b Géométries axisymétriques

La convection naturelle le long de corps présentant des propriétés d’axisymé- trie autour d’un axe vertical englobe de nombreuses applications. Un cylindre, une sphère, un parallélépipède, un cône. . . , sont les configurations les plus simples qui sont définies par une ou deux dimensions géométriques. Lorsque l’écart de tempéra- ture et/ou la hauteur du corps sont suffisants, l’écoulement le long de la surface ou au-dessus de celle-ci (panache) présente des propriétés similaires à celles d’un écou- lement de couche limite le long d’une paroi plane verticale. Les simplifications de couche limite sont cependant plus contestable parce que les épaisseurs des couches limites dynamique et thermique doivent alors être très faible devant les dimensions transversales du corps pour que soient justifiées les hypothèses usuelles de calcul. Nous considérons deux des géométries parmi les plus simples : un cylindre vertical semi-infini et une sphère qui sont représentatifs d’écoulement axisymétriques plus généraux. Dans le premier cas, l’écoulement devient instable puis turbulent à partir d’une certaine hauteur lorsque le cylindre est isotherme ou chauffé uniformément dans une ambiance non stratifiée. Dans la partie inférieure du cylindre, où l’écou- lement est laminaire, l’une des questions principales est de considérer le rapport des épaisseurs des couches limites à la longueur du rayon afin de déterminer si des théories développées pour des surfaces planes restent applicables, c’est à dire si les effets de courbures sont ou non importants. Pour la géométrie sphérique, deux cas limites peuvent être envisagés : d’une part, la source de chaleur ponctuelle au-dessus de laquelle il existe un écoulement laminaire sur une hauteur appréciable si la dif- férence de température avec l’ambiance n’est pas trop importante et, d’autre part, la sphère que l’on peut assimiler en première approximation à un disque, du moins suffisamment loin en aval [LG00].

Cylindre

Pour les fluides ayant un nombre de Prandtl de 0,7 (tel que l’air) ou plus, le cas du cylindre vertical peut être traité comme le cas de la plaque verticale si :

L/D Gr_D1/4 < 0, 025 [Ozi] D L ≥ 35 Gr_L1/4 [LG00] (1.83)

Où D est le diamètre du cylindre, L la hauteur, Gr_D Nombre de Grashof calculé avec D comme longueur caractéristique et GrL avec L (comme la plaque plane).

1.4 Phénomènes de convection 43

Dans le cas où ces inégalités sont vérifiées, la différence entre le cas de la plaque plane et le cylindre est inférieure à 5%.

Si les effets de courbure ne sont pas négligeables, les équations de couche limite doivent être résolues mais la méthode affine n’est pas utilisable directement. La ré- solution passe par une méthode de développement asymptotique ou par la méthode intégrale.

Sphère

Ici le calcul de Ra, afin de vérifier la présence ou non de turbulence, est basé sur le diamètre de la sphère.

La sphère aura tendance à essentiellement créer un panache thermique au-dessus d’elle. Un panache thermique est un écoulement se développant au-dessus d’une source de chaleur qui peut-être une source « ponctuelle », une source linéique ou une surface de plus ou moins grande dimension. Le panache peut aussi être générée par l’évaporation d’un liquide de masse molaire plus faible que le fluide ambiant ou par la dispersion d’un jet d’air très humide (panache solutable). Lorsqu’un écou- lement gravitationnel provient de la différence de température entre un corps de forme quelconque et l’ambiance, les couches limites se développant autour de sa surface se rejoignent sur sa partie supérieure pour former un panache ascendant qui se développe dans l’ambiance. L’observation quotidienne de ces écoulements (par exemple en observant la propagation anormale de la lumière au-dessus d’une source chaude) montre que le sillage devient rapidement instationnaire puis, éventuelle- ment turbulent. Le problème posé ici n’est pas celui du refroidissement de la source mais plutôt l’échauffement de l’ambiance ou la dispersion de constituants dus aux mouvements convectifs. Dans la région juste au-dessus de la source, l’écoulement est laminaire : son étude, plus simple, et s’appuyant sur des modélisations moins approximatives qu’en régime turbulent, est instructive. Si la force gravitationnelle est faible, le fluide chaud et/ou plus léger est rapidement ralenti par les forces de viscosité et par la diminution de l’écart de température ou par l’augmentation de sa masse volumique dans le panache : les transferts de quantité de mouvement, de chaleur et de matière deviennent alors principalement diffusifs et le fluide issu de la source finit par s’étaler horizontalement dans l’ambiance. A noter que le flux de chaleur convecté dans le panache est indépendant de la hauteur dans le panache et égale à la puissance de chauffage injectée dans la source de chaleur. Certaines études ramènent également l’étude de la sphère à l’étude d’une source circulaire (assimilable, en première approximation, à la projection d’une sphère sur le plan horizontal). Les observations expérimentales indiquent que le diamètre moyen de la section du panache augmente proportionnellement à la hauteur de telle sorte que la source peut être remplacée par une source ponctuelle située en un point virtuel (point source) (voir Fig.1.27).

