Comportement élastique

2.1.1. Elément de la mécanique du rotin.

Dans la pratique, le rotin est soumis à l’action de plusieurs forces externes différentes, en l’occurence, les forces de tension, de compression et de cissaillement. A l’origine de la force de flexion se trouve l’action combinée des différentes forces précitées. Le rotin, à l’instar de tout corps soumis à des sollicitations externes, développe des efforts interne représentés par la contrainte. Le calcul de cette contrainte est déterminé par la formule suivante:

F

  A (2.1)

où : σ désigne la contrainte, F la force et A la surface de la section transversale. Le développement d’une contrainte engendre une déformation du corps qui se matérialise par une variation dimensionnelle. La deformation notée ε se calcule à partir de l’espression suivante

0

0 0

L L L

L L

  ^  ^ (2.2)

où L0 représente la longueur initiale de la zone de mesure L représente la longueur après l’application de la charge

Ainsi, la description du comportement mécanique d’un matériau repose sur l’établissement de la relation entre la contrainte et la déformation.

2.1.2. Relation contrainte-déformation.

La représentation graphique da la contrainte σ en fonction de la déformation ε permet de distinguer deux régions caractéristiques distinctes: la région élastique et la région plastique.

Ces deux régions sont séparées par une contrainte limite σl.

Master recherche en génie civil, spécialité « Matériaux et Structures » 13 Figure 2.1 : Courbe contrainte-déformation.

La région élastique est la zone où la contrainte de sollicitation (tension ou compression) est inférieure à la contrainte limite pour toute la durée de sollicitation. Dans cette plage lorsque la contrainte est annulée le matériau retrouve sa forme initiale. Ainsi, la déformation est proportionnelle à la contrainte. Cette relation de proportionnalité est appelée la relation de Hooke. Elle est suivante:

.

 E (2.3)

où E, la constante élastique représente le module d’Young.

Il est produit par des forces de tension ou de compression. Lorsque des forces de cisaillement interviennent, la loi de Hooke devient:

.

 G (2.4)

avec τ: Contrainte due au cissaillement, γ: Déformation angulaire et G: Module de Coulomb ou module de rigidité ou de cissaillement.

En inversant le module de Young E ou celui de Coulomb G, on obtient un coéfficient dénommé coéfficient de déformation S:

(2.5)

Le rapport de la déformation longitudinale et de la déformation transversale permet d’introduire un coéfficient ϑ appelé le coéfficient de Poisson. On a:

transversale longitudinale

 

  (2.6)

la région plastique est la zone couvert par les contraintes de sollicitation supérieures à la contrainte limite. Un matériau qui entre en régime plastique ne retrouvera plus ( et à jamais) sa forme et sa configuration initiales. Si on observe ce matériau plastifié au microscope, on verra que des défauts qui empêchent le matériau de reprendre sa forme originale et diminuent sa durée de vie. Lorsqu’on augmente la contrainte de sollicitation, les déformations

1 1

S ou S

E G

 

Master recherche en génie civil, spécialité « Matériaux et Structures » 14 deviennent très prononcées et conduisent à la rupture. Ce niveau de contrainte est appelé contrainte de rupture σr.

2.1.3. Définitions des constantes élastiques du bois.

Le bois matériau hétérogène, présente un comportement mécanique différent selon la direction, soit longitudinale, radiale ou tangentielle. Les directions sont perpendiculaires entre elles et il est localement orthotrope.

Une tige de bois est constituée en couches cylindriques concentriques qui lui confèrent une symétrie cylindrique. Cette symétrie va se refléter sur presque toutes les propriétés élastiques et de rupture du bois. En prélevant une éprouvette à une certaine distance de la moelle, on peut obtenir une pièce avec trois axes de symétrie. Ces axes peuvent être ceux parallèles aux directions longitudinale ( y, L ou l ), radiale ( z, R ou r ) et tangentielle ( x, T ou t ). Les directions longitudinale (y, L ou l), radiale (z, R ou r) et tangentielle (x, T ou t) étant des perpendiculaires entre elles donc les axes associés à l’éprouvette le sont également. Par suite le système peut se traiter mathématiquement comme un système cylindrique d’après les travaux de Kollmann et Côté 1968 [HUSSON 2009].

Pour que l’éprouvette soit en équilibre (voir fig 2.2. b), il faut appliquer sur chacune de ses six faces une force identique.

Figure 2. 2 : a. Système cylindrique, b. Éprouvette orientée selon les axes de symétrie.

