CHAPITRE 4 : MODÈLE DE BIODÉGRADATION LIMITÉE PAR LA CINÉTIQUE
4.2 Calculs des paramètres effectifs de l’équation de transport macroscopique du
4.2.2 Calcul du facteur d’efficacité associé à la réaction
Comme souligné précédemment, le concept de facteur d’efficacité d’une réaction est largement utilisé en génie chimique. Classiquement, l’influence du transfert de masse interne au biofilm qui dépend de ses propriétés géométriques et biochimiques est exprimée par un nombre adimensionnel appelé module de Thiele (e.g. Fogler, 1999). Ce nombre adimensionnel est analogue au nombre de Damköhler DaAdéfini précédemment, qui détermine la valeur du facteur d’efficacité. Le transfert de masse externe qui dépend du régime hydrodynamique du transport dans la phase fluide (caractérisé par le nombre de Péclet
A
Pe ) et de l’organisation spatiale du milieu poreux peut aussi avoir un impact sur la valeur du facteur d’efficacité (Edwards et. al., 1993; Wood et. al., 2007). Cependant, dans le cas présent, une telle dépendance ne peut être considérée puisque l’hypothèse de départ du modèle RRLC est de négliger la limitation de la réaction par le transfert de masse externe. Nous commencerons par présenter une validation analytique du calcul du facteur d’efficacité dans un cas simplifié, puis nous analyserons la sensibilité du facteur d’efficacité à différentes caractéristiques du biofilm (paramètres biochimiques, fraction volumique en particulier). Pour la résolution numérique du problème aboutissant au facteur d’efficacité, nous utilisons un
discrétisation du terme diffusif à l’interface biofilm fluide vers la phase biofilm, puisque c’est la phase de résolution. En outre, nous n’avons pas besoin d’utiliser de méthode de décomposition des variables puisque aucun terme intégral n’apparaît dans les équations. Le système obtenu est finalement linéarisé à l’aide d’une méthode de Picard afin de résoudre la non linéarité engendrée par la forme du terme de réaction. Les systèmes linéaires ainsi générés sont résolus par un solveur de type Gradient Bi Conjugué Stabilisé. Enfin, le champ de solution n’étant pas défini à une constante près, on n’a pas besoin de contrainte de moyenne nulle par phase.
a) Cas limite d’une cinétique d’ordre 1 pour une configuration monodimensionnelle
En premier lieu, nous présentons dans ce paragraphe une validation de la méthode de calcul du facteur d’efficacité utilisée. Cette validation repose sur la comparaison des résultats de cette méthode pour une configuration monodimensionnelle en prenant en compte une cinétique réactionnelle d’ordre 1 avec la solution analytique qui peut être développée dans ce cas très simple.
La Figure 18 illustre cette représentation simplifiée d’un milieu poreux colonisé par un biofilm, couramment adopté dans la littérature (e.g.: Kindred et Celia, 1989) pour l’analyse des cas d’équilibre. Le milieu poreux est divisé en une phase fluide supposée parfaitement mélangée et une phase biofilm dans laquelle des gradients de concentration peuvent apparaître dus aux phénomènes de diffusion et de réaction. Contrairement aux théories du film stagnant ou de la couche limite (e.g.: Jennings et. al., 1976, Baveye et Valocchi, 1989), on ne considère aucune couche limite avec résistance diffusive au transport. Afin d’être capable de développer une solution analytique, la cinétique de réaction pour la biodégradation du soluté dans le biofilm est linéarisée et supposée du premier ordre (hypothèse valable si cAω ≪KAω).
Figure 18 : Modèle conceptuel à l'échelle du pore d'un milieu poreux colonisé par un biofilm
Le problème de transport à l’échelle du pore s’écrit donc :
Phase.fluide.
