides non newtoniens. La contrainte de cisaillement Σ12 est reliée au taux de

cisaillement ˙γ par une loi de puissance et s'écrit :

Σ12= K ˙γm (1.32)

La viscosité a pour expression :

η = K ˙γm−1 (1.33)

où K est la consistance du uide et m > 0 est l'indice de uidication. Cette loi est utilisée pour capturer aussi bien la rhéouidication du uide lorsque 0 < m < 1 (η décroît avec ˙γ) que le rhéoépaississant lorsque m > 1 (η croît avec ˙γ). Pour m = 1 on retrouve un comportement newtonien. Dans le cas ou m < 1, cette loi en puissance conduit à une viscosité innie lorsque, ˙γ tend vers zero. En revanche lorsque ˙γ tends vers l'inni, la viscosité tend vers une valeur nulle. Il est donc raisonnable de rajouter une viscosité constante à l'équation (1.33) an d'éviter d'avoir une valeur nulle de viscosité, ce qui n'est pas physique car il y a toujours une dissipation visqueuse non nulle.

Pour exploiter les rhéogrammes expérimentaux de ce type de uides il est plus judicieux de représenter les courbes en échelle log − log, cela donne une droite dont la pente est l'indice de uidication m.

 Modèles avec contrainte seuil : Modèle de Bingham (1922) :

Lorsqu'on soumet un uide de Bingham à une contrainte de cisaillement, il se com- porte comme un solide au dessous d'une contrainte critique τ0, au delà de cette con-

trainte, l'écoulement s'eectue sous l'eet de la contrainte eective Σ12− τ0. La loi

de comportement est une relation linéaire entre la contrainte eective Σ12− τ0 et le

taux de cisaillement ˙γ (comportement newtonien) :

Σ12= τ0+ ηpl˙γ (1.34)

où ηpl est la viscosité plastique.

Modèle de Herschel-Bulkley (1926) :

C'est un modèle généralisé de uides présentant des comportement non-linéaires dans la relation entre contrainte et taux de déformation. Ce modèle s'exprime par :

Σ12= τ0+ K ˙γm (1.35)

où τ0 est la contrainte seuil, K, la consistance du uide et m, l'indice de uidication.

Lorsque m = 1 on retrouve le uide de Bingham, et lorsque τ0 = 0, on retrouve le

uide d'Ostwald-de-Waele

La Figure 1.4 représente les rhéogrammes de lois de comportement Σ12 = f ( ˙γ) pour les

modèles décrit ci dessus.

1.3.4 Fonctions matérielles d'un uide

Dans le cas de certains uides, l'écoulement peut induire une anisotropie des contraintes normales due à l'altération de la microstructure. On introduit alors deux grandeurs qui sont la première et la deuxième diérence de contraintes normales N1 et N2 respectivement qui

s'écrivent :

N1 = Σ11− Σ22 (1.36)

N2 = Σ22− Σ33 (1.37)

La relation entre N1, N2 et le taux de cisaillement ou la contrainte de cisaillement dépend