La théorie des graphes, l’algorithmique combinatoire et la complexité sont des thématiques de recherche à la frontière de l’informatique et des mathématiques et dont le champ d’application est vaste. L’optimisation combinatoire et la bio-informatique sont deux exemples signifi catifs de domaines d’application de nos travaux. Les méthodes de visualisation et d’interaction complètent les algorithmes que nous pouvons proposer et facilite la manipulation des données (biologiques par exemple).
Théorie des graphes et des structures discrètes Un des principaux enjeux de la théorie des graphes consiste à capturer la complexité de leur structure de façon globale. Pour cela, les invariants de graphes, les plongements du graphe, ou encore les décompositions sont des outils essentiels dont l’étude a de nombreuses conséquences algorithmiques. L’exemple le plus prolifi que de ce paradigme étant la preuve de la conjecture de Wagner sur les mineurs de graphes due à N. Robertson et P. Seymour au cours des années 1980-2000 et qui a permis de nombreux développements originaux en théorie des graphes mais aussi en algorithmique de graphes.
Un des axes de recherche de l’équipe AlGCo est donc
103
naturellement l’étude de questions structurelles en théorie des graphes. Les membres de l’équipe ont l’habitude de travailler sur ce type de question, comme en témoignent certains problèmes abordés récemment.
Par exemple, lorsque l’on souhaite partitionner optimalement les sommets d’un graphe en ensembles indépendants, on obtient la notion classique de coloration d’un graphe. Des résultats ont été obtenus dans ce cadre [1], ainsi que pour certaines variantes concernant les graphes orientés [2], [3]. D’autres questions structurelles ont aussi été abordées pour certaines classes de graphes ou pour des structures combinatoires plus générales : décomposition en forêt pour les graphes planaires [4], décompositions en circuits ou en chemins pour les graphes orientés [5], [6] ou structure des circuits/cocircuits dans les graphes orientés et les matroïdes réguliers [7].
L’étude des méthodes de décomposition de graphes est une thématique centrale de notre groupe, tant sur leur aspects algorithmiques (voir ci-dessous) que structurels.
De manière générale, ces méthodes, dont le principe, hérité de Descartes, consiste à diviser un problème puis à reconstituer une solution globale à partir de solutions partielles, sont à l’origine de nombreux résultats dans le domaine de la théorie des graphes.
Cette thématique de recherche a été développée au sein du projet ANR GRAAL. Plusieurs résultats théoriques sur les décompositions arborescentes et les paramètres de largeurs associés méritent d’être cités : la récente preuve de la correspondance entre la largeur de branche d’un graphe planaire et celle de son dual [8], conséquence de l’égalité entre la largeur de branche d’un matroïde graphique et celle de son dual;
une nouvelle preuve simplifi ée de la dualité largeur
arborescente-“bramble number” obtenue à l’aide de fonctions de partitions sous-modulaires.
Algorithmes combinatoires et complexité
L’algorithmique couvre un vaste champ de l’informatique allant du traitement de données numériques à celui de structures combinatoires, en passant par la manipulation d’objets beaucoup plus complexes tels que les langues naturelles. Nos recherches couvrent l’algorithmique des structures combinatoires en général et des graphes en particulier. Le principe sous-jacent de nos méthodes est de s’appuyer sur les propriétés combinatoires des objets manipulés. Par exemple, la manière dont un graphe se construit ou se décompose peut guider la résolution d’un problème d’optimisation sur ce graphe. La mise au point d’un algorithme combinatoire (effi cace) est rarement une tâche aisée même si de nombreux résultats structurels sont établis sur le problème étudié. Mentionnons ainsi que malgré la preuve de la conjecture forte des graphes parfaits, obtenir un algorithme combinatoire polynomial de coloration des graphes parfaits reste aujourd’hui un problème ouvert. Dans ce domaine, les résultats que nous avons obtenus relèvent pour la plupart de deux grands paradigmes :
• les méthodes de décompositions de graphes dont le principe a déjà été discuté ;
• résoudre un problème sur des familles restreintes de graphes est une démarche classique préliminaire à sa résolution dans le cas général. Cela permet de mieux comprendre la combinatoire du problème et d’identifi er ses verroux. De plus certaines familles de graphes sont primordiales pour la compréhension des classes de complexité (théorème de Courcelle),
d’autres sont défi nies naturellement et apparaissent (ou réapparaissent) dans de nombreux contextes différents.
