4.3 Description de l’onde hybride basse
4.3.3 Coefficient de diffusion en r´ egime multipassage
Les ´etudes num´eriques ou exp´erimentales de la propagation de l’onde hybride basse permettent de mettre en ´evidence deux principaux r´egimes d’absorption, en fonction des valeurs respectives de nk0 envoy´ee par le coupleur hybride et de l’indice parall`ele corres-pondant `a l’absorption Landau, approximativement donn´e par
nkl ≈ 6.5
√Te (4.63)
o`u la temp´erature ´electronique est en keV.
Le r´egime multipassage (ou multipass) : Sink0 nkl, avant d’ˆetre absorb´ee, l’onde subit de multiples aller-retours et de cette mani`ere, remplit graduellement le domaine de propagation. Ce r´egime se prˆete `a la description statistique de la propagation [126]
et a pour cons´equence un spectre absorb´e ind´ependant, dans une certaine mesure, des conditions initiales et du m´ecanisme de modification de l’indice parall`ele au cours de la propagation de l’onde [127]. Il s’agit d’un r´egime couramment rencontr´e sur les tokamaks actuels [118] mais la seule possibilit´e de contrˆole du profil de courant repose alors sur la modification du domaine de propagation de l’onde [111, 138] et s’av`ere de fait d´elicate.
Le r´egime simple passage (ou single-pass) : Si nk0 ≈ nkl, l’onde peut ˆetre direc-tement absorb´ee par le plasma, sans avoir recours `a un m´ecanisme d’upshift de l’indice parall`ele. Dans ce cas, la position du d´epˆot est maˆıtris´ee, mais ceci n´ecessite une temp´erature ´electronique ou une valeur de nk0 ´elev´ee18 [124]. Il est important de souligner que l’utilisation de l’onde hybride basse dans un futur r´eacteur pourrait reposer sur ce principe [135].
En pr´esence des collisions coulombiennes et de l’onde hybride basse, l’´equation de Fokker-Planck moyenn´ee s’´ecrit
∂f
∂t =hCfˆ i+hDˆlhfi (4.64)
Afin de r´esoudre (4.64), l’id´ee est d’utiliser les consid´erations de la section pr´ec´edente en d´ecrivant la propagation de l’onde hybride basse par l’interm´ediaire de son domaine de propagation. On se placera donc dans les conditions du r´egime multipassage, d’abord car il est caract´eristique des situations exp´erimentales qui seront envisag´ees dans le suite, ensuite parce qu’il permet de s’affranchir des d´etails li´es au spectre de l’onde et `a la forme pr´ecise du coefficient de diffusion quasilin´eaire [126], dont l’´etude exhaustive est au del`a des objectifs de ce travail.
Le mod`ele utilis´e s’appuie sur la d´etermination d’une borne sup´erieure et d’une borne inf´erieure du plateau quasilin´eaire en utilisant les fronti`eres haute et basse du domaine de propagation. En termes de nk, la fronti`ere basse ultime est la caustique inf´erieure.
Cependant, l’accessibilit´e restreint ´egalement le domaine en interdisant `a l’onde lente de se
18Pour cette derni`ere possibilit´e, on doit cependant consid´erer le fait que l’efficacit´e de g´en´eration de courant de l’onde hybride basse est telle queηlh∝1/n2k[118].
4.3. Description de l’onde hybride basse 107
propager pour nk < nkacc. Ceci permet donc d’obtenir la borne haute vitesse du domaine, puisquevk=c/nk. Pour l’autre borne, `a nouveau, la fronti`ere ultime est la caustique haute (lorsqu’elle existe). Toutefois, en subissant des variations denk au cours de la propagation, l’onde atteint des ´energies o`u l’absorption Landau est possible. On consid´erera donc que l’intersection entre la caustique sup´erieure et la courbe d’absorption Landau constitue une limite sup´erieure `a l’augmentation de nk.
D’apr`es les consid´erations qui pr´ec`edent, on d´efinit donc un domaine de propagation tel que celui repr´esent´e sur la figure 4.5.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
r/a0 1
2 3 4 5 6
n//
Spectre injecté Caustiques Accessibilité Absorption Landau
Fig. 4.5 – Domaine de propagation de l’onde hybride dans le plan (r, nk). La r´egion effectivement consid´er´ee est d´elimit´ee par les cercles vides.
