Bases de résolution avec COMSOL Multiphysics

Nous détaillons dans cette partie les différentes étapes permettant de résoudre un pro- blème de mécanique des milieux continus en utilisant le logiciel COMSOL Multiphysics et décrivons les bases de simulation communes appliquées au cours de la thèse. Dans ce travail, j’ai utilisé principalement la version 4.3b du logiciel.

Nous vérifions initialement que la forme générale de la PDE d’une variable u résolue par COMSOL dans un domaine Ω satisfait la forme de l’équation 1.38 que nous cherchons à résoudre. La PDE résolue par COMSOL est notée [COMS12] :

ea ∂2_u ∂t2 + da ∂u ∂t + ∇.  −c∇u − αu + γ  + β.∇u + au = f (1.39)

avec ea le terme de masse, da le coefficient d’amortissement, c le coefficient de diffusion

anisotrope, α le coefficient de convection du flux conservatif, γ le terme de source du flux conservatif, β le coefficient de convection, a le coefficient d’absorption et f le terme de source. Nous reconnaissons donc bien la PDE 1.38de la mécanique des milieux continus dans le cas stationnaire, en supprimant les termes de dérivées temporelles et en considérant α, β, γ et a nuls.

1.4.2.1 Choix du module

La première étape consiste à choisir le cadre de la modélisation, pour que le logiciel crée l’environnement de travail adéquat (2D ou 3D, module de physique, type de résolution). Nous utilisons, sauf exception, le module "Solid Mechanics" avec une résolution stationnaire du problème, c’est-à-dire la recherche de l’équilibre mécanique.

1.4.2.2 Géométrie

Les domaines géométriques du problème sont reproduits le plus fidèlement possible, dans les repères orthonormés (O, x, y) (dans le cas 2D), ou (O, x, y, z) (dans le cas 3D) de COM- SOL. Il existe deux types de simulation 2D, définissant les conditions de l’étude, selon la troisième dimension de l’espace [Barbe10] :

i. Totalement contraint ("plane strain") : les composantes des déformations hors plan sont nulles (εiz = 0 avec i = x, y, z). Physiquement, c’est comme si l’échantillon simulé

dans le plan (O, x, y) était infini selon la troisième dimension, aucune relaxation n’est possible selon cette direction (figure 1.37 (b)).

ii. Totalement relaxé ("plane stress") : les composantes des contraintes hors plan sont nulles (σiz = 0 avec i = x, y, z). C’est comme si l’échantillon simulé dans le plan

(O, x, y) était infiniment fin selon la troisième dimension, une relaxation totale de la matière est obtenue selon cette direction (figure 1.37 (c)).

Dans le cas de la simulation d’un échantillon TEM, la réalité se situe entre ces deux cas extrêmes. La lamelle est partiellement relaxée. Si nous voulons simuler la relaxation du champ de déformation à travers l’épaisseur de la lame mince, il est donc nécessaire de re- produire la dimension spatiale associée à l’épaisseur de la lamelle TEM. Deux configurations géométriques sont envisageables :

i. En 3D : simuler la structure en 3D calcule le champ de déformation dans l’épaisseur de la lame mince, figure 1.37 (a).

ii. En 2D : simuler la structure en 2D est possible lorsque la géométrie de l’échantillon massif est invariante selon deux dimensions de l’espace (c’est-à-dire que la géométrie de la lamelle TEM est invariante selon Ox sur la figure 1.37 (a)). Il est alors possible de simuler seulement une section 2D de la lamelle, en condition totalement contraint selon la troisième dimension puisque l’épaisseur de la lame mince est faible devant sa longueur (voir figure1.37 (d)). Cette simulation calcule donc le champ de déformation dans l’épaisseur de la lame mince et sera représentative de l’ensemble de l’échantillon (qui est invariant selon Ox dans le repère du matériau, figure 1.37 (d)).

