Échelle de ségrégation

• Description qualitative :

De façon imagée, l’échelle de ségrégation, peut être vue comme la taille minimale des régions non ségrégées. La figure 1.12 présente de façon schématique 4 états de mélange, ayant tous la même intensité de ségrégation, mais entre chaque état de mélange l’échelle de ségrégation est diminuée de moitié. Pour le mélange le plus à gauche, elle est égale à la totalité du mélange et pour celui le plus à droite à 1/32ième _{de celui-ci. Notons d’ailleurs} que la figure 1.10 était conçue à échelle de ségrégation constante.

Du fait du manque de régularité géométrique au sein d’un mélange et afin de quantifier ce concept par une méthode statistique, Danckwerts suggère l’utilisation de la fonction d’autocorrélation.

• La fonction d’autocorrélation :

Considérons un mélange déversé sur une bande en sortie de mélangeur. Le mélange est découpé en Z échantillons, suivant l’axe z (voir figure 1.13). La fonction d’autocorrélation R(r), peut être déterminée de la façon suivante :

'LPLQXWLRQGHO·pFKHOOHGHVpJUpJDWLRQ

Figure 1.12 – Diminution de l’échelle de ségrégation à intensité de ségrégation constante (Danckwerts, 1952). R(r) = qZ−r i=1 (xi− µ)(xi+r− µ) qZ i=1(xi− µ)2 (1.4)

où r, nombre entier, représente l’intervalle entre deux échantillons

Nous pouvons remarquer que, quelles que soient les concentrations des échantillons

R(0) = 1.

Soit r0, tel que R(r0) = 0. r0 est appelée longueur caractéristique car elle donne

une estimation du nombre d’échantillons successifs liés entre eux (Chatfield, 2009). Sa détermination passe par le tracé d’un autocorrélogramme représentant la fonction d’au- tocorrélation (cf figure 1.14).

La fonction d’autocorrélation fluctue aux alentours de 0. On considère qu’en dessous de ε, R(r) peut être considérée comme nulle et que les fluctuations ne sont plus repré- sentatives d’une corrélation entre les échantillons. ε peut être déterminé par un raisonne- ment statistique et dépend du niveau de confiance souhaitée. Ainsi pour un intervalle de confiance à 95 %, ε = ± 1

√

Z.

• Vers une approche à 2 dimensions de l’échelle de ségregation

La définition proposée par Danckwerts est basée sur le modèle de l’autocorrélation temporelle. Il n’existe donc qu’une seule direction d’autocorrélation puisque seul le passé ou le présent peuvent influencer le futur.

Z échantillons

Figure 1.13 – Exemple de découpage en Z échantillons pour le calcul de la fonction d’autocorrélation. r0: longueur caractéristique Échelle de ségrégation 1 0

R(r)

r

Schofield (1970) extrapola la théorie de Danckwerts à 2 et 3 dimensions. Les composi- tions de chaque échantillon sont stockées au sein d’un tableau à 2 ou 3 dimensions selon le découpage considéré (voir figure 1.15).

Chaque valeur du tableau est considérée tour à tour comme "valeur primaire". La composition de l’échantillon correspondant est noté an. Les autres valeurs, à la distance r, sont considérées secondaires (les compositions correspondantes sont notées ai(n+r)). Le produit (an _{− a) ∗ (ai(n+r) − a) est stocké pour chaque paire (a}n, ai(n+r)). La fonction d’autocorrélation est alors calculée selon :

R(r) = (an− a) ∗ (an+r − a)

(an_{− a)}2 (1.5)

avec

• an : composition de l’échantillon n • r distance entre deux échantillons

• a, moyenne des compositions des échantillons

Figure 1.15 – Représentation d’un mélange découpé en échantillons selon 3 dimensions d’après Schofield (1970).

À partir des années 1970, une méthodologie pour l’étude d’autocorrélation spatiale ou spatio-temporelle a vu le jour. Elle a trouvé son application pour des corrélations écono- miques, géographiques ou épidémiologiques (Cliff and Ord, 1981). Cette théorie passe par la construction préliminaire d’une matrice de voisinage, Wr, qui indique à la ligne i et à la colonne j si l’échantillon i est voisin (1) ou non (0) de l’échantillon j à la distance r.

matrice de voisinage associée à la distance r=1. Les coefficients d’autocorrélation peuvent alors être calculés selon le modèle de Moran ou de Geary.

1

(1, 5)

(5,1) 1

W

=W

=

Figure 1.16 – Représentation d’un mélange découpé en 12 échantillons (a) et matrice de voisinage correspondante à la distance r=1(b).

Modèle de Moran :

L’indice de Moran est calculé grâce à l’équation suivante :

I(r) = n ∗ ΣiΣjwij(xi− x) ∗ (xj − x) S0∗ Σi(xi− x)2

(1.6) avec :

2. il est possible de pondérer la matrice en fonction de la taille des échantillons si ceux-ci n’ont pas une taille égale (on parle alors de matrice de poids)

• wij : éléments de la matrice de voisinage Wr à la distance r, • xi : composition de l’échantillon i en constituant clé,

• x moyenne de la composition des n échantillons en constituant clé, • S0 = ΣiΣjwij.

L’indice de Moran varie entre −1 et 1. Quand deux échantillons proches ont tous les deux des concentrations éloignées de la moyenne, le produit croisé sera important. Au contraire un produit faible traduira le fait que les échantillons ont des concentrations très proches de la moyenne. En d’autres termes, un indice I important indique une forte autocorréla- tion spatiale.

Modèle de Geary :

Le coefficient de Geary est basé, non pas sur un produit croisé, mais sur la différence directe entre les compositions des échantillons :

c(r) = (n − 1

2 ∗ S0) ∗

ΣiΣjwij(xi− xj)2

Σi(xi_{− x)}2 (1.7)

L’indice de Moran est un indicateur plus global, alors que le coefficient de Geary est plus sensible pour les différences de composition dans des voisinages proches (Dale et al., 2002).

Le coefficient de Geary varie entre 0 et 2. La valeur théorique de 1 indique que les échantillons sont spatialement non corrélés entre eux. Une valeur plus petite que 1 indique une autocorrélation positive, et une valeur plus grande que 1 exprimera une autocorréla- tion négative ("les échantillons se repoussent").

Des échantillons séparés d’une distance r, ayant systématiquement des composi- tions proches, seront responsable d’une autocorrélation positive à la distance r. L’autocorrélation positive traduit donc un lien direct entre les compositions des échantillons.

À l’inverse, des échantillons ayant systématiquement des compositions éloignées engendreront une autocorrélation négative.

L’absence d’autocorrélation traduira une dispersion aléatoire des échantillons

plusieurs échelles d’observation (Hogg, 2003)). Le développement de nouvelles techniques d’analyse en-ligne (analyse d’image, spectroscopie PIR ou Raman...) rendent aujourd’hui possible l’analyse d’un grand nombre d’échantillons dans des temps très courts. L’échelle de ségrégation pourra donc devenir un outil intéressant pour quantifier la structure et l’homogénéité d’un mélange de poudre dans les années à venir.