Cas des états très lâches sous contraintes isotropes ou anisotropes :

Nous avons vu que l’espace des phases qui permettait de décrire la mécanique d’un milieu granulaire était l’espace (v, q, p’). De plus le volume spécifique v=1+e (où e est l’indice des vides) d’un empilement stable est toujours inférieur à une certaine valeur qui dépend de manière logarithmique de la pression moyenne p’= (σ’₁+ σ’₂+ σ’₃)/3. Pour un milieu granulaire non cohésif, on trouve de plus que c’est lorsque la contrainte est isotrope que la densité minimale réalisable est la plus faible. Cette limite est appelée sable normalement consolidé sous chargement isotrope. Le lieu de ces points v_max(p’) est une droite de pente -λ dans le plan {v, ln(p’)}. Cependant, comme la densité d’un tas formé de grains en contact ne peut tendre vers 0 aux très faibles pressions, ceci impose que le volume spécifique v_max(p’) tend vers une constante à faible pression.

4.1.1. Etats normalement consolidés sous chargement anisotrope :

On peut de même tracer le lieu des volumes spécifiques maximum réalisables sous chargement anisotrope. On trouve de la même façon une droite parallèle à la précédente, placée au dessous d’elle à une distance qui croit avec l’amplitude relative η=q/p’. Une de ces droites, celle pour laquelle η=M’, est le lieu des points critiques. On trouve que ces droites ont pour équation (Roscoe et al., 1958):

(4.1a) v_max(η)= v_nco(p_o)- λ ln(p’/p’_o) - λd ln(1+η²/M’²)

λ varie d’un sable à un autre et dépend de la granulométrie. v_nco et p’_o sont deux constantes, caractéristiques du sable considéré. Cette pente est caractérisée par la valeur des volumes spécifiques minimum et maximum. Au contraire, λd est toujours de l’ordre de 0,14 quel que soit le sable.

4.1.2. Etats critiques :

Pour η=q/p’=M’, on a la droite des états critiques d’équation :

(4.1b) η=q/p’=M’ &

(4.1c) v_c= v_nco(p_o)- λ ln(p’/p’_o) - λd ln(2) = v_c(p’_o)- λ ln(p’/p’_o) C’est la même équation que l’Eq. (3.11)

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4.1.3. Courbe de déchargement :

Lorsque l’empilement est situé sur la droite des états normalement consolidés isotrope, il correspond donc bien à l’empilement le plus lâche réalisable. si on part d’un de ces états et qu’on diminue la pression p’, le milieu granulaire se dilate légèrement ; si maintenant on comprime une autre fois le matériau, le volume spécifique diminue et suit pratiquement le trajet précédent en sens inverse jusqu’à ce qu’il atteigne le volume spécifique de l’état normalement consolidé. Cette déformation peut donc être considérée comme élastique ou réversible, puisque le matériau récupère son volume spécifique initial. Ce trajet fait intervenir l’élasticité de la structure granulaire dont le module d’Young est très élevé et le trajet considéré apparaît donc comme un segment de droite presque horizontale dans le diagramme précédent {v, ln(p’)}.

4.1.4. Réponse élastique ou pseudo élastique:

On constate que tout essai triaxial sur un sable isotrope part de façon tangente à cette courbe de déchargement dans le plan {v, ln(p’)} ou (v, p’), quelque soit le chemin de chargement.

Interprétation : Supposons le matériau isotrope et modélisons son comportement par

sa réponse incrémentale liant δσ et δε. Si on appelle E et ν le pseudo module d’Young et le pseudo coefficient de Poisson de la structure granulaire, la modélisation incrémentale est alors analogue à celle de l’élasticité isotrope, ce qui donne (Landau et Lifchitz, 1990):

(4.2) εv= ε11 + ε22 + ε33 = [(1-2ν)/E]( σ11 + σ22 + σ33)= (1-2ν)p’/E

L’Eq. (4.2) montre que la variation de volume est proportionnelle à la pression moyenne, et seulement à cette pression moyenne, avec un coefficient de proportionnalité (1-2ν)/E . Ceci implique donc que tout essai triaxial partant d’un empilement isotrope, mais suivant n’importe quel chemin de chargement, doit débuter par un segment de courbe tangent à la courbe de déchargement isotrope.

Dans la pratique, le coefficient de Poisson ν est une constante qui vaut entre 0,2 et 0,3 , indépendante de la pression. On trouve que le module d’Young E dépend de la pression de confinement exercée sur le sable.

