Circuit passe-haut

exponentiellement et tendre vers zéro.

On peut écrire l'équation du circuit, qui est une équa

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w Faisons maintenant intervenir les conditions initiales ; on peut écrire qu'à l'instant t

=

^{0, on a d'}une parti

=

^k

0

1 ^C

î ^... î

Vj

R

Vo

i i

Fig. 1

Etudions maintenant ce problème par la méthode des transformées de Laplace. L'équation différentielle du cir-cuit de la figure 1 peut également s'écrire :

V; = Va + R~ / Va dt

La transformée de Laplace de cette équation s'écrit (tableau 11 :

V;= Va+ R~ (~a)

N'oublions pas que les tensions V; et Va représentent les transformées des fonctions V; et Va.

Notons que, si la capacité était chargée à l'instant initial, il faudrait tenir compte dans l'équation transformée de la valeur de l'intégrale

J

^Va dt à cet instant initial. On peut êcrire :

V;= Va

(1

+ R~sJ= Va ~RC~c:

1)

La fonction de transfert du circuit s'écrit : _ Va _ RCs

A (S) - - - -

---=---V; + RCs

Dans le cas d'un signal à front raide à l'entrée du circuit, les conditions initiales font que l'entrée et la sortie sont nulles avant l'jnstant t = 0, et que la sortie prend une valeur égale à celle du signal d'entrée « E » à l'instant t = O. On peut écrire :

Va= RCs

1 + RCs E s

où le terme E / s est le laplacien de la fonction d'entrée.

On peut également écrire : E

RC 1

+

^s

Il faut maintenant trouver la transformée inverse de cette dernière équation, ce qui permettra de trouver la forme de Va en fonction du temps.

On trouve directement :

Va

=

E e- t/RC

fonction équivalente à celle trouvée par la méthode classi-que.

En conclusion, le signal de sortie décroît exponentielle-ment avec une constante de temps égale à R.C. Après un temps égal à la constante de temps, la valeur de la sortie vaut 36,8 % de la tension d'entrée. On considère que la sortie est nulle après 5 constantes de temps.

Les tableaux 2 et 3 permettent de tracer la figure 2 qui représente la réponse du circuit passe-haut à un signal à front raide de valeur E = 10 V pour des constantes de temps valant respectivement 5 et 20 µs.

-

^~

^...

-Tableau 2. - RC

=

5 µs

t (µsi Vo

2 6,7 ^~

5 3,7

10 1,4

15 0,5

20 _, 0,2

~ ~

-Tableau 3. - RC

=

20. µs

t (µsi Vo

10 6,06

20 3,67

30 2.23

40 1,35

60 0,50

80 0, 18

.

V

, 0 - ---

Vj 8

6

4

2

20 30 40 50 60 t ( ps)

Fig. 2

Signal

à

front de montée linéaire

La forme des signaux d'entrée et de sortie est repré-sentée à la figure 3. A partir du temps t = 0, le signal d'entrée croît suivant la relation :

V;= a ' t

jusqu'à atteindre une amplitude E à l'instant t,.

Entre ta et t,, le condensateur va se charger à travers la résistance, et la tension aux bornes de cette dernière va atteindre une valeur E,. La sortie va ensuite diminuer exponentiellement.

L'opération différentielle du circuit s'écrit : R ,

= -

C ¹

f

i dt

=

a · t

Résolvons cette expression par la méthode classique. Par dérivation des deux membres, on obtient : di

+

1 . _ a

dt

RC ¹

- R

Posons i = x · y, par dérivation il vient :

di dy dx

dt = X

dt+

y

dt

ELECTRONIQUE APPLICATIONS N° 21 - PAGE 89

V

Vj

Fig. 3

Par remplacement de la valeur de « i » et de sa dérivée, on trouve :

dy dx 1 a

x + v + x y =

-dt dt RC R

Par mise en évidence de« y », il vient :

dy dx x a

X

dt +

^{y [}

dt +

AC ]

= A

Notons que les termes « x » et « y » sont les fonctions du temps que l'on doit déterminer.

Recherchons d'abord la fonction« x » ; pour cela, don-nons-lui une forme qui annule le deuxième terme du premier membre de l'équation ci-dessus :

~+

_x_= 0

dt RC

d'où :

dx 1

X= -

^{RC dt}

Par intégration, il vient :

x

= A e-I/Rc

En adoptant cette forme d'équation pour« x », on peut écrire par remplacement et en considérant qu'un membre est nul :

Ae-I/Rc. ~ =

~

dt R

En intégrant cette équation, on trouve la forme de la fonction « y » :

Y

=

_a (RCe1tRc

+

^B)

RA

La fonction « i » est donc de la forme : i

=

A e-1/Rc • _a_(RC et/Re

+

B)

RA i = a C

+

t l e - t/RC

R

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On peut trouver la constante « B » en considérant que le courant est nul à l'instant initial :

ac+il=o

R d'où B

= -

CR

Il vient que:

i

=

^{ac (} 1 - e- t/Rc)

La loi d'évolution de la tension de sortie aux bornes de la résistance de l'instant t₀ à t, est donc de la forme :

Vo

=

^{Ra C (} 1 - e-t/RC) et atteint un maxmum E, à l'instant t,.

