Cas d’un m´elange

Dans notre ´etude, la fonction G `a int´egrer d´epend des coefficients d’absorption d’un m´elange gazeux (H2O-CO2-CO) anisotherme et h´et´erog`ene :

G = 1 ∆ν Z ∆νG(κ co2 ν , κ h2o ν , κ co ν )dν (4.39)

Le mod`ele en k-distribution propose de r´earranger la solution en fonction des k qui est la variable repr´esentant les valeurs que prend κν (avec, κν = κcoν 2+ κh

2o ν + κcoν ) dans la bande ´etroite : G = Z ∞ 0 f (k)G(k)dk (4.40)

La probabilit´e que le coefficient d’absorption du m´elange, κν, prenne la valeur k `a dk

pr`es est not´ee f (k)dk, avec k la variable relative au m´elange. La fonction de distribution du coefficient d’absorption du m´elange f (k) n’est pas ais´ee `a calculer. Soit cette fonction est calcul´ee et tabul´ee pour chaque m´elange de gaz `a partir d’un spectre synth´etique du m´elange, soit elle est obtenue grˆace aux fonctions de distribution relatives `a chacun des gaz composant le m´elange. Si les trois spectres des gaz (H2O-CO2-CO) sont d´ecorr´el´es,

leurs distributions f1(kh2o), f2(kco2) et f3(kco) peuvent ˆetre suppos´ees ind´ependantes. Dans

le cas du m´elange, l’´equation 4.39 devient alors :

G(ℓ) =

Z Z Z

= Z 1 0 Z 1 0 Z 1 0 G[kh2o(gh2o), kco2(gco2), kco(gco)]dgh2odgco2dgco (4.41) = Nq X i=1 Nq X j=1 Nq X k=1 ωiωjωkG[kco2(gi), kh2o(gj), kco(gk)] (4.42)

La m´ethode CK demande donc la sommation de NNg

q valeurs de G pseudo-monochromatiques

dans une bande ´etroite (Ng est le nombre de gaz pr´esents dans le m´elange). Les abscisses

pseudo-monochromatiques gi, gj, gksont associ´ees, respectivement, `a des coefficients d’ab-

sorption kco2

(gi), kh2o(gj), kco(gk) pseudo-monochromatiques. De cette mani`ere, le calcul

de G dans une bande ´etroite demande la connaissance des k-distributions de chaque gaz aux temp´eratures et concentrations pr´esentes dans chaque couche homog`ene isotherme.

Le principal inconv´enient li´e `a la m´ethode CK est qu’elle n´ecessite un grand nombre de r´esolutions pseudo-monochromatiques de l’ETR, surtout si le m´elange gazeux est compos´e de plusieurs gaz r´eels ayant leurs spectres qui se chevauchent.

Cependant, dans le cas particulier o`u l’on utilise une m´ethode bas´ee sur une description des propri´et´es optiques des gaz par des transmittivit´es moyennes alors le temps de calcul devient convenable dans le cas d’un m´elange. En effet, les transmittivit´es moyennes de chaque gaz peuvent ˆetre multipli´ees entre-elles pour donner directement la transmittivit´e moyenne du m´elange (Eq.4.45). Cette m´ethode est utilisable avec des m´ethodes de trans- fert r´esolvant l’ETR, sans diffusion, sous sa forme int´egrale, comme le Lancer de Rayon [3] (Ray-Tracing, en anglais) ou la m´ethode des directions discr`etes [58, 59]. Si la diffusion est prise en compte, le seul mod`ele de transfert utilisable, sans grosse approximation et avec une description des propri´et´es optiques des gaz en terme de transmittivit´es, est le mod`ele statistique de Monte Carlo [4].

Rivi`ere et al. [60] ont utilis´e une m´ethode de Lancer de Rayon bas´ee sur une formulation en transmittivit´es de colonnes avec les mod`eles CK et CKFG (Correlated-K Fictitious Gas, voir paragraphe 4.4). Pour un m´elange de gaz non diffusant et dans le cas du mod`ele CK, le principe de la m´ethode consiste `a calculer la luminance sortante d’une ligne de vis´ee discr´etis´ee en Nc colonnes homog`enes et isothermes, suivant l’´equation :

L(ℓ) = Nc X n=1 Lo_(T n)  τ (n, Nc)− τ(n − 1, Nc)  (4.43)