(4.3.a) E

≈

On considère en général que cette dépendance «anormale» du module d’Young en fonction de la pression est liée à la forme tridimensionnel des grains qui forment le milieu. Dans ce cas en effet, la surface de contact entre les grains varie en fonction de la force de contact F et/ou de l’écrasement h. Si l’on fait l’hypothèse de contacts élastiques, on trouve comme Hertz que F varie comme h^3/2 (Landau & Lifschitz 1990, pp.45-50). Après moyennage sur l’ensemble des grains, on trouve que la pression moyenne p’ doit varier comme ε3/2. Ceci conduit à une dépendance du module d’Young avec p’ :

(4.3.b) E/E_o=(p’/p’_o)^1/3

On peut expliquer de différentes manière la différence entre le modèle élastique et la loi expérimentale. Tout d’abord, on peut considérer que la densité ρ du nombre de contacts dépend elle aussi de façon non linéaire de la pression p’ appliquée à l’ossature granulaire. Ceci modifie la relation entre F et p’, et donc celle entre (F,h) et (E,p’). D’autre part, si l’on avait considéré des grains de forme cylindrique, la loi de puissance trouvée aurait été: E/E_o=(p’/p’_o)^1/2 . Ainsi, on peut expliquer la différence en considérant que les surfaces réelles en contact ont une forme très allongée ; on pourrait aussi compliquer en considérant que l’ellipticité de ces contacts dépend de la pression p’. Par ailleurs, on pourrait supposer que chaque grain est recouvert d’une pellicule élastique ; ceci modifierait aussi la loi F vs. h. Enfin, il n’est pas sur que le calcul correcte du module d’Young consiste en une moyenne simple, comme nous l’avons fait. On sait par exemple que cette moyenne donne de bons résultats pour un polycristal pour lequel chaque cristallite a une réponse relativement isotrope, mais que ce calcul est faux dans des cas plus anisotrope (Landau & &Lifschitz 1990, pp.58-59). Nous cesserons là cette discussion, sachant qu’il existe probablement bien d’autres modèles théoriques qui pourraient expliquer la dépendance de l’Eq (4.3.a).

Remarque importante : L’intégration de l’Eq. (4.2) en tenant compte de l’Eq. (4.3)

donne ln(v/v_o)=2(1-2ν)(p’_o)^1/2 (p’_o-p’)^1/2 . Cette variation n’est donc pas linéaire ; elle ne donne pas le comportement expérimental dans le plan {v, ln(p’)}. Cependant, l’amplitude des variations de v est très faible lors de la décompression, beaucoup plus faible que la plage de densité réalisable. Ainsi, on peut considérer que la trajectoire des points est presque une droite horizontale dans cette gamme de volume. En fait, le comportement linéaire de v en fonction de ln(p’) à la décompression n’a été vraiment étudié que dans le cas des argiles, il y est beaucoup plus visible, sa pente λs est comparable à la pente λ des états critiques et à celle des états normalement consolidés isotropes. Et c’est par référence à ce comportement que l’on garde la même présentation en mécanique des sols.

La Fig. 4.1 récapitule les différents comportements du milieu granulaire à déviateurs relatifs constants. La Fig. 4.1.a décrit la réponse élastique. Nous allons maintenant expliciter la position relative de ces états dans le plan {v,ln(p’)} grâce à différents exemples de compression et à la Fig.4.1.b.

4.1.5. Cisaillement drainé:

Considérons un état normalement consolidé isotrope ; le lieu de ces états est donné par l’Eq. (4.1a) avec η=0 ; c’est la droite NC sur la Fig. 4.1.b d’équation : v_nc= v_nco(p_o)- λ ln(p’/p’_o). Appliquons à un de ces états normalement consolidés isotropes une compression drainée à σ’₂=σ’₃=c^ste . L’état initial est caractérisé par la pression p’_i=σ’₃ de compression initiale. Il subit donc une surcharge définie par le déviateur de contrainte q=σ1-σ3=σ’₁-σ’₃. Dans ces conditions, la densité du milieu évolue conformément à l’Eq . (4.1.a) ; elle finit par se stabiliser lorsque le milieu atteint l’état critique, c’est-à-dire lorsque η=M’, ou ce qui est équivalent

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q=Mσ’₃=Mp’_i . La pression finale p’_f est alors donnée par p’_f=q/3+σ’₃= q/3+p’_i = p’_f=(1+M/3)p’_i; la densité finale est donnée par l’Eq. (4.1.a) avec η=M’ et p’=p’_f ; soit : v_f= v_nco(p_o)- λ ln([M/3+1]p’_i /p’_o) - λd ln(2).

Cet état final est un point du lieu des états critiques ; dans le plan {v, ln(p’)}, ce lieu est une droite C parallèle à la droite (NC) et en dessous d’elle.

Si l’on part d’un état normalement consolidé isotrope NC défini par son volume spécifique v_nc et sa pression p’_i, qu’on travaille en drainé et qu’on augmente le déviateur q, le volume spécifique v décroît et suit une trajectoire dans le plan (v, ln(p’)) décrite par l’équation: v_η=v_nc - λd ln[1+(η/M)²] avec η=q/p’ et p’=p’_i+q/3 ; c’est la formule de Roscoe.

