Approximation WKB et trac´ e de rayons

Dans la section 2.2.2, on a suppos´e d’embl´ee que le milieu au sein duquel se pro-page l’onde est homog`ene. Il s’agit bien entendu d’une situation id´eale puisque les gran-deurs caract´erisant les plasmas de tokamak (densit´e, temp´erature...) peuvent varier de telle mani`ere que les r´esultats de la th´eorie homog`ene concernant la propagation et l’ab-sorption des ondes seront erron´es. Toutefois, l’abandon de l’hypoth`ese d’homog´en´eit´e com-plique ´enorm´ement le traitement de l’´equation de Boltzmann (2.5). On peut cependant remarquer que les ´echelles spatiales de variations des diff´erentes grandeurs du plasma sont g´en´eralement beaucoup plus grandes que le rayon de Larmor ´electronique et que la longueur d’onde. Dans ce contexte, il est naturel d’utiliser une hypoth`ese de variation lente du milieu, en se pla¸cant dans le cadre de la th´eorie WKB¹⁰ et en s’appuyant sur les propri´et´es quasi-optiques de la propagation de l’onde [42, 43]. Du point de vue de l’onde cyclotronique ´electronique, la th´eorie WKB est applicable partout en dehors des coupures et des couches de conversion [11, 44]. Cette question a ´et´e ´etudi´ee par plusieurs auteurs, qui ont compar´e les r´esultats d’une approche de type “full wave” et d’une approche de

10WKB, du nom de ses auteurs Wentsel, Kramers et Brillouin.

type “optique g´eom´etrique” dans les cas les plus critiques (propagation perpendiculaire).

Les r´esultats des deux m´ethodes sont g´en´eralement en bon accord [45, 46].

Propagation

L’id´ee de base du calcul est la s´eparation des quantit´es variant lentement et des quan-tit´es variant rapidement. On pose alors

E ≡ eexp(iψ) (2.77)

B ≡ bexp(iψ) (2.78)

∇ψ ≡ k(r, t) (2.79)

∂ψ

∂t ≡ −ω(r, t) (2.80)

Dans ces ´equations,e,b,ωetksont suppos´es varier lentement, tant spatialement que temporellement.ψ est la fonction eikonale de la th´eorie WKB [42, 43].

Les ´equations de Maxwell s’´ecrivent

∇×B = 4π

j et ρ sont respectivement la densit´e de courant et la densit´e de charges au sein du plasma.

Ce syst`eme peut ˆetre ferm´e par la relation (2.58) reliant le courant au champ ´electrique.

Dans le cas d’un milieu faiblement absorbant, les termes du tenseur di´electrique v´erifient¹¹

|⁰| |⁰⁰|. Plus pr´ecis´ement, en introduisant le petit param`etreδ et en supposant que les termes (⁰⁰_ij) sont d’ordreδ devant les termes (⁰_ij), on peut d´evelopper les quantit´eseetb selon les puissances successives deδ. L’´equation d’ordre 0 peut alors ˆetre d´eduite de (2.81) et ´ecrite sous la forme

k×(k×e₀)

ω + ω

c²

=⁰e₀= 0 (2.82)

ou de mani`ere ´equivalente

=

D⁰) = 0 n’est autre que la relation de dispersion sans pertes (puisque seule la partie hermitienne du tenseur di´electrique intervient) et s’´ecrit donc

det

=

D⁰=D⁰(ω,k,r, t) = 0 (2.84)

11Il s’agit en r´ealit´e d’une approximation n´ecessaire `a la validit´e de la th´eorie WKB car si elle ´etait mise en d´efaut, cela signifierait que l’onde est absorb´ee dans un volume tr`es restreint (de l’ordre de la longueur d’onde), ce qui contredit l’hypoth`ese de variation lente de l’amplitude du champ ´electrique.

