Figure A-1: Bilan de la collision. 𝑝 ⃗⃗⃗⃗ 𝑖 et 𝑝 ⃗⃗⃗⃗ 𝑓 sont les impulsions du projectile avant et après la collision. Le projectile est diffusé avec l’angle 𝜃𝑑 par rapport à la direction du faisceau (l’axe z). La cible recule avec une quantité de mouvement 𝑝 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟 formant un angle 𝜃𝑟 avec l’axe z.
III. Calcul des énergies cinétiques finales
En projetant l’équation de la conservation de la quantité de mouvement (I.1) sur les axes (𝑂𝑦) et (𝑂𝑧) (Fig. A-1), on obtient :
{
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑+ 𝑝𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 0 = −𝑝𝑓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑+ 𝑝𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟
(I.5a) (I.5b) En détaillant l’équation (I.4), on a :
1
2𝑚𝑝𝑣𝑖2 =1
2𝑚𝑝𝑣𝑓2+1
2𝑚𝑐𝑣𝑟2− 𝑄 (I.6)
iv
Ainsi, on a le système de trois équations à 5 inconnues suivant :
{
𝑚𝑝𝑣𝑖 = 𝑚𝑝𝑣𝑓 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑+ 𝑚𝑐𝑣𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 0 = −𝑚𝑝𝑣𝑓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑+ 𝑚𝑐𝑣𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟 1
2𝑚𝑝𝑣𝑖2 =1
2𝑚𝑝𝑣𝑓2+1
2𝑚𝑐𝑣𝑟2− 𝑄
(I.7a) (I.7b) (I.7c)
Pour résoudre ce système, on exprime 𝐸𝑖et 𝐸𝑓 en fonction des paramètres 𝑄 et 𝜃𝑑. i. Calcul de l’énergie de recul
On sépare les variables 𝜃𝑑et 𝜃𝑟de part et d’autre de l’égalité des équations (I.7a) et (I.7b) et on élève au carré pour obtenir :
( 𝑚𝑝𝑣𝑖 − 𝑚𝑐𝑣𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟)2 = (𝑚𝑝𝑣𝑓 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑)2 (I.8)
(𝑚𝑐𝑣𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟)2 = (𝑚𝑝𝑣𝑓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑)2 (I.9)
On additionne les deux égalités ci-dessus : 𝑚𝑝2𝑣𝑓2 = 𝑚𝑐2𝑣𝑟2+ 𝑚𝑝2𝑣𝑖2− 2𝑚𝑝𝑚𝑐𝑣𝑖𝑣𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 Or 𝑚𝑝2𝑣𝑓2 = 2𝑚𝑝𝐸𝑓
⟹ 𝐸𝑓 = 1
2𝑚𝑝(𝑚𝑐2𝑣𝑟2+ 𝑚𝑝2𝑣𝑖2− 2𝑚𝑝𝑚𝑐𝑣𝑖𝑣𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟) On introduit l’expression de 𝐸𝑓 dans l’équation (I.6) : 𝐸𝑖 = 1
2𝑚𝑝(𝑚𝑐2𝑣𝑟2+ 𝑚𝑝2𝑣𝑖2− 2𝑚𝑝𝑚𝑐𝑣𝑖𝑣𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟) + 𝐸𝑟 − 𝑄
⟹ 𝐸𝑖 = 𝐸𝑖 +𝑚𝑐
𝑚𝑝𝐸𝑟 − 𝑚𝑐𝑣𝑖𝑣𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 + 𝐸𝑟 − 𝑄
v
⟹ 𝐸𝑟(1 +𝑚𝑐
𝑚𝑝) − 𝑄 − 𝑚𝑐√2𝐸𝑖 𝑚𝑝 √2𝐸𝑟
𝑚𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 = 0 On pose 𝛼 = 𝑚𝑚𝑐
𝑝 et 𝑥 = √𝐸𝑟
⟹ (1 + 𝛼)𝑥2− 2(√𝛼𝐸𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟)𝑥 − 𝑄 = 0
Pour résoudre cette équation du second degré, il faut d’abord calculer son discriminant réduit: ∆′ = 𝛼𝐸𝑖𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑟 + 𝑄(1 + 𝛼)
L’équation possède deux solutions si le discriminant ∆′ est positif. Dans le cas d’une réaction exothermique 𝑄 > 0 donc ∆′ > 0 toujours. Tandis que, dans le cas d’une réaction endothermique, le discriminant n’est pas toujours positif. Dans le cas où il l’est les solutions pour 𝑥 sont :
𝑥 = 1
(1 + 𝛼)(√𝛼𝐸𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟± √∆′) En remplaçant 𝛼 par 𝑚𝑚𝑐
𝑝 et 𝑥 par √𝐸𝑟, on élève les deux membres de l’égalité au carré pour obtenir l’expression de l’énergie de recul 𝐸𝑟:
𝐸𝑟 = 𝑚𝑝𝑚𝑐
(𝑚𝑝+𝑚𝑐)2(2𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑟 + 𝑄
𝐸𝑖(𝑚𝑝+𝑚𝑐
𝑚𝑐 ) ± 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟√𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑟 +𝑄
𝐸𝑖(𝑚𝑝+𝑚𝑐
𝑚𝑐 )) 𝐸𝑖 (I.10) Dans cette équation le signe (+) est uniquement considéré pour le terme en (±) pour ne pas violer les lois de la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement (l’énergie de recul doit diminuer avec l’angle de recul).