A pr´esent, il reste `a d´efinir la valeur du coefficient de diffusion quasilin´eaire en tout point de ce domaine. Dans le r´egime multipassage, on peut montrer que le d´epˆot de puissance de l’onde hybride basse est ind´ependant de la forme pr´ecise du coefficient de diffusion [126]. On consid´erera donc ici un coefficient constant entre les deux bornes pr´ec´edemment d´efinies. On d´efinit Plh la puissance totale absorb´ee, puis dissip´ee par les collisions
Plh ≡4π2R0a0 Z
drr2plh(r) (4.65)
avec
plh(r)≡ne(r)mec2 Z
dp(γ−1) ∂
∂pkDlh
∂f
∂pk (4.66)
La valeur de cette constante sera fix´ee de mani`ere `a obtenir Plh = P0 o`u P0 est la puissance inject´ee dans le plasma par le coupleur hybride. Enfin, afin d’´eviter tout probl`eme num´erique li´e au calcul de la d´eriv´ee du coefficient de diffusion, n´ecessaire `a la r´esolution de l’´equation de Fokker-Planck, on consid`ere une d´ecroissance exponentielle au
passage int´erieur-ext´erieur du domaine. La figure 4.6(a) illustre le coefficient de diffusion ainsi d´efini, pour une valeur donn´ee de r et sa repr´esentation en ´el´evation dans le plan (nk, r/a0) est donn´ee sur la figure 4.6(b).
Fig.4.6 –(a)Exemple de coefficient de diffusion hybride pour un rayon donn´e. Les valeurs
∆nk1 et ∆nk2 sont fix´ees de mani`ere `a s’affranchir des probl`emes num´eriques rencontr´es lors de la r´esolution de l’´equation de Fokker-Planck. (b) Repr´esentation du coefficient de diffusion en ´el´evation dans le plan (nk, r/a0).
4.3.4 R´esultats num´eriques
Dans cette partie, le mod`ele de description de l’onde hybride basse expos´e ci-dessus est utilis´e au sein du code cin´etique pr´esent´e dans la section 4.1.2. Ceci permet, pour des conditions de plasma donn´ees, d’obtenir la fonction de distribution modifi´ee sous l’effet de l’onde hybride et donc de calculer le d´epˆot de puissance et le profil de courant correspondant.
Comme au cours de la section 4.2, on utilise les param`etres typiques du tokamak Tore Supra. Ainsi, on fixe un profil de densit´e, un profil de temp´erature et un profil de facteur de s´ecurit´e paraboliques, avec ne0 = 4×1013cm−3, Te0 = 4keV, q0 = 1 et qa = 5.5. Le champ magn´etique central vaut B0 = 3.8T. Dans toutes les simulations de cette section, on a fix´e Plh= 4MW et nk0 = 1.8.
Sur la figure 4.7, on a repr´esent´e la fonction de distribution modifi´ee sous l’effet de l’onde hybride basse pour r/a0 ≈0.1. Les limites du coefficient de diffusion quasilin´eaire et du cˆone de pi´egeage sont mat´erialis´ee par des droites.
Sur la figure 4.8, on a repr´esent´e les grandeurs Fk et T⊥ (voir d´efinitions (4.48) et (4.49)) en fonction de l’impulsion parall`ele. Les conditions sont les mˆemes que sur la figure 4.7.
Le plateau quasilin´eaire cr´ee par l’onde hybride apparaˆıt tr`es clairement du cot´euk >0 de la figure. On peut ´egalement remarquer sur la figure 4.8 que l’effet de l’onde hybride se manifeste ´egalement, dans une moindre mesure, `a l’ext´erieur du domaine de diffusion quasilin´eaire. Il s’agit de l’effet d’isotropisation de la fonction de distribution sous l’effet
4.3. Description de l’onde hybride basse 109
−100 −5 0 5 10
2 4 6 8 10
u//
u ⊥
Fig.4.7 – Contours de la fonction de distribution en pr´esence d’onde hybride (Plh= 4MW) pourr/a0 ≈0.1. Les droites en trait plein d´elimitent le cˆone de perte local. Les droites en pointill´es repr´esentent les fronti`eres approximatives du coefficient de diffusion quasilin´eaire.
−150 −75 0 75 150
ε// (keV)
−15
−10
−5 0
ln(F//)
(a)
−150 −75 0 75 150
ε// (keV) 0
2 4 6 8 10 12
T⊥/Te
(b)
Fig. 4.8 – Fonction de distribution parall`ele (a) et temp´erature perpendiculaire (b) en fonction de l’´energie parall`ele des ´electrons, en pr´esence d’onde hybride basse. Les condi-tions sont celles de la figure 4.7. Sur la figure (a), la maxwellienne est indiqu´ee par la courbe en tirets.
de la diffusion en angle d’attaque due aux collisions, d´ej`a discut´e dans la section 4.2.
On remarque par ailleurs que la temp´erature perpendiculaire est plus basse pour pk >0 que pour pk < 0. Ceci traduit le fait que l’onde agit sur les ´electrons dans la direction parall`ele, ce qui diminue l’´energie contenue dans le degr´e de libert´e perpendiculaire [85]
(voir expression (4.49)).