2.2. Ondes cyclotroniques ´electroniques dans un plasma 39

Cette ´equation implicite peut ˆetre ´egalement mise sous la forme

ω= Ω(k,r, t) (2.85)

On peut alors ´etablir, `a partir de (2.79) et (2.80) que

∇∂ψ

∂t = ∂k

∂t =−∇ω (2.86)

D’o`u l’on d´eduit, en utilisant (2.85)

∂k

On introduit le concept de rayons en d´efinissant la vitesse de groupevg permettant de caract´eriser la propagation de l’´energie d’un paquet d’onde dans le plasma inhomog`ene.

v_g = ∂ω En utilisant `a nouveau (2.84), les trajectoires des rayons peuvent ˆetre ´ecrites comme

suit 

o`uD⁰ repr´esente la relation de dispersion du plasma en l’absence de pertes.

Absorption

Le probl`eme de l’absorption de l’onde au cours de son trajet dans le plasma n’a pas

´

et´e pris en compte, jusqu’ici. Pour le traiter, on peut remarquer tout d’abord, en ´ecrivant l’expression de l’´energie ´electromagn´etique

S= c

4π<(E×B^∗) (2.92) et en consid´erant les expressions (2.77), (2.78) et (2.79) que pour un champ WKB, l’amortissement de l’onde est proportionnel `a la quantit´e

exp

o`u k<sup>00</sup> repr´esente la partie imaginaire du vecteur d’onde k et o`u l’int´egration est ef-fectu´ee le long de la trajectoire de l’onde.

En utilisant `a nouveau vg la vitesse de groupe de l’onde, le terme `a l’int´erieur de l’exponentielle peut ˆetre transform´e, `a l’aide de la relation (2.89) en

Z

k⁰⁰·dr= Z

k⁰⁰·vgdt= Z

k⁰⁰·v_g vg

ds (2.94)

o`uds est un ´el´ement de longueur le long de la trajectoire du rayon.

La relation de dispersion g´en´erale (c’est `a dire incluant les effets dissipatifs) comporte une partie imaginaire et on peut l’´ecrire D ≡ D⁰ +iD⁰⁰ = 0. A ce point, il est utile de se souvenir que l’approximation WKB impose un faible amortissement sur une longueur d’onde. Ceci signifie que la condition |D⁰⁰| |D⁰|doit ˆetre v´erifi´ee, de mˆeme que |k⁰⁰|

|k⁰|. On peut alors ´ecrire le d´eveloppement

D(k,r, ω)≈D⁰(k⁰,r, ω) +iD⁰⁰(k⁰,r, ω) +ik⁰⁰·∂D⁰

∂k⁰(k⁰,r, ω) = 0 (2.95) Ce qui donne, pour la partie imaginaire

D⁰⁰(k⁰,r, ω) +k⁰⁰·∂D⁰

∂k⁰(k⁰,r, ω) = 0 (2.96) L’absorption de l’onde est donn´ee par le produit scalaire k⁰⁰·vg de l’´equation (2.94) qui, en utilisant (2.91)), peut ˆetre ´ecrit

k⁰⁰·v_g=−k⁰⁰·∂D⁰/∂k⁰

∂D⁰/∂ω = D⁰⁰

∂D⁰/∂ω (2.97)

Finalement

k⁰⁰·vg

vg

= D⁰⁰(ω,k⁰)

|∂D⁰/∂ω| (2.98)

Cette discussion permet d’introduire le principe du trac´e de rayon, outil couram-ment utilis´e dans la simulation de l’interaction entre ondes cyclotroniques ´electroniques et plasma. Consistant `a discr´etiser le faisceau de l’onde en un ensemble de rayons, cet outil est utilisable tant que ces rayons peuvent ˆetre consid´er´es comme ind´ependants. Lorsque la section du faisceau devient trop faible (de l’ordre de la longueur d’onde), une description globale du faisceau est n´ecessaire [47, 48].

L’id´ee `a la base du trac´e de rayon est de calculer la relation de dispersion de l’onde en plasma froid, ce qui permet d’int´egrer les ´equations (2.91) d´ecrivant les trajectoires des rayons au cours de leur propagation. Tout au long de ces trajectoires, la relation de disper-sion incluant les effets chauds autorise une description de l’absorption. Plus pr´ecis´ement, la relation de dispersion s’´ecrit, dans le cas g´en´eral

₁₁n⁴_⊥+ 2n_k13n³_⊥+n²_⊥(²₁₃+n²_k11−₁₁₂₂−²₁₂+n²_k−₁₁₃₃) + 2nkn⊥(n²_k13−1322+1223) +11²₂₃−22²₂₃+ 2121323