Soit les figures suivantes.

Master recherche en génie civil, spécialité « Matériaux et Structures » 15 Figure 2. 3: Représentation de l’éprouvette sollicitée par une force sur une face et de la contrainte engendrée.

Cette force F



appliquée engendre des contraintes suivant chaque direction, représentées sur la figure 3.b. En généralisant cette supposition sur les autres faces de normale des axes L et T, on obtient :

- Face de normale L : σ₁₂ ; σ₂₂ ; σ₃₂ - Face de normale T : σ₁₁ ; σ21 ; σ33 ; σ₃₁ - Face de normale R : σ13 ; σ23

Toute ces contraintes peuvent être écrit sous la forme σij où i, la direction de la contrainte et j , la normale de la face d’appui de la force. Au total le tenseur [σij] a neuf composantes.

Cependant, seulement six de ces contraintes sont indépendantes car le tenseur est symétrique:

ij ji

Les composantes σ11, σ22 et σ33 sont appelées contraintes normales parce qu’elles agissent en direction normale (perpendiculaire) à la surface de l’élément. Les composantes de contraintes σ12, σ13, et σ23 agissent en direction tangentielle aux surfaces de l’élément et sont appelées contraintes de cisaillement ou tangentielle.

Par suite le tenseur des déformations s’écrit sous la forme :

11 12 13

Master recherche en génie civil, spécialité « Matériaux et Structures » 16 Avec C_ijkl la matrice de rigidité et S_ijkl la matrice de souplesse. Cette dernière formule de loi de Hooke du bois orthotrope dévient :

(2.11)

où : ε = déformation ; s = coefficient de déformation et σ = contrainte.

Les coefficients de déformation peuvent s’exprimer aussi en termes de constantes élastiques.

(d’après les équations (2.11) et (2.5)).

où : E = module d’Young ou module d’élasticité ; G = module de Coulomb ou module de cisaillement et v = coefficient de Poisson

Cette matrice de constantes élastiques est symétrique :

(2.12) Cette matrice d’élasticité est définie positive si les conditions suivantes sont vérifiées.

1- v _ij v _ji > 0 pour i = 1,1,2 et j = 2,3,3 (2.13) et

1- v 12 v 21 - v 13 v 31 - v 23 v 32 - v 12 v 23 v 31 - v 21 v 13 v 32 > 0 (2.14) En effet l’indice 1 désigne l’axe tangentiel (T), l’indice 2 l’axe longitudinal (L) et l’indice 3 l’axe radial (R) (voir Figure 3.a). La matrice de déformation devient ainsi

(2.15)

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2.1.4. Anisotropie du bois.

Le bois, matériau anisotrope, adopte un comportement différent dans chaque axe de symétrie.

Plusieurs recherches ont démontré que l’axe longitudinal est le plus résistant, suivi de l’axe radial et enfin de l’axe tangentiel. Notamment, le module d’Young parallèle au fil (direction longitudinale) est beaucoup plus fort que ceux perpendiculaires au fil (directions radiale et tangentielle) (Kollmann et Côté 1968) :

L R r

E E E (2.16)

Kollmann et Côté ont démontré que le rapport ^L

R

E

E varie chez les résineux de 40,6 à 182,0 et chez les feuillus de 12,1 à 62,0. Ces valeurs mettent en évidence la forte anisotropie du bois.

L’anisotropie du bois se présente également sur les coefficients de Poisson, généralement ordonnés de la manière suivante (Guitard 1987):

vTR > vTL > vRL ≈ vRT >> vLR > vLT (2.17) D’autre part, les modules de Coulomb sont ordonnés ainsi (Guitard 1987):

GLR > GTL >> GTR (2.18)

Les tableaux 1 et 2 présentent l’ordre de grandeur des coefficients de Poisson et les modules de Coulomb respectivement pour les bois feuillus et résineux à 12% de teneur en humidité d’équilibre.

Tableau 2.1 : Ordre de grandeur des coefficients de Poisson.

N⁰ Désignation vTR vTL vRL vRT vLR vLT

1 Feuillus 0,67 0,46 0,39 0,38 0,048 0,033

2 Résineux 0,51 0,43 0,39 0,31 0,030 0,020

Tableau 2.2: Ordre de grandeur des modules de Coulomb.

N⁰ Désignation GTL GLR GTR GLR/GTR GTL/GTR

1 Feuillus 971 1260 366 3,4 2,6

2 Résineux 745 862 83,6 10,3 8,9