Dans leurs travaux sur les mineurs de graphes, Roberston et Seymour ont introduit la théorie des décompositions arborescentes et le paramètre de largeur arborescente, un invariant de graphe qui a permis de généraliser à de larges classes de graphes, les résultats connus pour les arbres. La largeur de branche est une alternative à la largeur arborescente dont l’avantage est d’être calculable en temps polynomial sur les graphes planaires.
Nous avons amélioré la complexité des algorithmes de calcul de la largeur de branche pour certaines familles de graphes [9].
La théorie des familles d’ensembles (bi-)partititives capture de nombreuses méthodes de décomposition de graphes dont certaines, comme la décomposition modulaire et la décomposition en coupes, ont été introduites dans les années 70 pour étudier la structure des graphes parfaits. Nous avons obtenu de nouveaux algorithmes linéaires ou quasi-linéaires pour la décomposition modulaire [10] et la décomposition en coupe [11], [12]). B.-M. Bui-Xuan a généralisé et étendu dans sa thèse [13] de manière signifi cative la théorie des représentations de familles d’ensemble dans les graphes (voir aussi [14]).
Concernant l’étude des familles de graphes, mentionnons les travaux de C. Crespelle sur les graphes dynamiques [15], dont l’objectif est de maintenir une représentation compacte d’un graphe au fi l de modifi cations (de ses arêtes, ou de ses sommets). Des résultats optimaux (du point de vue de la complexité ont été obtenus pour des
104
familles de graphes d’intersection ayant des bonnes propriétés de décomposition (e.g. graphes d’intervalles, graphes de permutation). Plus récemment, basé sur le nouvel algorithme de décomposition en coupe, Gioan et al. ont obtenu le premier algorithme sous-quadratique pour la reconnaissance des graphes de cercles, une famille de graphes dont les propriétés combinatoires s’apparentent à celles des graphes planaires.
Visualisation et interactions
Nos travaux s’appuient sur une approche à la fois expérimentale et théorique des problèmes étudiés et se développent autour des axes : modélisation, visualisation, interaction et nouveaux dispositifs.
Plusieurs thèses se sont inscrites dans ces différents axes.
La thèse de J. Thièvre relève de l’axe visualisation et interaction. Elle a consisté à développer des techniques de représentations multiples pour aider à l’indexation et à l’exploration de collections de documents multimédias.
La thèse de F. Boutin [16] s’est plus particulièrement tournée sur les aspects modélisation et construction de modèles multi-échelles. Enfi n, la thèse de M. Collomb porte davantage sur les nouveaux dispositifs matériels et en particulier sur les environments d’affi chage distribués et hétérogènes.
Modélisation et construction. Nous avons développé [17], [18] une famille d’algorithmes qui permettent à partir d’un graphe quelconque d’obtenir un modèle multi-échelle de ce graphe. Dans un premier temps, nous
avons étendu des méthodes existantes d’optimisation de partition de sorte à obtenir des K-partitions des graphes initiaux. Par la suite et en particulier au travers des travaux de thèse de François Boutin, nous avons introduit les arbres de clusters emboîtés ainsi que des arbres de silhouettes emboîtés qui ont été défi nis pour permettre les représentations multi-échelles résultantes.
Visualisation d’arbres de silhouettes. Nous avons proposé une visualisation des arbres de silhouettes qui s’appuie à la fois sur une approche surfacique et un algorithme de dessin radial.
Le principe du dessin consiste à associer à chaque noeud un secteur angulaire englobant tous ses descendants dans l’arbre couvrant. L’API Grapho réalisée par Jérôme Thièvre dans le cadre de sa thèse permet la visualisation de silhouettes et clusters emboîtés. Cette API a été l’occasion de proposer et d’implémenter une adaptation de l’algorithme de placement radial classique, ayant l’originalité d’inclure la représentation automatique de clusters et de silhouettes.