Le nombre d’´equation de transfert est alors limit´e `a une seule ´equation par bande ´etroite quelle que soit le nombre de gaz. En effet, cette ´equation (Eq. 4.43) utilise des trans- mittivit´es de colonnes qui peuvent ˆetre calcul´ees comme le produit des transmittivit´es de chacune des esp`eces (en accord avec la propri´et´e de multiplication des transmittivit´es moyennes d´ecorr´el´ees) : τ (n, Nc) = 1 ∆ν Z ∆νexp  − Nc X n′_=n (κco2 ν,n′ + κh 2o ν,n′ + κco_ν,n′)e_n′  dν (4.44) ≈ Y j τj(n, Nc) (4.45)

4.3. Mod`ele de bandes ´etroites en k-distributions corr´el´es (CK)

Avec, j d´esignant les esp`eces gazeuses H2O, CO2 et CO. Enfin, les transmittivit´es de

colonnes de chaque esp`ece sont elles-mˆemes calcul´ees par la m´ethode CK ou CKFG :

τj(n, Nc) = Nq X i=1 ωiexp  − Nc X n′_=n kj(gi)en′  (4.46)

De cette mani`ere, la m´ethode des k-distributions est utilis´ee pour le calcul de la transmit- tivit´e de chaque gaz correspondant `a une colonne h´et´erog`ene et anisotherme (de n `a Nc

par exemple). Cette formulation en transmittivit´e est tr`es efficace num´eriquement puis- qu’elle ne requiert que (Ng · Nq) sommations (Eq. 4.46). Cependant elle doit ˆetre utilis´ee

par des m´ethodes de transferts formulant l’ETR sous sa forme int´egrale.

Un autre traitement du chevauchement de raie repose sur la connaissance d’une seule fonction cumul´ee, celle du m´elange de gaz r´eels. La cumul´ee g(k) peut ˆetre calcul´ee pour un m´elange de gaz et le r´esultat est trait´e par le mod`ele CK comme un milieu poss´edant un seul gaz complexe. Par exemple, Goody et al. [44], Modest et Riazzi [61], Gerstell [62] Solovjov et Webb [63] utilisent les cumul´ees de chaque gaz r´eel pour obtenir la cumul´ee du m´elange. Fu et Liou [64] calculent, dans un cas atmosph´erique, la fonction cumul´ee d’un m´elange de gaz `a partir du spectre raie par raie form´e par ce m´elange. Cette technique demande le calcul de la cumul´ee pour toute la gamme des rapports de m´elange de chaque gaz. Ce calcul pr´ealable est tr`es coˆuteux en temps CPU puisqu’il faut le r´ep´eter pour diff´erentes temp´eratures et pressions. Par contre, cet effort num´erique permet d’atteindre une meilleure pr´ecision sur la cumul´ee du m´elange. En revanche, lors du calcul de transfert l’hypoth`ese de corr´elation des spectres et la variation du rapport de m´elange de chaque gaz r´eels peuvent entraˆıner des erreurs. Mais, Fu et Liou [64] qui ont compar´e la technique classique de la m´ethode CK qui consiste `a tenir compte de chaque gaz r´eels avec celle-ci, notent que la pr´ecision des deux m´ethodes est identique.

L’utilisation d’une seule cumul´ee pour le m´elange permet une diminution du nombre de r´esolutions pseudo-spectrales. Avec cette m´ethode, le mod`ele CK demande la r´esolution de seulement Nq fois l’ETR :

G =

Nq

X

i=1

ωiG[k(gi)] (4.47)

Cependant, le mod`ele CK pour un gaz de m´elange suppose que les spectres de chaque couche isotherme et homog`ene ont les mˆemes allures (spectres corr´el´es). Mais, comme le rapport de m´elange (xg

x_g′) est variable dans chaque couche il est pr´evisible que l’hypoth`ese

de spectres corr´el´es, utilis´ee par la m´ethode des k-distribution, entraˆıne des erreurs. En effet, cette corr´elation suppose la mˆeme allure du spectre dans chaque couche avec des variations en intensit´e. Etant donn´e que le rapport de m´elange de chaque gaz n’est pas constant dans chaque couche et que les raies d’un gaz r´eel sont proportionnelles `a la concentration de ce gaz, l’allure du spectre du m´elange change dans toutes les couches ayant des rapports de m´elange diff´erents.