CℓACCℓBD′ +CℓADCℓBC′ (14.28) L’effet de l’inhomogénéité de la couverture du ciel se traduit alors par une simple fonctionνℓqui peut être associée au nombre de degrés de liberté de la fonction de distributionχ2
ℓdesCℓsur le ciel [Hivon et al. 2002] et qui s’écrit νℓ= (2ℓ+ 1)∆ℓw 2 2 w4 (14.29) où∆ℓest la taille du ré-échantillonnage en multipôles etwiest lei-ième moment du masqueW
wi= 1 4π
Z
4π
dΩWi(Ω) (14.30)
Les barres d’erreur et la matrice de covariance s’écrivent alors simplement
∆CℓAB 2 ≃ ν1 ℓ h CℓAB2 +CℓAACℓBBi (14.31) CovAB(ℓ, ℓ′) ≃ 1 νℓ′ CAB ℓ CAB ℓ′ +CAA ℓ CBB ℓ′ (14.32)
14.5 Combinaison des spectres croisés
Une fois calculés les spectres croisés et la matrice de cross-corrélation, on peut calculer une estimation du spectre de puissance angulaire. Dans XSPECT, on utilise une méthode de maximisation d’une fonction de vraisemblance quadratique dont on déduit également les barres d’erreur.
L’approximation gaussienne de la fonction de vraisemblance utilisée est totalement justifiée pour les grands multipôles. Elle permet également d’obtenir de façon analytique les barres d’erreur associées au spectre final. Pour cette étape, on suppose que la matrice est diagonale dans l’espace des multipôles (on néglige les corrélations entre points voisins). Cette approximation est ensuite vérifiée à partir de l’estimation analytique de la matrice de covariance fournie par la fonction de vraisemblance.
On a considéré une forme générale de la fonction de vraisemblance limitée à un simple modèle CMB plus bruit. La fonction peut être adaptée plus spécialement aux données, en incluant, par exemple, l’effet des sources ponctuelles comme c’est le cas pour WMAP [Hinshaw et al. 2003].
Cette méthode de combinaison peut être utilisée pour obtenir une estimation duCℓà partir d’une expérience ou bien pour fournir le spectre commun des fluctuations entre des cartes provenant de différents instruments.
14.5.1 approximation gaussienne pour la combinaison linéaire des spectres croisés
Une fois les spectres croisés calculés, on dispose deN(N−1)/2estimations différentes mais pas indépen-dantes du spectreCℓ. Pour les combiner et obtenir la meilleure estimation du spectre de puissance angulaire
e
Cℓ, on maximise l’approximation gaussienne de la fonction de vraisemblance
−2 lnL=X
ij
h
(Cℓi−Ceℓ)|Ξ−1|ijℓℓ′(Cℓj′−Ceℓ′)i
(14.33)
où |Ξℓℓ′|ij = ΞAB,CDℓℓ′ est la matrice de cross-corrélation (i,j ∈ {AB, A 6= B}). Les auto-spectres ne sont pas considérés. A partir de cette fonction et en négligeant les corrélations entre multipôles voisins, on montre que l’estimation du spectre de puissance s’écrit
e Cℓ= 1 2 P ij h |Ξ−1|ijℓℓCℓj+Ci ℓ|Ξ−1|ijℓℓ i P ij|Ξ−1|ijℓℓ (14.34)
La matrice de covariance finale s’écrit alors
Cov(ℓ, ℓ′) = P 1
ij|Ξ−1|ijℓℓ′
(14.35)
et les barres d’erreur sont données par la dérivée seconde de la fonction de vraisemblance
∆Ceℓ 2 =P 1 ij|Ξ−1|ijℓℓ . (14.36)
En fonction du niveau de corrélation entre les spectres croisés, la variance du bruit est réduite par un facteur compris entreN(le nombre de détecteurs indépendants) etN(N−1)/2(le nombre de spectres croisés) :
• dans le cas où le bruit domine, la corrélation entre les spectres croisés est négligeable. La matrice de cross-corrélationΞdevient diagonale (éq. 14.24 et 14.28). Les valeurs sur la diagonale sont les
N(N−1)/2produits de deux auto-spectres (incluant le bruit). La variance du spectre final est donc proportionnelle à1/[N(N −1)/2].
• dans le cas où le signal domine, la variance vient de la combinaison de N mesures indépendantes (proportionnelle à1/N).
14.5.2 spectre commun de puissance angulaire
Le formalisme de XSPECTpermet de comparer plusieurs jeux de cartes provenant de plusieurs expériences indépendantes. Dans ce cadre, la quantité intéressante est le spectre des fluctuations communes ayant la même origine physique sur le ciel,Ccommun
ℓ .
En réalité, si on compare par exemple deux cartes du CMB à des fréquences différentes, les contamina-tions par les avant-plans ne seront pas identiques et on pourra obtenir une meilleure estimation du spectre de puissance angulaire du CMB. De la même façon, si on compare deux cartes provenant d’expériences différentes, les effets systématiques seront décorrélés et ne contamineront pas le spectre commun des fluc-tuations. On pourra par exemple corréler des cartes de modèles d’émissions d’avant-plans avec des cartes du CMB afin d’estimer les résidus de contamination.
