Calcul de l’ellipticit´ e

3.3.2.1 Mise en d´efaut de l’approximation des ondes planes

Comme pour la mod´elisation des angles de polarisation des harmoniques, la mod´eli- sation en onde plane est mise en d´efaut car elle ne pr´evoit aucune ellipticit´e du champ harmonique g´en´er´e par des atomes ou par des mol´ecules centrosym´etrique.

Pour expliquer cette propri´et´e des ondes planes, consid´erons la fonction d’onde ψ(r) = hr|ψi du syst`eme atomique ou mol´eculaire, que l’on peut supposer r´eelle. Pour des atomes ou des mol´ecules centrosym´etriques, cette fonction d’onde doit ˆetre paire ou impaire :

ψ(−r) = (−1)pψ(r) (3.10) Supposons que le champ se propage selon l’axe z. L’´etat de polarisation du champ harmonique est d´etermin´e `a partir du calcul des ´el´ements de matrice dipˆolaire dx =

3.3. Simulations num´eriques 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 H15 H17 H19 H21 H23 Traj. courte

Figure 3.16 – Ellipticit´e harmonique calcul´ee, dans le mod`ele des ondes de diffusion, pour les harmoniques 15 `a 23 correspondant aux trajectoires courtes.

hψ| x |φei et dy = hψ| y |φei. Dans cette expression, |φei est la fonction d’onde du paquet

d’onde ´electronique qui se recombine, que nous mod´elisons par une onde plane selon x d’impulsion k : φe(r) ∝ eikx (3.11) On obtient alors : dx(k) ∝ Z ψ(r).x.eikxdr = TF[f (x)] (3.12) dy(k) ∝ Z ψ(r).y.eikxdr = TF[g(x)] (3.13) (3.14) les fonctions f et g ´etant d´efinies par :

f : x 7→ x. Z Z ψ(x, y, z) dydz (3.15) g : x 7→ Z Z y.ψ(x, y, z) dydz (3.16)

En effectuant le changement de variable (y, z) 7→ (−y, −z), on peut v´erifier facilement que les fonctions f et g sont de parit´e oppos´ee `a la fonction d’onde ψ. Les propri´et´es de la transform´ee de Fourier imposent alors `a dx(k) et dy(k) d’ˆetre tout deux r´eels purs (si

ψ est impaire) ou imaginaires purs (si ψ est paire). La diff´erence de phase entre les deux composantes du dipˆole sera donc ´egale `a 0 ou π, ce qui correspond `a un champ polaris´e lin´eairement.

3.3.2.2 Calcul dans le mod`ele des ondes de diffusion

La figure 3.16 pr´esente les r´esultats des calculs d’ellipticit´e du champ harmonique r´ealis´es dans le mod`ele des ondes de diffusion, pour les trajectoires courtes.

Chapitre 3. Etude en polarisation des harmoniques g´en´er´ees dans l’argon

Globalement, l’ellipticit´e du champ harmonique augmente avec l’ellipticit´e du champ infrarouge. En fonction de l’ordre harmonique, ses valeurs d´ecroissent de l’harmonique 15 `

a 17 puis augmentent de l’harmonique 17 `a 23. Les valeurs calcul´ees de l’ellipticit´e sont cependant tr`es inf´erieures aux valeurs mesur´ees, de pr`es d’un ordre de grandeur (ellipticit´e maximale calcul´ee d’environ 6% contre pr`es de 50% pour les valeurs mesur´ees).

Cette diff´erence entre grandeurs calcul´ees et mesur´ees ne signifie pas n´ecessairement un d´esaccord de notre mod`ele. En effet, la grandeur mesur´ee dans nos exp´eriences n’est pas l’ellipticit´e du champ, mais son ellipticit´e maximale puisqu’on ne connait pas le degr´e de polarisation du champ harmonique.