Architectures matérielles : vers des architectures distribuées. Nous avons mis en place un dispositif appelé «mur-écran» qui est composé (1) d’une surface de projection -le «mur»- sur laquelle sont retro-projetées des informations diverses susceptibles d’être utilisées à n’importe quel moment, et (2) d’un ou plusieurs écrans classiques servant plus particulièrement pour la tâche spécifi que sur laquelle un individu travaille.
Nous avons proposé un modèle générique et réutilisable d’architecture matérielle permettant de gérer ce type de dispositif d’affi chage distribué [19].
Interaction. Notre objectif a été de proposer de nouveaux modèles d’interaction «drag-and-throw»
et «push-and-throw» permettant d’étendre le modèle de drag-and-drop classique aux surfaces distribuées et de grande taille. L’avantage incontestable de ces techniques est qu’elles permettent un contrôle précis du lancer. En effet, le feedback visuel permet d’anticiper la destination du lancer et l’utilisateur est donc en mesure d’ajuster précisément son lancer.
De plus, le calcul des trajectoires permet d’éviter le comportement chaotique du lancer résultant de trajectoires telles que celles proposées dans les travaux de Geissler et al.
Expérimentations contrôlées sur dispositifs d’affi chage distribué. Le modèle d’interaction élaboré a fait l’objet de plusieurs expérimentations et de collaborations. En effet, pour la comparaison entre les techniques de lancer et le reste des alternatives proposées récemment, nous
105
avons monté une expérimentation en collaboration avec Patrick Baudisch de Microsoft research (Etats-Unis) et de Brian Lee de l’Université de Stanford (Etats-Unis).
Les résultats de cette étude sont publiés dans [20].
Applications à la bio-informatique
Les recherches développées au sein de l’équipe VAG trouvent des applications dans plusieurs domaines, mais particulièrement en bio-informatique.
Ainsi, les méthodes de décomposition de graphes (décomposition modulaire, familles bipartitives) se révèlent être des outils combinatoires clés pour la génomique comparative. Des travaux des membres de l’équipe MAB et des collègues Canadiens (projet bilatéral) ont donné lieu à plusieurs publications sur ces problèmes [21]. De même la complexité paramétrique (voir prospectives) permet d’obtenir des algorithmes effi caces pour la reconstruction d’arbres ou de réseaux phylogénétiques [22]. Une thèse (P. Gambette) est actuellement co-encadrée sur ce dernier sujet par C.
Paul et V. Berry (équipe MAB).
Le projet ANR PlasmoExplore (dirigé par l’équipe MAB) a pour objectif de contribuer au décryptage du génome de P. falciparum, agent infectieux responsable de la Malaria.
Notre objectif consiste ici à concevoir et mettre en oeuvre des techniques de visualisation et d’interaction appropriées à l’exploration des données biologiques utiles telles par exemple que les interactomes.
Prospectives
La majeure partie des membres de VAG se retrouvent aujourd’hui dans AlGCo (les deux membres de la composantes «visualisation et interaction» rejoignant
l’équipe-projet ICAR). Nous présentons donc ici seulement les prospectives de recherche de l’équipe-projet AlGCo qui relèvent pour l’essentiel de deux projets ANR qui débuteront fi n 2009.
Théorie des graphes - projet GRaToS
Le projet de recherche GRaToS, sur l’étude structurelle topologique des graphes, regroupe quatre membres de l’équipe AlGCo. Il propose d’étudier et de généraliser les résultats structuraux connus concernant la représentation des graphes planaires. Un des objectifs, par exemple, est d’obtenir une décomposition en arbres de Schnyder des graphes plongeables dans des surfaces autres que le plan. Ces graphes, qui forment une généralisation naturelle des graphes planaires, constituent un sujet de recherche d’actualité (beaucoup d’articles leur ont été consacrés à SODA09 par exemple). Quant à la décomposition des graphes planaires en arbres de Schnyder, elle a été découverte à la fi n des années 1980 et a eu de très nombreuses retombées, comme la mise au point d’algorithmes de dessin de graphes très effi caces, la génération facile de graphes planaires aléatoires ou encore la création de codage compact pour les graphes planaires. Un autre point départ de ce projet est la preuve récente (fi n 2008) d’une conjecture de Scheinerman [23]. Ce résultat établit que tout graphe planaire est le graphe d’intersection de segments dans le plan. De nombreuses généralisations de ce résulat peuvent être espérées : en dimensions supérieures, que donne l’étude des graphes d’intersection de simplexes, ou que dire des graphes d’intersection de segments sur des surfaces autres que le plan ?
