1.2 La convection, la rotation et l’activité magnétique
2.1.2 Cas magnétohydrodnamique
Si l’on considère à présent ce qu’il se passe dans les étoiles par exemple, le fluide considéré n’est plus neutre mais partiellement ou complètement ionisé. Il peut donc transporter des courants électriques qui vont produire à terme, du champ magnétique. La force de Lorentz exercée par le champ magné- tique sur le gaz ionisé (ou plasma) ne peut alors plus être négligée dans l’équation de Navier-Stokes, ni l’effet Joule dans l’équation pour l’énergie. La magnétohydrodynamique (ou MHD) est alors l’étude de l’interaction entre le champ magnétique et le plasma traité comme un fluide. Les équations de Maxwell s’ajoutent donc à l’ensemble d’équations hydrodynamiques rappelées ci-dessus. Toutefois, nous devons nous assurer que nous pouvons toujours rester dans l’approximation fluide. Ceci est possible si les parti- cules du plasma totalement ionisé sont en interactions, à longue portée limitées à la sphère de Debye dont le rayon est la distance au-delà de laquelle il y a écrantage des charges par les charges opposées. D’autre part, pour pouvoir assurer un comportement global, il faut que la séparation de charges ne soit pas trop grande, ce qui implique que les phénomènes étudiés doivent avoir des échelles temporelles et spatiales respectivement plus longues que l’inverse de la fréquence plasma ωp =(4πne2/m)1/2(où e est la charge élémentaire, n la densité électronique et m la masse d’un électron) et plus grande que la longueur de Debye λD=(kBT /4πne2)1/2(où kBest la constante de Boltzman et T la température).
S’ajoute alors aux 3 équations précédentes de l’hydrodynamique une équation régissant l’évolution du champ magnétique. Cette équation est appelée équation d’induction et elle provient directement des équations de Maxwell comme nous allons le voir. Dans un plasma magnétisé, rappelons que le champ électrique du repère en mouvement et la loi d’Ohm s’écrivent respectivement :
E′=E + u c × B
j′=σE′ avec c la vitesse de la lumière, σ la conductivité électrique.
La loi d’Ohm pour un plasma magnétisé non-relativiste en mouvement à la vitesse u est la relation entre le courant et le champ electromagnétique est donc la suivante
j = σE +u c × B
2.1 Equations de la dynamique des fluides et des plasmas 25
En utilisant maintenant l’équation de Maxwell-Ampère en régime non-relativiste (le courant de dé- placement est négligé) :
∇ × B = 4πc j et l’équation de Maxwell-Faraday : 1 c ∂B ∂t =−∇ × E
et la loi d’Ohm que nous avons rappelé ci-dessus, on obtient l’équation d’induction du champ magnétique qui s’exprime de la manière suivante :
∂B
∂t =∇ × (u × B) − ∇ × (ηm∇ × B) (2.4)
où ηmest la diffusivité magnétique et est reliée à la conductivité σ par la relation σ = c2/(4πηm). De la même manière que pour l’équation de Navier-Stokes, si l’on dédimensionne cette équation et que l’on considère une diffusivité constante, on trouve une équation du type :
∂B
∂t =∇ × (u × B) + 1 Rm
∆B
Un nouveau nombre sans dimension apparaît donc, le nombre de Reynolds magnétique Rm = U L/ηm, qui représente le rapport entre les forces d’induction et la dissipation ohmique. Nous reviendrons sur ce paramètre plus en détails dans la suite de ce chapitre car il est d’une importance majeure dans l’étude de l’effet dynamo. Notons tout de même que dans le cas de l’absence de vitesse du fluide, l’équation ci-dessus se ramène à une équation de diffusion donc comme nous le verrons en détails par la suite, ce sont les mouvements du fluide qui fournissent une source de champ magnétique. A l’inverse, si l’on considère la limite Rm >> 1 (diffusivité très petite ou nulle comme en MHD idéale par exemple), il ne reste que le premier terme du membre de droite dans l’équation ci-dessus et le théorème d’Alfvén s’applique : "Dans un plasma infiniment conducteur, l’ensemble des particules de fluide, situées sur une même ligne de champ magnétique à l’instant t sont encore sur une même ligne de champ à tout instant ultérieur." Le flux magnétique se trouve donc gelé dans la matière dans ce cas là et des phénomènes tels que la reconnexion magnétique par exemple ne sont pas possibles.
L’ajout de champ magnétique dans le système a bien sur des effets sur l’évolution de la vitesse du fluide et sur l’énergie du système. La force de Lorentz va maintenant intervenir dans l’équation d’évo- lution du champ de vitesse, c’est un terme non-linéaire qui va permettre entre autres la saturation de l’énergie magnétique en cas de dynamo (voir sections suivantes). Le chauffage par effet Joule doit être également pris en compte dans l’équation d’évolution de l’énergie puisque c’est une nouvelle source de chaleur. Ainsi, les équations complètes de la MHD sont les suivantes :
∂ρ ∂t +∇ · (ρu) = 0 ρDu Dt =−∇P + ρg − 2ρΩ0× u + 1 4π(∇ × B) × B − ∇ · D ρTDS Dt =∇ · (κρcp∇T ) + 2ρν[ei jei j− 1/3(∇ · u) 2] +4πηm c2 j 2 ∂B ∂t =∇ × (u × B) − ∇ × (ηm∇ × B) ∇ · B = 0
L’ajout de la contrainte supplémentaire sur la divergence du champ magnétique est nécessaire pour compléter les équations, nous verrons qu’il est alors pratique de définir le champ magnétique comme le
26 Magnétohydrodynamique et processus dynamo
rotationnel d’un potentiel vecteur, ceci étant toujours possible lorsque l’on se place dans des domaines aussi réguliers que ceux que l’on considère. Pour que les système d’équations soit complet, il est bien sur nécessaire d’ajouter des conditions aux limites et des conditions initiales. L’imposition des conditions aux limites est parfois délicate, nous reviendrons sur cet aspect dans le chapitre 8. Dans nos simulations, la résolution de ces équations est faite numériquement en se plaçant dans une certaine approximation dite "anélastique", le lecteur est invité à se reporter à l’annexe B pour avoir plus d’informations sur la méthode numérique utilisée.