γ
. A A c γ = c γ γ (115) Phase.biofilm.ω
. . 2 2 A A A A A c c k c t x ω ω ω ω ω∂
∂
∂ = − ∂ (116) C.L.1 A 0 en , A c X x ω ω ωκ ∂ − = ∂ (117) C.L.2 cAω = cAγ = cAγ γ , en Xωγ (118)où kAω est le taux de réaction du premier ordre de la biodégradation du soluté A. Un rapide calcul conduit à l’expression analytique du facteur d’efficacité dans cette configuration :
1 1 1 sinh( (1 )) 1 ( ) cosh( (1 )) analytic X Da X X X Da X X Da X X ωγ ωκ ωκ ωγ ωκ ωγ ωκ ωκ
η
− = − − (119)2 1 A A k l Da ω ω ω = (120)
où lω est pris égal à la longueur totale de la cellule représentant le milieu, i.e.: lω =1. Ce résultat analytique, classique en génie chimique, est comparé avec les valeurs du facteur d’efficacité données par le modèle RRLC (modifié pour prendre en compte une cinétique d’ordre 1). Ces résultats sont présentés en fonction des valeurs du nombre de Damköhler en Figure 19. Un très bon accord est obtenu entre les solutions analytiques et numériques, avec une erreur relative absolue inférieure à 1%.
Figure 19 : Comparaison entre calcul numérique et analytique dans le cas d'une cinétique d'ordre 1.
b) Impact du nombre de Damköhler et de la demi saturation effective
Revenons maintenant à l’étude du modèle RRLC avec une cinétique réactionnelle plus réaliste de type Monod. Nous considérons toujours le même milieu poreux bidimensionnel (
Figure 16, avec εγ = 0.59 et εω = 0.11). Comme la cinétique de réaction est hyperbolique, deux nombres adimensionnels sont requis pour caractériser l’influence de la limitation
diffusive sur le facteur d’efficacité, le nombre de Damköhler DaA et la constante de demi saturation Keff A, . L’évolution du facteur d’efficacité dans la configuration considérée en fonction de DaA et de Keff A, est présentée enFigure 20pour cette géométrie.
Figure 20 : Influence du nombre de Damköhler et de la demi-saturation effectif sur le facteur
d'efficacité pour une géométrie circulaire avec εγ = 0.59 et εω = 0.11.
Premièrement, on peut noter que, par définition, les valeurs du facteur d’efficacité sont comprises dans l’intervalle [0, 1]. Le facteur d’efficacité est à la fois une fonction décroissante de DaA et de Keff A, .
Un grand nombre de Damköhler implique une importante limitation de la réaction par le transfert diffusif au sein du biofilm, et par conséquent un fort gradient de concentration dans la phase biofilm. Le facteur d’efficacité tend alors vers 0. Au contraire, le facteur d’efficacité se rapproche de 1 quand le nombre de Damköhler décroît vers 0, car le taux de réaction devient petit devant le flux diffusif et nous n’avons donc que de très faibles gradients de
La valeur de Keff A, contrôle la non linéarité de la réaction : pour Keff A, tendant vers 0, la cinétique apparente est d’ordre 0, et pour Keff A, tendant vers l’infini, la cinétique apparente est d’ordre 1. Quand la cinétique apparente de la réaction tend vers une cinétique d’ordre 1, le facteur d’efficacité ne dépend plus de la concentration en substrat. Par conséquent, les courbes de facteur d’efficacité en fonction du nombre de Damköhler se superposent sur une courbe limite au delà d’une certaine valeur de Keff A, , qui dépend des propriétés géométriques du milieu considéré (ici, cette valeur limite de Keff A, est environ égale à 10). Au contraire, quand la cinétique de réaction apparente tend vers une cinétique d’ordre 0, i.e.: si la concentration intrinsèque de la phase fluide cAγ γ est suffisamment grande, certaines régions du biofilm peuvent ne pas être atteintes par le soluté. En d’autres termes,
η
A devient une fonctioncroissante de cAγ γ, et donc une fonction décroissante de Keff A, , puisque Keff A, est
inversement proportionnel à cAγ γ .
c) Impact de la fraction volumique de biofilm
Dans cette section, deux milieux poreux différents sont considérés. Tous deux sont bidimensionnels avec une géométrie cylindrique similaire à celle présentée sur la Figure 16, mais différent par leur fraction volumique de biofilm : 0.11 dans un cas et 0.45 dans l’autre. Nous avons représenté sur la Figure 21 la variation du facteur d’efficacité en fonction du DaA
Figure 21 : Influence de la fraction volumique de biofilm sur le facteur d'efficacité en fonction
du nombre de Damköhler pour une géométrie circulaire avec Keff A, =1.
La représentation étant faite sous forme adimensionnelle, nous observons une évolution similaire de