Il est int´eressant d’examiner les modifications du profil de courant obtenu par l’onde hybride en fonction des principaux param`etres de plasma. Tout d’abord, l’effet du profil de densit´e est ´etudi´e en utilisant `a nouveau un profil parabolique et en faisant varier la densit´e centrale. Ici, on consid`erene0 = 3×1013cm−3,ne0 = 4×1013cm−3 etne0 = 5×1013cm−3. Les autres param`etres correspondent `a ceux de la figure 4.7 et le r´esultat obtenu est illustr´e sur la figure 4.9.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/a
00 0.2 0.4 0.6
j (kA/cm
2) 1 2 3
n
//1 3 5
n
e(10
13cm
−3)
(a)
(b)
(c)
Fig. 4.9 – Effet de la modification du profil de densit´e sur le d´epˆot de puissance de l’onde hybride basse. En (a), trois profils de densit´e sont repr´esent´es avecne0 = 3×1013cm−3 (trait plein), ne0 = 4×1013cm−3 (tirets courts) et ne0 = 5×1013cm−3 (tirets longs). (b) Domaines de propagation LH et(c)courants g´en´er´es correspondants. En(b), les pointill´es mat´erialisent la courbe d’accessibilit´e.
4.3. Description de l’onde hybride basse 111
On peut voir que, pour des valeurs de la densit´e centrales pas trop ´elev´ees, la modifica-tion du profil de densit´e n’influe pas de mani`ere importante sur la position du maximum du d´epˆot de puissance19. Un examen d´etaill´e du domaine de propagation de l’onde montre que cette variation entraˆıne principalement une modification de l’accessibilit´e (mat´erialis´ee par des pointill´es sur la figure). En revanche, l’efficacit´e de g´en´eration de courant dimi-nue avec la densit´e. Ainsi, on obtient pourPlh= 4MW un courant valant respectivement I ≈825kA, I ≈ 690kA et I ≈590kA pour ne0 = 3×1013cm−3, ne0 = 4×1013cm−3 et ne0 = 5×1013cm−3.
L’effet de la temp´erature se traduit par une modification de la courbe de r´esonance Landau. Ainsi, `a mesure que la temp´erature ´electronique augmente, cette courbe atteint des valeurs de nk plus basses et donc les ´electrons excit´es sont plus ´energ´etiques. Ici, on utilise trois valeurs pour la temp´erature centrale :Te0= 3keV,Te0= 4keV etTe0= 5keV.
La figure 4.10 illustre le r´esultat obtenu.
Il apparaˆıt que la variation de la temp´erature se traduit par une modification de l’ef-ficacit´e de g´en´eration de courant ainsi que du rayon du maximum de d´epˆot de puissance.
On obtient ici I ≈ 620kA, I ≈ 690kA et I ≈ 705kA pour Te0 = 3keV, Te0 = 4keV et Te0= 5keV respectivement. On doit toutefois noter qu’une limite existe sur la temp´erature centrale maximale utilisable avec ce mod`ele. En effet, l’id´ee centrale est le remplissage uniforme du domaine de propagation par les rayons [126]. Dans le cas o`u la courbe cor-respondant `a l’absorption Landau intersecte directement la valeur denk=nk0 du spectre de l’onde inject´ee, l’absorption de l’onde a lieu en quelques passages, voire un seul, ce qui correspond au r´egime simple passage, incompatible avec les hypoth`eses de bases du mod`ele.
Enfin, dans les r´egimes o`u les ondes tiennent une place importante, une grande vari´et´e de profils de facteur de s´ecurit´e peuvent ˆetre obtenus. Si, pour les param`etre typiques d’un plasma ohmique, ce profil croˆıt de mani`ere monotone avec le petit rayon, il est ´egalement possible (et int´eressant du point de vue du confinement) d’obtenir des d´echarges o`u q est plat ou invers´e sur une large partie du petit rayon [117]. Ainsi, trois profils de q sont utilis´es ici : le premier est monotone, le second est plat au centre (cisaillement faible) et le troisi`eme est invers´e. Ces profils, ainsi que le r´esultat obtenu, sont repr´esent´es sur la figure 4.11.
Les diff´erences entre ces profils de facteur de s´ecurit´e entraˆınent une variation de l’en-droit du maximum de d´epˆot de puissance, par l’interm´ediaire d’une modification de la caustique sup´erieure. Il s’agit par cons´equent d’un param`etre particuli`erement d´eterminant vis-`a-vis du maximum du d´epˆot de puissance. La vari´et´e des profils de q accessibles dans les d´echarges actuelles, associ´ee `a des modifications de temp´erature peut par cons´equent se traduire par une modification importante du d´epˆot de puissance de l’onde hybride, dont le mod`ele simple pr´esent´e ici reproduit les principales tendances.
19En l’absence de diffusion des ´electrons rapides, le profil de courant g´en´er´e par l’onde et le profil de puissance absorb´ee sont proportionnels.