Soient deux jeux de cartes du cielAetBcorrespondant àNAetNBdétecteurs respectivement. En corrélant chaque détecteur de A avec les détecteurs de B, on obtient NA ×NB pseudo-spectres croisés. Après
correction des effets de couverture, de filtrage et de lobe propres à chaque jeu de données, on obtient
NA×NBestimations non-biaisées du spectre commun des fluctuations. Ces spectresCAi,Bj
ℓ sont corrélés et leur matrice de cross-corrélation s’écrit
ΞAiBj,AuBv ℓℓ′ =MAiBj−1 ℓℓ1 D ∆DAiBj ℓ1 ∆DAuBv∗ ℓ2 E (MAuBv−1 ℓ′ℓ2 )T (14.37)
En utilisant les mêmes approximations, on peut déduire des équations (éq. 14.34 et 14.36) le spectre
Ccommun
ℓ des fluctuations ainsi que ses barres d’erreur.
La méthode XSPECTest publiée dans [Tristram et al. 2005a]. L’utilisation des spectres croisés a également servi à l’estimation des spectres de puissance angulaire de WMAP [Hinshaw et al. 2003].
Spectre de puissance de WMAP
X
SPECTa été appliquée aux données de la première année du satellite WMAP(Wil-kinson Microwave Anisotropy Probe). Pour cela, des simulations réalistes des données de WMAP ont été réalisées. Elles ont permis de montrer que l’estimateur est non-biaisé et que les barres d’erreur analytiques sont compatibles avec celles issues des simula-tions. Sur les données elles-mêmes, XSPECTa permis de retrouver les résultats publiés par l’équipe WMAP tant au niveau du spectre de puissance que des barres d’erreur.
Les données publiques de WMAP sont extraites de LAMBDA1 (Legacy Archive for Microwave Back-ground Data Analysis). Les cartes utilisées sont celles nettoyées des avant-plans pour les trois bandes en fréquences Q, V et W centrées à 40.7, 60.8 et 93.5 GHz respectivement.
15.1 Simulations WMAP
Des cartes du ciel pour les 8 détecteurs de WMAP dans les trois bandes en fréquences (2 dans les bandes Q et V, 4 dans la bande W) ont été simulées. Deux jeux deNsimu = 500simulations Monte-Carlo ont été réalisés : le premier en incluant du bruit instrumental et le signal CMB et le second en incluant uniquement le signal CMB.
15.1.1 simulation des cartes
Les simulations de signal CMB sont réalisées à partir du meilleur modèleΛCDM ajusté sur les données WMAP [Spergel et al. 2003]. Les simulations sont calculées à l’aide du programmeANAFASTd’HEALPIX
à la résolution deNside = 512. Pour tenir compte de l’effet de lissage des lobes, pour chaque détecteur, on multiplie le modèle de spectre de puissance du CMB par la fonction de transfertBℓ correspondante calculée par l’équipe WMAP [Page et al. 2003]. Les cartes de bruit instrumental sont directement simulées pour chaque détecteur à partir de sa sensibilité et du nombre de points par pixels (également fournis sur LAMBDA). Les cartes de bruit sont alors sommées par détecteur à la carte de CMB lissée correspondante. Pour ces simulations, on utilise le masque Kp0 de WMAP pour masquer les régions du ciel susceptibles de contenir encore des résidus d’avant-plans (galactique et de sources ponctuelles) [Bennett et al. 2003a].
15.1.2 estimation des spectres de puissance
On applique XSPECTà chaque jeu de simulations et on calcule la moyenne sur les 500 simulations des esti-mations de spectres de puissance obtenus ainsi que pour les barres d’erreur associées. L’échantillonnage en multipôles est le même que celui utilisé par l’équipe WMAP [Bennett et al. 2003b]. La figure 15.1 montre
la moyenne des spectres estimés comparée au modèle de CMB utilisé. On peut voir que la méthode fournit une estimation non-biaisée du spectre de puissance angulaire.
FIG. 15.1: Moyenne des spectres de puissance angulaire obtenue avec XSPECTsur 500 simulations du ciel observé pendant la première année de WMAP incluant du bruit instrumental. Le meilleur modèleΛCDM de WMAP [Spergel et al. 2003] utilisé pour les simulations est tracé en jaune. L’estimateur XSPECTest non-biaisé.
WMAP présente une couverture du ciel presque complète (76% avec le masque Kp0) et presque homogène. L’approximation (éq. 14.28) pour le calcul des barres d’erreur est donc justifiée. La figure 15.2 compare les barres d’erreur calculées analytiquement par XSPECTà la déviation standard des 500 simulations. Les dif-férences sont de l’ordre de 2% en moyenne et aucune dépendance en fonction du multipôle n’est observée.
FIG. 15.2: Estimée analytique des barres d’erreur calculée par XSPECTen rouge
comparée à la déviation standard des 500 simulations en pointillés noirs. Les différences sont inférieures à 10% sur l’ensemble des multipôles avec une moyenne à 2.2%.
bruit à haute résolution pour les 8 détecteurs de WMAP. Ce manque de simulations limite la précision sur la valeur de la déviation standard, spécialement à bas multipôles.