1.4.2.3 Matériaux

Cette étape consiste à définir les propriétés des matériaux mis en jeu. Nous travaillons dans le cadre de l’élasticité linéaire. Les matériaux isotropes sont définis par leur module

Figure 1.37 – (a) Représentation 3D de la lamelle TEM pour la simulation FEM, avec le placement des axes du repère COMSOL et du repère du matériau utilisé pour les notations des résultats DFEH. Géométries de simulation FEM 2D (b) pour le cas totalement contraint, infini selon Oz et (c) pour le cas totalement relaxé, infiniment fin selon Oz. (d) Géométrie d’une simulation 2D permettant de tenir compte des effets de relaxation de lame mince, avec un échantillon TEM invariant selon la longueur de la lamelle.

de Young E et leur coefficient de Poisson ν ; tandis que les matériaux anisotropes sont défi- nis par leur tenseur des constantes élastiques C, réduit en un tenseur 6 x 6 (voir annexeA.1).

Le tenseur des constantes élastiques est lu dans le repère (O, x, y, z) de COMSOL. Or nous travaillons avec un substrat Si dont les directions cristallographiques sont ([110], [001], [110]) ou ([110], [001], [110]) dans le repère de COMSOL, respectivement pour les géométries (a), (b) et (c) puis pour la géométrie (d) de la figure1.37. Le tenseur des constantes élastiques du matériau anisotrope cubique (Si ou SiGe) doit donc subir un changement de repère, par une rotation de π

4 autour de la direction y dans le repère initial ([100], [010], [001]), afin que les propriétés adaptées au matériau soient injectées dans COMSOL. Ce changement de repère est détaillé en annexe A.4.

1.4.2.4 Conditions de l’étude

Il s’agit de définir les conditions initiales (comme une contrainte ou une déformation ini- tiale) et les conditions aux limites (en bord de domaine). Par exemple, la simulation d’une bicouche épitaxiée (voir annexe A.5) d’un matériau B sur un substrat A est simplement décrite par une déformation initiale isotrope dans le domaine du matériau épitaxié, ainsi que par une interface rigide entre les deux matériaux. Cette déformation initiale correspond à la déformation relative subie par le matériau épitaxié par rapport à son état initial totale- ment relaxé. Cette déformation est exprimée par rapport au substrat : εii =

aB_{− a}A

aA , avec

(i = x, y, z) et a le paramètre de maille.

À cette étape, il est également possible de définir des propriétés spécifiques sur certaines zones ou interfaces. D’autre part, l’option "Include geometric nonlinearity", qui permet de tenir compte des déformations avec de grands déplacements (équation1.35) peut être activée. Cette option rend l’étude plus gourmande en ressources informatiques mais est nécessaire dans certains cas étudiés.

1.4.2.5 Maillage

Le maillage de la structure est une étape délicate, puisqu’un maillage suffisamment fin garantit une erreur minimale, mais demande en contrepartie plus de ressources informa- tiques. Les moyens dont nous disposons nous permettent d’aller jusqu’à un nombre maximal d’éléments de l’ordre de 400000. La taille des éléments finis doit être adaptée à la structure, plus petits dans les zones comprenant de forts gradients de champ (déformation, contrainte ou propriété d’un matériau ayant une dépendance spatiale). Il faut aussi veiller à ce que le maillage ait un nombre minimal d’éléments finis à travers l’épaisseur des films minces étudiés (au moins 4 éléments), pour que le comportement mécanique du matériau constituant le film mince soit correctement simulé.

1.4.2.6 Résultats et post-traitement

Une fois la solution du problème calculée, les résultats discrets sont interpolés afin d’obte- nir un champ continu dans la structure. Il est plus précis de d’estimer le champ de contrainte par une interpolation aux points de Gauss (centre des éléments finis) et le champ de défor- mation par une interpolation aux points de Lagrange (nœuds du maillage) [COMS12].

Pour finir, nous exportons les résultats en table de données, en vue de leur exploitation dans DigitalMicrograph.