Classification des modèles d’écoulement transitoire

2.4.1

Classification à partir de la technique de calcul

En règle générale, les différentes approches de modélisation des écoulements transitoires se décomposent en deux grandes familles: les modèles avec capture de choc (« Shock-Capturing ») et les modèles avec suivi du choc (« shock-tracking-fitting»). Chacun de ces modèles s'est efforcé au fil des années de répondre au mieux de ses possibilités à certaines des préoccupations soulevées par l'écoulement transitoire et aux instabilités associées. Si les premiers réclament une

facilité de modélisation, les seconds se veulent plus réalistes et mieux à même de décrire le comportement hydraulique du réseau pendant les phases de remplissage et/ou de vidange.

Les modèles avec capture de choc utilisent une seule équation pour simuler aussi bien l'écoulement gravitaire que l'écoulement en charge. Ceci est possible grâce à l'utilisation d’une fente imaginaire (la fente Preissmann) qui prolonge fictivement les canalisations de manière à préserver les conditions d’écoulement à surface libre pendant la mise en charge partielle ou totale du réseau d’égout. Dans ces conditions, il n'est pas nécessaire de connaître la position de la discontinuité séparant les écoulements en charge des écoulements à surface libre. Toutefois, la simulation des conditions hydrodynamiques telles que l'emplacement et la célérité du front de transition demeurent des préoccupations majeures lorsqu'on veut atteindre la précision et la stabilité des modèles numériques. Les modèles basés sur la technique dite "avec capture de choc" prédisent la localisation du front d'onde dans une zone dont la largeur dépend du schéma numérique. Selon la taille de fente de Preissmann, ces modèles sous-estiment généralement la célérité et la pression dans les écoulements à faible piézométrie. En outre, les modèles qui utilisent uniquement des équations spécifiques aux écoulements gravitaires ne sont pas capables de calculer certains phénomènes complexes tels que les coups de bélier accompagnés de hautes pressions ainsi que les instabilités qui les caractérisent. Vasconcelos et Wright (2007) ont montré que le modèle TPA est capable de simuler le phénomène de coup de bélier (généré par une fermeture subite de la vanne) lorsque la célérité des ondes de pressions de l'écoulement est faible. L'acuité des modèles dit "avec capture de choc" dépend généralement de la performance du schéma numérique de calcul et des variables d'écoulement (Toro, 2001). Avec le schéma de Lax- Friedrichs, Vasconcelos et al. (Vasconcelos et al., 2006b) montrent que la célérité de propagation du front d'onde est plus faible lorsque la profondeur et la vitesse sont considérées comme les paramètres de l'écoulement, à la place de la profondeur et du débit. Les modèles suivants appartiennent à la famille des modèles dits "avec capture de choc": Garcia-Navarro et al. (1994), Capart et al. (1997), Vasconcelos and Wright (2007).

Contrairement aux modèles dits "avec Capture de choc", les modèles "avec suivi de choc" procèdent à une poursuite systématique du front de transition à chaque pas de calcul. Afin de simuler les écoulements transitoires. Wiggert (1972a), Song et al. (1983), Cardle et Song (1988), Guo et Song (1990), Fuamba (2002b) ont suggéré une procédure de calcul en deux étapes comme suit: (a) calculer les conditions du front de transition en établissant les équations de conservation

de masse et de quantité de mouvement autour du front; (b) calculer les conditions d'écoulement dans les sections à surface libre et en charge de la conduite à l'aide des équations de Saint- Venant. En tant que schéma numérique, la méthode des caractéristiques (MOC) offre de grandes possibilités. Sa forme explicite facilite la résolution des équations et le calcul des conditions aux limites. Une comparaison entre les schémas Lax-Friedrichs et MOC-Hartree effectuée par Sturm (2000) et Vasconcelos et al. (2006b) révèle un retard dans la propagation du front d'onde lorsque l'utilisation de la MOC n'est pas associée à une procédure de localisation du front de transition. Le calcul dans la zone d’écoulement en charge peut être réalisé à l'aide de la technique des colonnes rigide (MCR) (Wylie & Streeter, 1993). Li et McCorquodale (1999) ont proposé un modèle basé sur la MCR dont les simulations numériques s'accordent avec les résultats expérimentaux. Toutefois, de même que pour les modèles avec suivi du front de transition, la forme du front d'onde est soumise à de nombreuses hypothèses limitatives. Zhou et al. (2004) admettent que le front est caractérisé par une interface verticale avançant dans une conduite remplie d'air. Cette interface comprime l'air qui est ensuite expulsé à travers les regards. Pourtant, les expériences menées par Guizani et al. (2006) montrent que la forme du front d'onde est plus complexe, variable, et fortement influencée par la pression amont. De plus, la forme du front à tendance à être plus incliné à mesure que la pression diminue.

S'il est vrai que la classification basée sur la technique de calcul a une pertinence avérée, l'examen de l'effet de l'air occupe aujourd'hui une place prépondérante en raison de l'ampleur de son effet et de son incidence sur les phénomènes physiques accompagnant les instabilités d'écoulements transitoires. L'analyse des contributions de la dernière décennie relative à la modélisation numérique révèle de nouveaux concepts émergents et un changement dans la classification des modèles.

2.4.2

Classification à partir de la formulation mathématique

Une classification plus contemporaine s'appuie sur la formulation mathématique du problème d'écoulement transitoire et notamment sur le nombre d'équations utilisées dans la modélisation. Les modèles à une équation utilisent un artifice permettant de préserver les conditions d’écoulement à surface libre pendant la mise en charge partielle ou totale du réseau d’égout.Pour les modèles à deux équations, écoulement à surface libre et écoulement sous-pression sont régis

par des systèmes d’équations différents et la continuité est obtenue par l’utilisation des conditions frontière adéquates au point de transition.