[ 1]

Après l'instant t,. la tension de sortie décroît exponen-tiellement suivant une relation identique à celle trouvée dans le cas d'un signal à temps de montée nul :

Vo

=

E, e -t-I1

RC (2)

la sortie est donc composée d'un premier transitoire à montée exponentielle évoluant suivant la relation « [

1]

».

de l'instant t₀ à t, jusqu'à une valeur E,, suivie d'un second transitoire exponentiel, décroissant à partir de t, suivant la relation « [2] ».

La résolution par la méthode des transformées de Laplace aurait donné :

RC5 a

1

+

RCs s2 Vo =

où le terme a/ s2 est la transformée de la fonction

d'en-trée. Le résultat aurait naturellement été identique.

Vj V

10

,-;.--- --

---8

6

4

2

Fig. 4

: Re= 500 s

I I I I I I I

10 20 30 40 ⁵⁰

- - - - V i - -Vo

60 t ( psi

La figure 4 représente la réponse du circuit à un signal d'entrée à montée linéaire ; les courbes sont valables pour une tension d'entrée dont E

=

10 V, et t,

=

^{10 µs,}

et, pour des constantes de temps allant de 1 à 500 µs.

Les résultats sont donnés au tableau 4, où il faut tenir compte de:

V; =

a •

^t =

.f...

^t

t,

d'où:

10

=

^{10 6}

a = 10 . 10-e

On voit très bien sur le graphique que la sortie se compose de deux transitoires et qu'un maximum est

atteint à l'instant t,. De plus, la déformation du signal de sortie est faible pour de grandes constantes de temps.

TABLEAU4 ^I

RC (µs) t (µs) v₀ (volts)' RC(µs) t (µs) v₀ (volts) .,.

1 2 0,86 30 2 1,93

5 0,99 5 4,60

10

=

t, 0,99

= E,

10 8,50

20 0 20 6,09

30 0

..

_{30 4,36}

40;; 0 40 3, 13

5

I l

^{2 1,65 50 ·2 1,96}

1,,

5 3, 16 5 4,76

10 4,32 10 9,06

15 1,59

20 0,58 20 7,42

30 0,08 30 6,07 ^;J

40 0,01

, ~

40 4,97 1 ^l

10 2, _{1 ;81 500} 2 1,99 ¹

5 3,93 5 4,97 i

10 6,32

~ 10 9,90 ^'

15 3,83 20 !;9,70 :

20 2,33 ,,.

40 9,32

30 0,86 ^1, 60 8,96

40 ' 0,32 100 8,27

Signal

à

front de montée exponentielle

La figure 5 représente l'allure des signaux d'entrée et de sortie. Nous avons ici une entrée qui croît exponentiel-lement jusqu· à atteindre une valeur E après un temps plus ou moins long.

V

t (ms)

Fig. 6a

Pour un circuit passe-haut, nous avons vu que : RCs

+ RCs V;

En remplaçant, on trouve :

Vo = E [ RCs • J__ _ RCs •

0 1

1 + RCs s 1 + RC₅ 1 +

s0 .

V⁰ = E

I

_R~+s ^l ( R~+s)(ft+s) ^S

l

En posant :

s 0

-,--=

^RC-0

7f -

s

pour s

= -

^RC 1 Résolvons le problème de la recherche de la fonction

-de sortie par la métho-de -des transformées -de Laplace. et

s

^RC

L'entrée évolue suivant la loi :

v;

=

^{E ( 1 - e-•t8)} [1]

où le terme «

0

» (thêta) est la constante de temps de ce signal.

La transformée du signal d'entrée s'écrit :

V; = E [-1 - _1 ]

s s

+-L 0

V

= E

[_!_ -

S 1

~ +

^SU

1

Vj

E --- ---- =-=---

E1

-Fig. 5

t

=

-R~ + s 0-RC pour s =

- T

1 il vient que :

Vo = E [ 1 1

+ 0 -

^{RC ]}

RC + s (RC -

0l(

^{~C + s) (RC -:-0)}

T

^{+ s}

Recherchons maintenant le Laplacien inverse de cette équation, ce qui nous permettra de trouver la loi d' évolu-tion de la tension de sortie en foncévolu-tion du temps.

Pour le premier terme, la transformée inverse donne : e-t/RC

Pour le second terme, on aura : - - - e - t/RC

0

RC-0

et pour le troisième terme, on aura : - - - e -RC 110

RC-0

La sortie va donc évoluer suivant la loi ;

Vo

=

E [ e- t/RC + _ _ _

0__,,_

e- t/RC + RC-0

ERC [e-1/Rc-e-110]

RC- 0

RC . e-110]

RC-0

[2]

ELECTRONIQUE APPLICAT.IONS N° 21 - PAGE 91

On constate que plus « RC » est grand par rapport à nota-tions symboliques ou imaginaires.

L'impédance d' enrée du quadripôle est donnée par :

PAGE 92 - ELECTRONIQUE APPLICATIONS N• 21

TABLEAU 6

Le coefficient de transfert du circuit est donné par :

{3- _ Vo _

-Vj

RC w RC w-j

et en module par : inférieure de coupure vaut :

fc

=

_{2 71" RC}

Notons qu'à cette fréquence, le déphasage vaut 45°.

Les figures 7 et 8 représentent en coordonnées semi -logarithmiques, le coefficient de transfert et le déphasage de la sortie par rapport à l'entrée en fonction de la

résultànt d'une transformation è:les relations trouvées pré-cédemment: recher-che du signal de sortie par la r:néthode des laplaciens.

Signal

à

temps

ELECTRONIQUE APPLICATIONS N• 21 - PAGE 93

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