Disque

de façon uniforme est complexe du fait de l’interaction du fluide entraîné le long du disque avec le fluide se séparant de la surface. Les deux paramètres pouvant affecter la structure de l’écoulement sont la géométrie et la nombre de Grashof (défini de façon approprié) [RL87]. Des limites peuvent être identifiées comme par exemple le point source de chaleur, point à partir duquel l’énergie thermique prend la forme d’une colonne de chaleur axisymétrique (Fig. 1.27). La deuxième limite est une grande largeur de disque, qui permet de négliger les effets de géométrie axisymétrique sur une grande partie du disque et de supposer que la région centrale, où l’écoulement se sépare, ne joue qu’un rôle peu important dans l’échange de chaleur.

La première limite a déjà été développée par [Yih51] et [Fuj63] et le résultat montre que la largeur de la colonne montante dépend du nombre de Grashof de la source selon une loi en puissance (1/4). La largeur du panache (à une hauteur donnée) diminue donc avec l’augmentation du flux au niveau du disque.

La seconde limite est fondamentalement différente de la première. Pour un grand diamètre de disque, les effets de géométrie radiale deviennent insignifiant, mis à part au centre du disque. On peut alors traiter la convection comme pour le cas de la plaque plane horizontale chauffé uniformément [Ste58,RC69].

L’écoulement et le champ de température près du disque peut-être représenté selon deux parties distincte comme le montre la figure1.27.

Figure 1.27: Géométrie de l’écoulement au-dessus d’un disque chaud Près du centre du disque l’écoulement se sépare pour former une colonne. Sans perturbation, la colonne montera de façon régulière transportant l’énergie totale de la chaleur transmise par la surface du disque. La force de la région centrale dépend des forces d’Archimède, directement liées à la température relative du disque. Si le disque est très chaud, les forces d’élévations du fluide peuvent être très fortes, causant une séparation de l’écoulement de la surface du disque. Si c’est le cas, la colonne centrale ne se formera pas comme décrit précédemment. Le décollement de la couche limite se produira alors quasiment au niveau du bord du disque. Ceci a été décrit par [YTM82] pour une surface carrée, et par [LDB87] pour le disque.

1.4 Phénomènes de convection 45

prenant comme longueur caractéristique 0,9.D (D étant le diamètre du disque).

Figure 1.28: Évolution du nombre de Rayleigh en fonction de la configuration et de la température

La figure 1.28 représente l’évolution du nombre de Rayleigh pour différentes configurations en fonction de la température. Comme on le voit sur la figure, quelque soit la configuration, le nombre de Rayleigh augmente tout d’abord avec l’élévation de température (jusqu’à environ 600K), puis, bien que la température de surface augmente, diminue progressivement. Ceci est en fait dû au ratio (nombre de Prandtl)

ν

a qui évolue avec la température. En effet, la diffusion visqueuse du fluide (viscosité

cinématique) augmente lentement dans un premier temps (jusqu’à une température de fluide de 450K) mais augmente ensuite beaucoup plus rapidement, entrainant alors une diminution du nombre de Rayleigh et donc de la turbulence. Cependant, nous pouvons clairement voir que si nous prenons des géométries avec les longueurs caractéristiques inférieures ou égales à 10cm nous avons une nombre de Rayleigh inférieur à la valeur seuil de turbulence. Ceci est intéressant pour notre étude car un régime laminaire nous permet une reproductibilité des expériences ainsi qu’une modélisation du phénomène.

Afin d’avoir en tête un ordre de grandeur des variations de propriétés de l’air, un bref rappel sur les propriétés thermophysiques des fluides est donné dans la partie suivante.