L’article [Antoine 97] compare ses r´esultats exp´erimentaux `a des simulations. Ces si- mulations se d´eroulent en deux ´etapes :

ˆ R´eponse de l’atome unique : elle est calcul´ee dans l’approximation de l’´elec- tron actif unique. Les auteurs calculent la valeur du moment dipˆolaire d´ependant du temps dans le mod`ele quantique de Lewenstein (voir section 1.1.2). Le champ harmonique s’obtient ensuite comme la transform´ee de Fourier de ce moment di- polaire.

ˆ Effet de la propagation : les auteurs calculent la propagation du champ har- monique et du champ infrarouge dans le milieu de g´en´eration, en prenant comme source locale de champ la r´eponse de l’atome unique calcul´ee pr´ec´edemment. La prise en compte des effets de propagation permet aux auteurs de [Antoine 97] de cal- culer l’ellipticit´e r´eelle ε du champ (c’est `a dire l’ellipticit´e de la composante polaris´ee du champ) ainsi que l’ellipticit´e maximale εmax (telle que mesur´ee avec le dispositif exp´e-

rimental dont nous disposons). Les r´esultats des mesures (prises avec un ´eclairement de 2×1014W/cm2 et une dur´ee d’impulsion de 150 fs) et des simulations de [Antoine 97] pour l’harmonique 17 de l’argon sont pr´esent´es sur la figure 3.17. Cette figure montre un bon accord entre les mesures et la valeur calcul´ee de εmax, mais pas avec la valeur calcul´ee de ε

qui est inf´erieure `a εmax d’un facteur 2 environ. Pour une ellipticit´e du champ g´en´erateur

de 0.35, [Antoine 97] calcule des valeurs ε ≈10%, εmax ≈20% et P ≈0.9.

La prise en compte des effets macroscopiques de g´en´eration semble donc n´ecessaire pour pouvoir comparer la validit´e de notre calcul de l’ellipticit´e du champ harmonique avec nos mesures. Cependant, l’´ecart entre nos valeurs calcul´ees et nos mesures est bien plus grand que dans [Antoine 97], et pourrait traduire un d´efaut de notre mod´elisation.

Pour ce qui est des trajectoires longues, les courbes de l’ellipticit´e calcul´ee sont simi- laires `a celles des trajectoires courtes, avec des valeurs n´eanmoins inf´erieures d’un facteur 2 `a 3.

3.4

Conclusion

Dans cette section, nous avons pr´esent´e les r´esultats d’une campagne exp´erimentale dont le but ´etait de mesurer l’´etat de polarisation des harmoniques d’ordre ´elev´e g´en´e- r´ees dans l’argon. Cette ´etude montre notamment qu’une augmentation de l’ellipticit´e du champ g´en´erateur entraˆıne une augmentation de l’ellipticit´e du champ harmonique, pou- vant aller jusqu’`a pr`es de 50%. Nos mesures montrent ´egalement, en ce qui concerne l’angle

3.4. Conclusion

Degré de polarisation Mesures

Figure 3.17 – Comparaison entre les mesures de l’ellipticit´e de l’harmonique 17 de l’argon avec des simulations de ε et de εmax prenant en compte les effets de propagation du champ, et notamment un

degr´e de polarisation non ´egal `a 1. Figure extraite de [Antoine 97]

de polarisation, un comportement diff´erent entre les trajectoires courtes et les trajectoires longues.