C’ D A D’ C B E v ln(p’) C NC v ln(p’)

Figure 4.1: 1.a: état normalement consolidé: Par référence au comportement de l’argile, la densité

minimale des empilements isotropes de sable dépend de la pression de confinement; c’est la droite BCDE dans le plan v-ln(p’). Elle est décrite par l’équation : vnc = vnco + λ ln(p’/p’o). En

fait le volume spécifique d’un sable de grains donnés ne peut pas excédé une certaine valeur vmax, ce qui impose l’existence de la droite horizontale AB pour finir le diagramme des états les plus lâches. De plus, le volume spécifique ne peut être inférieur à une certaine valeur vmin; vmin

est supérieur à 1 par définition, car c’est le volume spécifique du solide seul par définition; il ne peut . Ainsi, aucun point au dessus de ABCDE et au dessous de v= vmin correspond à un état

physique réalisable. On a reporté la droite BCDE sur la Fig. 4.1.b où elle est marquée NC (normalement consolidé).

Quoique l’expérience soit difficile à réaliser, en principe le parcours de la droite BDE ne peut avoir lieu que de gauche à droite, c’est-à-dire en augmentant la pression. C’est un parcours irréversible. Se pose alors le problème de la décompression.

Décompression: Lorsqu’on part d’un état normalement consolidé isotrope (vnc1, pression p’1), (situé

donc sur la droite BDE, par exemple en D ou en B) et qu’on diminue la pression p’ (sans

cisailler), le volume spécifique augmente faiblement dans le plan (v,ln(p’)) et l’on peut décrire

son évolution par l’équation v = vnc1 - λ1 ln(p’/p’1) avec λ1 très petit; c’est la trajectoire DC ou BA. Cette trajectoire est presque réversible quand on comprime à nouveau.

Figure 4.1.b : Sous chargement anisotrope η=q/p=cste, on constate que les empilements les plus lâches sont plus denses que les précédents, ceci indique que les états de densité minimum précédents ne sont plus stables. A la place, on obtient un ensemble de droites parallèles à la précédente placé en dessousd’elle et qu’on peut paramétrer en fonction du déviateur relatif de contrainte appliqué η=q/p’ de la façon suivante : v= vnco(po)- λ ln(p/po) - λd ln(1+η²/M²). Seule

la droite pour η=M est représentée sur la figure 1.b ; elle est notée C et est appelée droite des

points critiques. Les autres droites pour 0<η<M, sont parallèles à ces deux droites et situées

entre elles. Pour mémoire, on reporte en pointillés sur cette figure les courbes de décompression qui sont presque des droites horizontales.

Cette équation implique que le lieu des points atteint en imposant un déviateur q/p’ donné en partant d’un état normalement consolidé est une droite parallèle à la droite

normalement consolidée et à la droite des points critiques. De plus ces droites sont aussi les lieux des états normalement consolidés sous un cisaillement η=q/p’ donné. Cette équation implique aussi que la trajectoire démarre de façon tangente à la droite des états normalement consolidés.

4.1.6. Cisaillement non drainé:

Dans ce cas on impose que le volume spécifique reste constant v. La trajectoire représentant l’évolution est donc une droite horizontale dans le plan (v, p’) mais la pression p’ doit s’ajuster tout au long de la compression. La trajectoire est donc une droite horizontale qui rejoint la droite des états critiques. D’après le diagramme (Fig. 4.1), ceci ne peut se faire que si p’ décroît ; en d’autres termes, si on travaille à p=p’+u_w=c^ste , cela veut dire que la pression u_w de l’eau augmente. C’est ce que nous avions mentionné dans le paragraphe 3.4.1.

4.1.7. Compression à déviateur relatif constant :

Compte tenu de l’ensemble de ces résultats, on peut prévoir le comportement d’un milieu granulaire de densité initiale donnée v_i et soumis à une compression sous déviateur relatif q/p’ constant . Dans le plan (q,p'), la trajectoire est une droite de pente constante. Pour caractériser l’évolution du système, il suffit donc de représenter sa trajectoire dans le plan {v, ln(p’)}. C’est ce que nous allons faire.

Supposons le milieu granulaire dense ; sa réponse doit donc être quasi élastique dans une première phase et obéira à l’Eq. (4.2). Il subira ainsi tout d’abord une compression quasi élastique lui permettant de rejoindre la droite représentant l’état normalement consolidé sous déviateur donné η. Cette première partie de trajectoire est donc une courbe pratiquement horizontale, i .e. de pente très faible, dans le plan {v, ln(p’)} ; cette courbe est parallèle à la courbe C’C. Arrivé au point tel que: v_i≈ v_nco(p_o)- λ ln(p’/p’_o) - λd ln(1+η²/M’²), l’état du sable a rejoint un état normalement consolidé anisotrope . A ce stade, si on continue à le comprimer, sa trajectoire obliquera et se poursuivra en glissant vers le bas le long de la droite des états normalement consolidés sous déviateur donné d’équation :

(4.4) v= v_nco(p'_o)- λ ln(p’/p’_o) - λd ln(1+η²/M’²).

A ce stade final, on peut vouloir le décomprimer. Dans ce cas son évolution suivra une décompression quasi élastique représentée par une courbe parallèle à DD’ sur la Fig. 4.1.a .