L'antenne patch : rayonner à haut débit et de façon directive

(i) _(ω

r) < 0 (ii) (ωr)  −(ωr). Sous ces conditions, la formule (2.16) peut être déduite

simplement à partir de la limite électrostatique d'une amplitude de diusion S du réso- nateur. S peut être par exemple un facteur de réexion pour un miroir, une polarisabilité pour une petite particule... En régime électrostatique, le dénominateur de cette amplitude de diusion est généralement une fonction linéaire des constantes diélectriques du métal et des diélectriques environnants, ametal+ bdiel, a et b étant généralement des constantes

positives ne dépendant que de la géométrie du résonateur. La pulsation de résonance com- plexe, ωr, est un pôle de l'amplitude S dans le plan complexe. C'est donc un zéro de son

dénominateur et au voisinage de la résonance, S prend donc la forme :

S = A

ω− ωr

+ B, (2.17)

où A et B varient lentement au voisinage de la résonance. La partie réelle de cette pulsation

ω_r est déterminée par la condition a_metal(ω_{r) + b}diel(ωr) = 0. Pour cela, il faut nécessaire-

ment que _(ω

r) < 0, i.e. que le résonateur soit métallique. Supposons que dielet metal évo-

luent lentement au voisinage de ω

r. Dans ce cas, à partir d'un développement limité du déno-

minateur au voisinage de ω

r, on peut le réécrire sous la forme a(ω−ωr) ∂

∂ω(ωr)+iametal(ωr).

Par identication avec l'équation (2.17), on en déduit le pôle :

ωr ωr + i

_(ω_r) ∂ ∂ω(ωr)

. (2.18)

Le facteur de qualité étant donné par Q = Re(ωr)/2Im(ωr), on retrouve ainsi la formule

(2.16). Dans le cas d'un modèle de Drude, l'équation (2.16) devient QS

Drude= −(ωr)/(ωr).

On en déduit que la validité de l'équation (2.16) est donnée par la condition QS

Drude  10.

La gure (2.8) donne les valeurs de QS _{et Q}S

Drude pour les diélectriques de l'or mesurées

dans (Palik 1985), 1, et dans (Johnson et Christy 1972), 2.



















/RQJXHXUG¶RQGHPP

)DFWHXUGHTXDOLWp

í5Hε

,Pε

4

í5Hε

,Pε

4

Figure 2.8  Facteur de qualité électrostatique d'un résonateur métallique pour les valeurs de l'or données dans (Palik 1985, 1) et dans (Johnson et Christy 1972, 2)

On remarque que les valeurs de QS

Drudesont les mêmes dans les deux cas, et que la validité de

68 Chapitre 2. Les antennes patch métalliques pour des sources de photons uniques QS est maximum pour λ ' 0.7µm, avec des valeurs comprises entre 5 et 45. Les résonateurs

plasmoniques sont donc intrinsèquement large bande. A λ = 0.63µm, le facteur de qualité est compris entre 6 (pour 1) et 17 (pour 2) dans les deux cas. Ainsi, l'ordre de grandeur du

facteur de qualité électrostatique vaut 10. Nous avons utilisé 1 pour le calcul de la gure

(2.7), on prendra donc comme valeur du facteur de qualité électrostatique QS _{= 6.}

D'une manière générale, l'ordre de grandeur du volume modal est de l'ordre du volume d'un nano-résonateur. On peut l'estimer plus précisément dans notre cas par R |E|2_d3_~r où

l'intégration est faite sur le volume du cylindre de silice compris sous le cylindre métallique, et où on prend E = J0(ksppr). Dans le cas de l'antenne patch étudiée, on trouve un ordre

de grandeur 100 fois plus petit que (λ/2n)3. On s'attend alors à une accélération de deux

ordres de grandeur du taux de désexcitation, en accord avec le maximum obtenu sur la gure (2.7).

Comme on l'a vu pour l'antenne patch, généralement lorsqu'on allonge un résonateur élec- trostatique monomode dans une direction, on peut trouver des résonances Fabry-Pérot : le mode se propage dans cette direction, et est rééchi aux discontinuités. Lorsque le dépha- sage cumulé sur un aller-retour du mode correspond à une interférence constructive entre l'onde incidente et l'onde rééchie, une onde stationnaire se met en place, contribuant à une forte exaltation du champ. Pour certaines élongations, on trouvera alors des résonances du facteur de Purcell. Toutefois, deux phénomènes limitent le facteur de qualité de ces résonances :

- un résonateur dans la limite électrostatique est trop petit pour rayonner. En allongeant l'une de ses dimensions, on favorise le couplage du mode d'antenne avec des ondes planes. En outre, lorsque le coecient de réexion du mode au bord de la cavité Fabry-Pérot est plus petit que 1, le mode est diracté. Le résonateur voit donc des pertes radiatives apparaître. - le mode guidé se propage en partie dans un métal, qui est un milieu absorbant aux fréquences optiques. Le résonateur voit donc apparaître également des pertes par eet Joule lors de la propagation du mode, et l'amplitude de ce mode décroît en exp(−k00

sppD) après

un aller-retour entre le centre et le bord du patch, où D est le diamètre du patch.

Ainsi, en allongeant le résonateur, le facteur de Purcell doit suivre une tendance décrois- sante. A noter toutefois que dans certains cas, il est possible de faire de l'ingénierie du déphasage à la réexion pour des résonateurs hautement sub-longueur d'onde. Les pertes radiatives et les pertes par propagation sont alors négligeables, et par interférence construc- tive Fabry-Pérot, le résonateur peut atteindre des facteurs de qualité supérieurs à la limite électrostatique (Feigenbaum et Orenstein 2008). Dans notre cas, on souhaite maximiser les pertes radiatives, de sorte que ce cas limite peut être écarté.

Concernant le facteur de qualité correspondant aux pertes par propagation, on peut l'esti- mer par la formule :

Qprop '

1 1 − exp(−k00

sppD)

. (2.19)

Pour les paramètres du patch de la gure (2.7), kspp = (3.71 + 0.26i)k0 à λ = 0.63µm.

Ainsi la longueur de propagation du mode vaut Lprop= 1/k00spp= 0.39µm. Pour la première

résonance, on trouve Qprop ' 3. Si on suppose les pertes radiatives négligeables pour cette

résonance (voir partie (2.7)), alors le facteur de qualité globale de la résonance est de l'ordre de Qtot =

QS_Q prop

QS_+Q

D  3Lprop = 1.5μm Qprop  1

'LDPqWUH

Δθ ∼ λSP P/R λSP P = λ/nef f nef f R

70 Chapitre 2. Les antennes patch métalliques pour des sources de photons uniques