Nous avons compar´e ces mesures aux simulations bas´ees sur le mod`ele pr´esent´e dans le chapitre pr´ec´edent. Comme pour la description du minimum de Cooper, la mod´elisation en ondes planes du paquet d’onde ´electronique `a la recombinaison est insuffisante, car elle ne permet de reproduire ni les valeurs mesur´ees de l’angle de polarisation, ni celles de l’ellipticit´e. En mod´elisant le paquet d’onde ´electronique par des ondes de diffusion subissant l’influence du potentiel coulombien, on trouve un tr`es bon accord entre les valeurs calcul´ees de l’angle de polarisation et les mesures, `a l’exception de l’harmonique la plus basse (harmonique 15). A nouveau, cet ´ecart pourrait sugg´erer que l’approximation de l’´electron actif unique est trop grossi`ere pour mod´eliser les harmoniques les plus basses, proches du seuil d’ionisation. Pour ce qui est de l’ellipticit´e, la comparaison entre nos simulations et nos mesures est difficile car nous ne tenons pas en compte les effets de propagation du champ. Des simulations seraient n´ecessaires afin de quantifier le degr´e de polarisation dans nos conditions exp´erimentales, et permettraient ainsi de valider ou non nos calculs d’ellipticit´e. Il est important de noter que la mesure de l’angle de polarisation (d´etermin´ee `a partir de la position des maxima et minima dans les courbes de Malus) est ind´ependante du degr´e de polarisation du champ. Ainsi, la prise en compte des effets de propagation dans nos simulations ne d´egradera pas le bon accord trouv´e sur les angles de polarisation.

Si nos simulations reproduisent fid`element les mesures d’angle de polarisation pour les trajectoires courtes, elles pr´esentent un profond d´esaccord pour les trajectoires longues. Pour l’instant, l’origine de ce d´esaccord nous est inconnu. Des v´erifications doivent cepen- dant ˆetre men´ees, afin de v´erifier que ce comportement observ´e n’est pas dˆu `a un artefact exp´erimental. Notamment, l’asym´etrie entre le front montant et le front descendant de l’impulsion de g´en´eration doit ˆetre ´etudi´ee plus en d´etail.

Des mesures de polarim´etrie d’harmoniques g´en´er´ees par des sources `a grandes lon- gueurs d’onde sont envisageables. Il serait notamment int´eressant de mesurer l’´etat de

Chapitre 3. Etude en polarisation des harmoniques g´en´er´ees dans l’argon

Energie de photon (ev)

E lli pt icité d u cha m p gé nér at eu r

Ellipticité du dipôle harmonique

40 50 60 70 80 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Energie de photon (ev)

E lli pt icité d u cha m p gé nér at eu r

Angle de polarisation du dipôle harmonique

40 50 60 70 80 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 5 10 15 20 25 0

Figure 3.18 – Angle de polarisation et ellipticit´e du dipˆole harmonique, calcul´e dans le mod`ele des ondes de diffusion (voir chapitre2), en fonction de l’ellipticit´e des impulsions de g´en´eration. La longueur d’onde du laser de g´en´eration est de 1830 nm et l’´eclairement de g´en´eration de 8×1013 _W/cm2_.

polarisation des harmoniques autour du minimum de Cooper. Le calcul de l’angle de polarisation et de l’ellipticit´e du rayonnement, effectu´e pour une longueur d’onde de g´e- n´eration de 1830 nm et un ´eclairement de 8×1013 _W/cm2 _{dans le mod`ele des ondes de}

diffusion (comme d´efini dans le chapitre 2), est repr´esent´e sur la figure 3.18. Cette figure met en ´evidence de fortes modulations de l’angle de polarisation autour de la position du minimum de Cooper : pour une ellipticit´e de g´en´eration de 0.25, l’angle de polarisation diminue entre 30 et environ 43 eV (passant de 25 `a 10◦) puis augmente pour atteindre en- viron 25◦ pour une ´energie de photon de 55 eV. L’angle de polarisation adopte par la suite un comportement similaire `a celui mesur´e `a 800 nm, `a savoir une diminution de l’angle de polarisation avec l’ordre harmonique (`a ellipticit´e de g´en´eration constante). La mesure de telles modulations permettrait d’avoir de nouvelles donn´ees exp´erimentales permettant de tester la validit´e de notre mod`ele de calcul. Des variations de l’ellipticit´e du rayonnement harmonique apparaˆıssent ´egalement dans nos simulations, mais avec une amplitude trop faible (ellipticit´e harmonique maximale de 5%) pour pouvoir ˆetre mesur´ees avec notre syst`eme de d´etection actuel.