+n²_k(²₁₃−²₂₃) +n²_k33(n²_k−₁₁−₂₂) +₃₃(²₁₂+₁₁₂₂) = 0

(2.99)

2.2. Ondes cyclotroniques ´electroniques dans un plasma 41

Ainsi, `a un temps donn´e, l’´equation (2.99) est ´ecrite en rempla¸cant les termes (ij) par leur expression froide. On aboutit alors `a l’´equation (2.42) qui permet de calculer les trajectoires des rayons en utilisant (2.91). Le description de l’absorption est, l`a en-core, nettement plus d´elicate puisque l’´equation de dispersion incluant les effets chauds est transcendante en n⊥. Ceci provient du fait que l’argument des fonctions de Bessel apparaissant dans le tenseur di´electrique d´epend lui mˆeme de l’indice de propagation.

Afin de contourner cette difficult´e, on suppose n⊥≈n⊥,f roid dans l’argument de ces fonc-tions. Ceci permet d’utiliser l’´equation (2.99) pour en tirer un indice de propagation n⊥

imaginaire. L’utilisation courante d’un code de trac´e de rayons permet de confirmer que, g´en´eralement,n⊥,f roid≈ <(n_⊥,chaud), ce qui valide la m´ethode utilis´ee.

Pour illustrer d’un cas concret le principe du trac´e de rayon, on consid`ere un cas typique du tokamak Tore Supra. Le faisceau est issu de l’antenne, situ´ee du cˆot´e bas champ de la machine, et est envoy´e avec un angle toro¨ıdal φ<sub>t</sub> = 20<sup>◦</sup> et un angle polo¨ıdal θ<sub>p</sub> = 10<sup>◦</sup>. La temp´erature et la densit´e centrale sont respectivement T<sub>e0</sub> = 5keV et n<sub>e0</sub> = 4× 10<sup>13</sup>cm<sup>−3</sup>. On utilise ici le deuxi`eme harmonique du mode extraordinaire, `a une fr´equence de 118GHz, le champ magn´etique au centre du plasma ´etantB₀ = 2T. Sur la figure 2.9, on a repr´esent´e la projection, dans les plans polo¨ıdaux et toro¨ıdaux, des trajectoires de huit rayons permettant, dans une certaine mesure, de simuler les caract´eristiques (divergence, largeur...) du faisceau r´eel.

Fig.2.9 – Exemple de trajectoires de huit rayons :(a)Projection polo¨ıdale(b) Projection toro¨ıdale. Le plasma cible est tel que n_e0 = 4×10¹³cm⁻³, T_e0 = 5keV, B₀ = 2T. Le faisceau simul´e est caract´eris´e par φt= 20^◦ etθp= 10^◦. Le mode choisi est extraordinaire et r´esonne au deuxi`eme harmonique de la r´esonance cyclotronique ´electronique.

Sur la figure 2.10, la puissance absorb´ee par le plasma correspondant `a ces conditions est pr´esent´ee, en fonction du rayon normalis´e du plasma. Pour les param`etres choisis, l’ab-sorption est totale et se situe `a mi-rayon. La calcul de la puissance absorb´ee a ´et´e effectu´e en utilisant 250 rayons pour simuler le faisceau. La puissance totale estPec = 350kW.

On peut remarquer en particulier que le d´epˆot de puissance est bien localis´e, ce qui constitue un atout majeur des ondes cyclotroniques ´electroniques. D’autre part, on peut

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/a₀

0 0.05 0.1 0.15

Pabs (MW/m3 )

Fig. 2.10 – Puissance absorb´ee (en MW/m³) pour les param`etres de la figure 2.9 en fonction du petit rayon normalis´e. Dans les conditions choisies, l’absorption de l’onde par le plasma est totale et se situe `a mi-rayon. On a P_ec= 350kW.

souligner que les observations exp´erimentales sont en g´en´eral tr`es bien comprises dans le cadre d’une description de la propagation et de l’absorption des ondes cyclotroniques

´

electroniques telle que propos´ee ci-dessus [15].

2.3 Chauffage et g´ en´ eration de courant par ondes