2.4.4 Produit d’un découpage
On s’intéressera également dans la suite de ce travail au produit d’un découpage C sur une surface discrète S. Pour des raisons de cohérence, par exemple parce que l’on veut pouvoir appliquer successivement plusieurs découpages, le produit du découpage d’une surface doit être une surface. Par la suite, on notera ✂(S, C) la surface résultant du découpage C sur la surface S.
Si C est composé de n lacets et chemins, on définit alors ✂(S, C) comme le résultat des n découpages élémentaires correspondants. Intuitivement, un découpage élémentaire suivant un chemin c (qui peut être un lacet) est produit en dupliquant chacune des arêtes par lesquelles passent les chemins de C, et en dupliquant autant de fois que nécessaire les sommets qui sont contenus dans c, puis en corrigeant les bords des triangles de façon à préserver la structure de complexe simplicial.
Il est important de noter ici que si une arête composant c appartient au bord de S, alors elle ne sera pas dupliquée. En effet, puisque le produit d’un découpage est une surface discrète, chaque voisinage d’un sommet doit être homéomorphique à un disque ou un demi-disque. Un découpage ne peut donc générer d’arêtes non adjacentes à un triangle. En introduisant cette contrainte, il devient immédiat que la surface résultant d’un découpage C est égal au résultat du découpage élémentaire associé à C.
L’une des manières de quantifier la qualité d’un découpage est de considérer la longueur de ce dernier. Plusieurs choix sont possibles pour définir la longueur d’un découpage. On aurait pu définir la longueur d’un découpage comme la somme des longueurs des lacets et chemins qui le composent. Cependant, ce choix impliquerait que deux découpages C et C′ de longueur différente puissent produire des surfaces identiques. On choisit donc
de définir la longueur d’un découpage uniquement en considérant les arêtes dupliquées pendant l’étape de découpage :
Définition 2.27 – Étant donnés une surface S et un découpage C, on définit la longueur de C comme la somme des longueurs des arêtes non bord qui sont couvertes par un chemin ou un lacet de C.
D’un point de vue pratique, on pourra donc calculer les chemins et lacets les plus courts en modifiant la longueur des arêtes bord par une affectation à 0, les algorithmes de recherche de plus court chemin travaillant directement avec des longueurs satisfaisant la définition de longueur d’un découpage donnée ci-dessus.
2.5
Caractéristique d’Euler généralisée et conséquences
La définition 2.14 s’appuie sur la structure de complexe simplicial des 2-maillages pour décrire une relation (la caractéristique d’Euler) entre le nombre de i-faces du complexe et le genre de la surface. L’équation 2.5 généralise cette formule aux surfaces à bord, toujours décrites par des complexes simpliciaux. La définition des 2-simplexes qui structurent ces complexes impose que ces faces de dimension 2 soient des triangles. En prenant une définition plus large, il est classique de généraliser la caractéristique d’Euler aux surfaces décrites par des faces polygonales, quel que soit leur nombre de côté. Nous présentons ici une généralisation de cette formule aux surfaces décrites par des m-complexes cellulaires.
36 Chapitre 2. Variétés discrétisées
2.5.1 Généralisation de la caractéristique d’Euler
Théorème 2.3 – Soit C un m-complexe cellulaire décrivant une surface connexe de genre g à b bords, et composé de S 0-m-cellules, de A 1-m-cellules et de F 2-m-cellules. On note Ab le nombre de 1-m-cellules avec bord, et Fb le nombre de 2-m-cellules avec bord. Alors,
si pour chaque 2-m-cellule fi de C, on note gi son genre et bi son nombre de bords, on a
la caractéristique d’Euler généralisée :
S − Ab + 2Fb = 2 − 2 g − X fi gi ! − b −X fi bi ! . (2.7)
Preuve : Commençons par montrer l’équation pour A = Ab et F = Fb, c’est-à-dire dans
le cas où toutes les 1-m-cellules de C sont non cycliques, et lorsque les 2-m-cellules ont toutes au moins un bord.
Pour cela, on montre d’abord que pour transformer une 2-m-cellule fi de genre gi à
bi > 0 bords en une 2-m-cellule de genre zéro à un bord, il est nécessaire de lui ajouter
2gi+ bi− 1 1-m-cellules. Le nombre de bords de fi étant non nul, il existe au moins une 0-
m-cellule sur le bord de fi. Nous avons déjà vu (propriété 1.3) que sur une surface de genre
gi, le découpage suivant 2gi lacets basés en un point réduisait le genre à zéro. Cela revient
donc à introduire 2gi 1-m-cellules sur fi (sans introduire aucune 0-m-cellule). Chacun des
bi bords qui constitue la 2-m-cellule résultante contient au moins une 0-m-cellule. Il suffit
d’ajouter bi− 1 1-m-cellules pour réduire le nombre de bords de cette 2-m-cellule à un.
Si on procède de cette manière pour chacune des 2-m-cellules de C, alors on a introduit
P
fi2gi+ bi
−F 1-m-cellules sur C sans changer le nombre de 0-m-cellules ni le nombre de 1-m-cellules. De plus, chacune des 2-m-cellules résultantes sont des polygones, aussi la caractéristique d’Euler classique est vérifiée :
S − A + X fi 2gi+ bi ! − F ! + F = 2 − 2g − b. On en déduit immédiatement l’équation 2.7, avec A = Ab et F = Fb.
Si maintenant A 6= Ab, alors on constate qu’il est nécessaire d’ajouter à chacune
des A − Ab 1-m-cellules cycliques une 0-m-cellule pour appliquer ensuite la construction
précédemment décrite. On en déduit là aussi immédiatement l’équation 2.7, avec F = Fb.
Enfin, si F 6= Fb, il existe des 2-m-cellules sans bord, c’est-à-dire qui décrivent des
composantes connexes séparées de C. Il est facile de voir que si l’on retire une telle 2-m- cellule fi de C, alors on réduit g de gi, sans modifier le nombre de bords du complexe
simplicial, sans non plus modifier le nombre de 1-m-cellules et de 0-m-cellules. On a donc
l’équation 2.7 dans sa forme générale.
2.5.2 Conséquences immédiates
De 2.7, on peut déduire quelques conséquences simples sur les pavages de surfaces par des tuiles non triviales.
Ainsi, si l’on décrit une surface avec des 2-m-cellules ayant toutes le même genre gf et
le même nombre bf de bords, on a :
2.6. Conclusion 37