Écoulement et transport

C’est la force −→A qui génère le mouvement (et non des conditions aux limites, comme en convection forcée). Pour l’analyse, comme nous venons de le décrire, cette force intervient dans l’équation de la dynamique d’équilibre des forces et des moments. Les autres équations à considérer, sont celles qui concernent la conser- vation de la masse et des quantités qui provoquent des variations de masse volu- mique. On supposera qu’il s’agit d’un fluide pur : il existe donc une équation d’état ρ = (T, C, P). Peuvent apparaître aussi, des équations décrivant la viscosité µ, la conductivité thermique k, ou le coefficient de diffusion de l’espèce chimique D.

Les grandeurs à déterminer, par l’analyse et l’expérience, concernent essentiel- lement : le coefficient d’échange h, qui caractérise le transport de chaleur, et le

1.4 Phénomènes de convection 37

champ de vitesses. Le flux de chaleur Φ, échangé entre une surface d’aire S, à la température T₀ et le fluide à la température T∞ s’écrit de façon classique :

Φ = h.S.(T0− T∞) (1.60)

Dans l’Eq. (1.60), le paramètre h représente le coefficient d’échange de chaleur sur la surface S. La densité de flux de chaleur ϕ_p transmise au fluide, est donnée par la loi phénoménologique de Fourier :

(ϕp)y = −k ·  ∂T ∂y  y=0(`a la paroi) (en W/m2) (1.61) où k représente la conductivité thermique du fluide et x la variable d’espace normale à la paroi et dirigée positivement vers le fluide. Dans ces conditions, la densité de flux de chaleur est positive dans le sens des températures décroissantes et cela correspond à un apport de chaleur au fluide. Si l’on néglige les échanges radiatifs de la surface, on a par suite le flux de chaleur échangé entre la paroi et le fluide qui s’écrit :

Φ = Z

S

ϕp.ds (1.62)

On peut définir un nombre de Nusselt, Nu, à partir de l’une des relations équi- valentes suivantes : N u = h.L k = Φ.L S.k.(T0− T∞) (1.63) La grandeur L est une longueur caractéristique de la surface

Soit u, l’ordre de grandeur de l’amplitude de la vitesse, induite à la cote L, dans une région où la perturbation de masse volumique s’écrit :

ρL− ρ = ρ∞− ρ = ∆ρ (1.64)

L’amplitude u peut-être évaluée par l’équation de production d’énergie ciné- tique, 1₂.ρ.u2 (théorème de BERNOUILLI), qui, en considérant le fluide comme parfait (sans viscosité) donne :

ρ.u

2

2 ≈ ∆P ≈ ∆ρ.g.L (1.65)

Ce qui signifie que l’énergie cinétique est produite par une différence de pression qui est de l’ordre de grandeur des variations d’énergie potentielle, engendrée par la perturbation de masse volumique.

Il en résulte que dans tout problème de convection, pour lequel, on le rappelle, la vitesse est une inconnue, on peut, en première approximation, en donner un ordre de grandeur par la relation :

u ≈ s

g.L.∆ρ

En négligeant les effets visqueux et autres effets plus petits, on obtient, pour une hauteur caractéristique L=50 cm, et ∆ρ_ρ =2%, une vitesse de l’ordre de 45 cm/s. En incluant les effets d’entraînement et de viscosité, les vitesses sont sensiblement dimi- nuées, elles sont proches des valeurs suivantes, pour une surface verticale chauffée, baignant dans différents fluides :

34 cm/s pour du mercure 17 cm/s pour de l’air 8 cm/s pour de l’eau

Maintenant que l’on a défini la vitesse caractéristique d’un problème de convec- tion, on peut introduire un nombre de Reynolds de l’écoulement, soit :

Re = u.L ν = s g.L3_.∆ρ ρ.ν2 = √ Gr (1.67)

La variable ν représente la viscosité cinématique du fluide et, dans les problèmes de convection, le paramètre Gr, qui s’appelle le nombre de Grashof, remplace le nombre de Reynolds pour caractériser la vigueur de l’écoulement.

En convection, le transport de chaleur dépend de la vigueur de l’écoulement, il dépend des propriétés thermophysiques du fluide, à travers le nombre de Prandtl, Pr, défini comme le rapport du pouvoir de diffusion visqueuse du fluide, au pouvoir de diffusion thermique. Soit :

P r = ν a =

µ.Cp

k (1.68)

a est la diffusivité thermique du fluide définie par : a = k

ρ.Cp (1.69)

Un problème de convection revient donc, du point de vue thermique, à déter- miner une loi universelle, une corrélation caractérisant le transport de chaleur en fonction des paramètres sensibles du problème et que l’on représente en général sous la forme :

N u = f (Gr, P r, autres...) (1.70) Notons que le nombre de Rayleigh, Ra est défini de la façon suivante :

Ra = Gr.P r (1.71)

Gr = g.β(Tp− T∞).x

3

ν2 (1.72)

Le nombre de Grashof correspond au rapport des forces de gravité sur les forces visqueuses. Il permet donc de caractériser le transfert thermique dû au déplacement naturel d’un fluide. Si on le multiplie par le nombre de Prandtl pour obtenir le

1.4 Phénomènes de convection 39

nombre de Rayleigh, on a un nombre qui caractérise le transfert de chaleur au sein d’un fluide : inférieur à une valeur critique, le transfert s’opère essentiellement par conduction, tandis qu’au-delà de cette valeur c’est la convection libre ou naturelle qui prend le pas. Ces valeurs seuils sont données sur la figure1.25.

A présent que nous avons décrit les lois régissant l’établissement de la convec- tion libre, nous allons présenter la structure des champs convectifs se développant autour d’objets courants. En effet, notre application vise à décrire ce type de phéno- mène autour de géométries complexes et à hautes températures. Dans un premier temps on étudie des cas simples, on peut considérer qu’un objet est composé de "primitives" simples qu’il conviendra d’étudier et d’observer de façon séparée avant d’envisager un traitement de géométries complexes. Dans notre travail, nous nous sommes focalisés en priorité sur l’étude de la plaque plane verticale, cas cité souvent comme référence pour les études de convection naturelle, et du disque horizontal.

1.4.1.3 Plaque plane verticale et géométrie axisymétrique