ii. Calcul de l’énergie de diffusion
On procède de façon analogue pour le calcul de l’énergie de diffusion. En utilisant les équations (I.7a) et (I.7b) on obtient :
( 𝑚𝑝𝑣𝑖 − 𝑚𝑝𝑣𝑓 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑)2 = (𝑚𝑐𝑣𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑)2 (I.11)
vi
(𝑚𝑝𝑣𝑓 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑)2 = (𝑚𝑐𝑣𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑)2 (I.12) On additionne les deux égalités ci-dessus :
𝑚𝑐2𝑣𝑟2 = 𝑚𝑝2𝑣𝑖2+ 𝑚𝑝2𝑣𝑓2− 2𝑚𝑝2𝑣𝑖𝑣𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑 l’énergie finale du projectile après la diffusion :
𝐸𝑓 = 𝑚𝑝2 mouvement (l’énergie de diffusion doit diminuer avec l’angle de diffusion).
iii. Cas particulier : la diffusion élastique
Les énergies des projectiles utilisés dans ce travail sont supérieures ou égales à 3,5 𝑘𝑒𝑉. Lors d’une collision entre un ion chargé et une cible neutre, les 𝑄 de réaction mises en jeu, lors d’une ou de plusieurs captures électroniques, sont de l’ordre de 10 𝑒𝑉 − 50 𝑒𝑉. Ainsi, comme le rapport 𝐸𝑄
𝑖 ≪ 1, l’approximation de la
vii diffusion élastique qui consiste à poser 𝑄 = 0 est complètement valable. Donc les expressions des énergies de recul de la cible et de diffusion du projectile deviennent :
𝐸𝑟 = 4 𝑚𝑝𝑚𝑐
D’autre part, le terme sous la racine carré dans l’équation de l’énergie de diffusion ci-dessus doit être toujours supérieur ou égal à zéro. Ainsi le domaine de définition sur l’angle de diffusion est le suivant :
𝜃𝑑 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑚𝑐 𝑚𝑝)
Il est bien clair que le domaine de définition de 𝜃𝑑 est indépendant de l’énergie initiale du projectile.
iv. Exemple
Figure A-2: Bilan énergétique du projectile et de la cible après la collision d’un projectile d’oxygène sur un centre atomique cible d’hydrogène. L’énergie initiale du projectile est de 6,6 𝑘𝑒𝑉
0 25 50 75 100
viii
Prenons par exemple la collision 𝑂++ 𝐻 à une énergie initiale du projectile de 6,6 𝑘𝑒𝑉 . La figure A-2 présente les énergies de recul et de diffusion, respectivement en fonction de l’angle de recul et de l’angle de diffusion. Au cours de la collision, le projectile perd de l’énergie en faveur de la cible. Les angles de diffusion sont inférieurs à 3,5°, alors que la cible peut reculer jusqu’à 90°, avec une énergie nulle. L’énergie maximale de recul de la cible correspond à un angle de recul égal à zéro. Ceci correspond à une collision frontale.
ix
Annexe B: Calcul de la section efficace simplement différentielle à partir de l’énergie potentielle
En 1911, la célèbre expérience d’Ernest Rutherford a mené à la découverte du noyau atomique, l’une des découvertes les plus importantes en physique. Pour interpréter ses données expérimentales, Rutherford a considéré que les particules alpha sont élastiquement diffusées par des particules chargées ponctuelles, en supposant que l’interaction entre les particules peut être représentée par un potentiel purement coulombien. Dans cette partie, un premier pas vers un traitement plus général de la diffusion élastique entre atomes (ou ions) est proposé. En première approximation, nous supposons que l’interaction entre deux atomes (ou ions) peut décrite par un potentiel central 𝑊(𝑟), où 𝑟 = 𝑟 𝑝 − 𝑟 𝑐 est le vecteur position du projectile « 𝑝 » par rapport à la cible « 𝑐 ». 𝑊(𝑟) est positif lorsqu’il s’agit d’un potentiel répulsif et négatif quand il s’agit d’un potentiel attractif. Même dans le cas des collisions inélastiques cette approche peut être appliquée pour une description approximative du mouvement relatif de 𝑝 et 𝑐 à condition que l’énergie de collision 𝐸 soit grande par rapport aux variations des énergies électroniques au sein des partenaires en collision, soit 𝐸 > 100 𝑒𝑉.
En suivant le formalisme de Rutherford, nous allons décrire la diffusion élastique d’un atome sur un autre par l’intermédiaire de la mécanique classique. Ceci est tout à fait justifiable lorsque la longueur d’onde 𝜆 associée au mouvement des deux atomes est très petite par rapport à la taille de la région d’interaction. Le potentiel d’interaction entre les atomes, 𝑊(𝑟), varie doucement et change lentement sur des distances de l’ordre du rayon de Bohr 𝑎0. Par conséquent, si 𝜆 << 𝑎0 = 1 𝑢. 𝑎., c’est-à-dire si l’énergie d’impact est supérieure à quelques 𝑒𝑉/𝑢. 𝑚. 𝑎., on a un paquet d’onde localisé dont le centre suit une trajectoire classique dans le potentiel 𝑊(𝑟).
Une autre condition est également nécessaire pour pouvoir traiter le problème en utilisant la mécanique classique. Il faut que l’incertitude sur l’angle de diffusion 𝛥𝜃 de l’atome soit faible par rapport à l’angle de diffusion 𝜃. Cette condition est satisfaite si 𝜃 est supérieur à un angle critique 𝜃𝐶. Du fait de la conservation du moment
x
cinétique et du principe d’incertitude de Heisenberg, cet angle critique est d’autant plus faible que la vitesse du projectile est grande. Même à des vitesses thermiques, 𝜃𝐶 ne dépasse pas quelques milli-radians. Les mesures expérimentales sont généralement confinées à des angles supérieurs à 𝜃𝐶, pour lesquelles un traitement classique est parfaitement justifié.