Le changement d’échelle pour un mélangeur à tambour horizontal

Ding et al. (2001) ont établi les équations gouvernant le mouvement des particules à l’intérieur d’un mélangeur à tambour horizontal, pour un système à écoulement libre. Ils en ont déduit des relations de changement d’échelle basées sur le nombre de Froude, un pseudo-Reynolds et un pseudo-Euler, des ratio géométriques, des propriétés propres

Alexander et al. (2002) suggèrent de déterminer des relations de changement d’échelle en étudiant la vitesse des particules de la couche de surface dans les différentes tailles de mélangeurs. Ils se basent ainsi une similitude cinématique en stipulant que la qualité de l’état de mélange est fonction du régime d’écoulement au sein du mélangeur. Leurs travaux mettent en évidence que la vitesse des particules dépend très peu du nombre de Froude et de la vitesse tangentielle, contrairement à ce qui est généralement réalisé de manière industrielle pour extrapoler ce type de mélangeur. Ils proposent donc l’utilisation de différents rapports permettant d’accorder la forme et l’amplitude des profils de vitesse des particules. La figure 1.43 présente les profils de vitesse obtenus pour différentes tailles et vitesse de rotation des mélangeurs. Cependant ce travail est seulement relié au régime d’écoulement au sein du mélangeur et non à la qualité du produit obtenu en sortie.

1.6.4 L’apport des simulations par la méthode des éléments dis-

crets

Si les équations décrivant le système sont trop compliquées pour être résolues de manière analytique, les simulations numériques permettent aujourd’hui d’en approcher le résultat. L’augmentation de la puissance des ordinateurs permet actuellement de traiter numériquement un grand nombre de problèmes de changement d’échelle. L’utilisation des méthodes discrètes (DEM) ouvre aussi la porte à l’utilisation de ces simulations pour les systèmes particulaires.

Dès 2006, Laurent (2006) note que les progrès récents concernant les logiciels de si- mulation DEM permettent d’accéder à la "cartographie" des forces interparticulaires, aux taux de collision entre les particules, aux forces de cisaillement interne et donnent des informations sur les mécanismes à l’intérieur du lit de particule. Il ajoute également que

Figure 1.43 – Profils de vitesse obtenus dans des mélangeurs à tambour rotatif de rayon 6,3, 9,5, 14,5 et 24,8 cm pour différentes vitesses de rotation d’après Alexander et al. (2002).

les travaux futurs dans ce domaine devraient porter sur le développement de relations permettant les changements d’échelle.

Cleary and Sinnott (2008) ont testé l’utilisation du nombre de Froude comme critère pour extrapoler la taille d’un mélangeur double cône en V en considérant 5 échelles dif- férentes. La cuve, pour la plus grande taille de mélangeur considérée, avait un volume de 186 l. Le nombre de particules simulé était de l’ordre de 5.106_{, la taille des particules}

étant comprise entre 2,50 et 3 mm, avec une taille moyenne de 2,75 mm. Les coefficients de restitution lors des collisions particule/particule et particule/paroi ont été respectivement fixés à 0,7 et 0,85 et ceux de friction à 0,5 et 0,4.

Ils ont ainsi suivi l’évolution d’un indice de mélange, ("rate of mixing"), pour chacunes des tailles de mélangeur en fonction du temps. La figure 1.44 présente la répartition des composants obtenue pour des différents temps de mélange pour la simulation d’un mé- langeur à l’échelle du laboratoire.

La figure 1.45 résume les résultats obtenus par ces auteurs. La troisième colonne du tableau présente le rapport entre l’indice à l’échelle considéré et celui à l’échelle laboratoire.

Figure 1.44 – Répartition des composants pour différents temps de mélange au sein d’un mélangeur en V, à l’échelle du laboratoire d’après Cleary and Sinnott (2008).

On remarque qu’une réduction de plus de 50 % de l’indice de mélange a été observée lors du passage du mélangeur de 1,86 l à un mélangeur de 58,8 l. Ainsi à nombre de Froude constant et pour un temps de mélange identique, la qualité de mélange obtenu est supérieure dans le mélangeur dont la taille est plus importante.

Nakamura et al. (2009) ont étudié les effets du changement d’échelle sur des mélan- geurs granulateurs à haut-cisaillement de différentes tailles, similaires géométriquement. La taille des différentes cuves variait de 1 l à 16 l et le nombre de particules considérées de 8000 à 130 000. Leurs travaux ont permis de valider la relation empirique proposée par Knight et al. (2001) pour les mélangeurs à haut cisaillement :

Td = Td0+ k ∗ F r10.5 (1.31)

où Tdet F r1 représente respectivement le couple adimensionnel et le nombre de Froude

Figure 1.45 – Variation de l’indice de mélange dans les différentes tailles de cuve après 3 tours de mélangeur (en V) d’après Cleary and Sinnott (2008).

Td= T M ∗ g ∗ r1 (1.32) F r1 = r1∗ ω12 g (1.33) avec • T : couple de l’agitateur [N.m] • M : masse totale des particules [Kg] • r1 : rayon de la pale d’agitation [m]

• ω1 : vitesse angulaire de la pale [rad.s−1]

Ils ont également étudié les similitudes cinématiques (par le suivi des vitesses des parti- cules) et dynamiques (basées sur l’énergie de collision entre les particules). Ils ont constaté qu’en travaillant à puissance d’agitation constante, les similitudes dynamiques étaient bien respectées, contrairement aux similitudes cinématiques. Ils concluent donc leurs travaux en suggérant de s’appuyer sur des similitudes dynamiques pour l’extrapolation des mé- langeurs à haut-cisaillement.

Cependant, l’augmentation de la taille d’un mélangeur signifie également l’augmen- tation du nombre total de particules au sein de celui-ci. En 2010, Bridgwater (2010) remarquait que les simulations DEM permettait de suivre le déplacement tridimension- nel en fonction du temps de chaque particule pour un ensemble de 106 _{particules. Si l’on}

Figure 1.46 – Évolution de l’énergie moyenne de collision des particules en fonction de la puissance d’agitation normalisée, pour différentes tailles de mélangeur confirmant l’existence de similitudes dynamiques d’après Nakamura et al. (2009).

de particule au sein de la cuve est de l’ordre de 109_{. Si la taille des particules est réduite}

à 10 µm, ce nombre augmente jusqu’à 1015_{. Il met alors en évidence qu’il est essentiel de}

pouvoir s’appuyer sur des règles d’écoulement de ces particules afin de réduire de manière significative les besoins en puissance de calcul.