Il serait optimiste de prétendre obtenir une avancée importante sur l’un de ces problèmes. Cependant, tout progrès, nouvelle méthode ou heuristique serait un premier pas intéressant.
Par ailleurs, nous souhaitons continuer les travaux sur les partitions des arêtes ou sommets d’un graphe en ensembles simples. Un exemple d’une question intéressant plusieurs membres de l’équipe est le suivant.
De nombreux résultats sont connus sur les partitions de graphes planaires, le plus célèbre étant le théorème des quatre couleurs. Dans le domaine des graphes planaires et orientés, un problème de partitionnement a été posée par V. Neumann-Lara (1982) : tout graphe planaire orienté admet une partition de ses sommets en deux sous-graphes acycliques.
En d’autres termes, tout graphe planaire admet une partition dont la coupe associée intersecte tous les circuits. Ayant déjà travaillé sur des problèmes de circuits dans les graphes orientés [24] et sur les graphes planaires orientés [25], [26] nous sommes particulièrement intéressés par ce type de questions.
Algorithmes et complexité paramétrée - projet AGAPE
Depuis environ deux années, une partie importante des membres d’AlGCo travaillent sur les algorithmes paramétrés. Des résultats importants ont déjà été obtenus comme notamment : le premier algorithme paramétré pour le problème “minimum interval completion” [27], qui était ouvert depuis 1992 ; un noyau quadratique pour le problème «feedback vertex set» [28], meilleure borne connue.
De multiples approches existent pour résoudre un
106
problème diffi cile (i.e. NP-diffi cile). Nous en avons discuté deux (les décompositions et les restrictions à des instances particulières), d’autres existent telles que les méthodes d’approximations. La complexité paramétrique, introduite par Downey et Fellows, est une approche alternative dont l’objectif essentiel est d’évaluer la complexité du calcul d’une solution exacte, de manière plus fi ne que la complexité classique ne le permet. Pour ce faire, un paramètre, indépendant de la taille des données, est introduit pour exprimer la fonction de complexité, et, si possible, d’en limiter l’explosion combinatoire. On dit qu’un problème P admet un algorithme paramétré pour le paramètre k (e.g. la taille de la solution) s’il peut être résolu avec une complexité exponentielle en k et polynomial en n, la taille de la donnée. Avec l’augmentation de la puissance de calcul des ordinateurs, de telles méthodes, voire des méthodes de coût faiblement exponentiel en la taille de la donnée, peuvent désormais étre envisagées.
Les résultats algorithmiques issus des travaux de Robertson et Seymour sur les paramètres de largeurs ont été pionniers dans ce domaine. Pour autant, le champ couvert par la complexité paramétrée ne se limite pas aux méthodes de décomposition et les paramètres de largeurs associés. Ce domaine de recherche est en plein développement et permet : d’établir des liens importants et originaux entre algorithmique, logique et complexité ; d’affi ner la théorie de la complexité classique ; de fournir un cadre théorique et formel aux méthodes de pre-processing (kernalisation) ; de proposer dans de nombreux domaines applicatifs (bio-informatique, IA) des méthodes algorithmiques pertinentes et fondée en alternative aux méthodes heuristiques.
Quatres membres du groupe AlGCo sont impliqués dans le projet ANR AGAPE (Algorithmes de graphes paramétrés et exacts) qui débutera en septembre 2009. Actuellement deux étudiants font leurs thèses sur ces sujets : J. Daligault et A. Perez qui ont débuté respectivement en octobre 2007 et octobre 2008.