Probabilité et statistique
Étape 5 : La vérification des résultats d’itération et la synthèse des informations obtenues
1.11 Analyse de sensibilité Taylor
Dans une analyse des incertitudes, il est intéressant d’identifier quelles sont les contributions des incertitudes de chaque entrée aux incertitudes sur les résultats. La méthode la plus simple est l’analyse de sensibilité.
L’analyse de sensibilité a pour objectif d’identifier les données ou les hypothèses clés influençant considérablement un résultat. Pour effectuer une analyse de sensibilité, supposons que le sortant 𝑞, qui dépend de 𝑚 entrants incertains, est lié par la fonction 𝑓 sous la forme suivante :
q = 𝑓(x1, x2, … , x𝑚) (I. 30)
Notons le scénario nominal Q̅ = (μ𝑥𝑖). [MORGAN ET AL,1990] définit pour les sensibilités simples, les coefficients :
U𝑆(𝑥, 𝑞) = [ 𝜕𝑞
𝜕𝑥𝑖]Q̅ (I. 31)
Le problème des coefficients de sensibilités simples est qu’ils ne peuvent pas être comparés entre eux parce qu’ils ont des unités différentes. Pour rendre possible la comparaison, l’une des manières est de normaliser ces coefficients. Après la normalisation, nous obtenons des coefficients de sensibilité normalisés ou des coefficients d’élasticité :
UE(x, q) = [∂q
∂xi]Q̅ μxi
42 Les coefficients d’élasticité sont définis comme la variation relative du résultat sortant, induite par une variation donnée de l’entrant (par exemple le pourcentage de changement de q induit par un changement de 1 % de x1).
Exemple : Le sortant q est la somme de deux paramètres sous la forme q = x1+ x2 . Les moyennes des entrants ont les valeurs respectives μ1 = 5 et μ2 = 10. Les calculs des
coefficients de sensibilité de l’élasticité ont respectivement les valeurs UE(x1, q) = 0,33 … et
UE(x2, q) = 0,66 …. Ces coefficients se traduisent sous la forme suivante : un changement de 1 % de la variable x1, implique le changement du sortant q avec 0,33 … %. Un changement de
1 % de la variable x2, implique le changement du sortant q avec 0,66 … %.
Par la suite, nous définirons cette analyse comme une analyse de contribution selon la définition suivante :
Analyse de contribution. La démarche utilisée pour l’identification de l’influence des entrants
sur l’amplitude du sortant.
L’inconvénient majeur des coefficients d’élasticité est qu’ils ignorent le degré d’incertitude des entrées.
Pourtant une donnée d’entrée ayant une grande influence sur les résultats, mais une faible influence sur les incertitudes, est aussi importante qu'une donnée d’entrée ayant une faible influence sur les résultats, mais une grande influence sur les incertitudes.
En effet, il existe plusieurs méthodes d’analyse de sensibilité prenant en compte les incertitudes. [SALTELLI ET AL,2000] a classé l’ensemble des méthodes en quatre catégories : les méthodes
fiables de type FORM et SORM traitant d’analyse de sensibilité pour l’analyse de risques, les méthodes bayésiennes, les méthodes graphiques et enfin les méthodes basées sur l’étude de la variance. Dans ce mémoire nous nous intéressons seulement à la catégorie des méthodes basées sur l’étude de la variance.
Par la normalisation des coefficients de sensibilité simple par les écarts-types (appelé sigma- normalized derivatives en anglais) [SALTELLI ET AL, 2000], nous déterminerons la part d’incertitude du sortant due à l’incertitude de chaque entrant [ANNEXE-31,2004].
Le degré d’incertitude de chaque donnée d’entrée xi peut être exprimé par sa variance var(xi) ou son écart-type σxi.
σxi = √var(xi) (I. 33) Une approche simple pour l’analyse de sensibilité, qui tient compte de la sensibilité et de l’incertitude, est généralement connue comme l’approximation gaussienne. Pour le modèle de
43 l’équation I. 20 en considérant nulle la corrélation des données d’entrée, cette approximation devient : var(q) ≈ ∑ (∂q ∂xi)Q̅ 2 σxi 2 m i=1 (I. 34) Notons ∆xi = σxi( ∂q
∂xi)Q̅, l’équation I. 34 prend la forme:
var(q) ≈ ∑ni=1∆xi2 (I. 35) Le degré auquel chaque donnée d'entrée contribue à l’incertitude de la sortie est calculé par l’équation:
∆xi2
var(z)× 100 (I. 36)
Cette méthode est utilisé largement dans les sciences physique et l’ingénierie et représente la base de plusieurs techniques [MORGAN ET AL,1990], [NASA,2010].
Selon [SALTELLI ET AL,2000] le calcul de ces coefficients est appelé l’analyse de sensibilité. Elle évalue la répartition de l’incertitude des sortants entre les différentes sources
d’incertitude des entrants.
Par la suite, nous déterminerons cette analyse comme une analyse de sensibilité selon la définition suivante :
Analyse de sensibilité. La démarche utilisée pour l’identification de l’influence des incertitudes
des entrants sur l’incertitude du sortant.
Dans une analyse d’incertitude, il est important de poursuivre l’analyse de sensibilité avec les deux coefficients, ceux de l’élasticité et ceux de sigma-normalized derivatives.
Diminuées dans le cas des comparaisons dépendront d’une part du degré de confiance que l’on souhaite avoir pour les comparaisons des projets (qu’un projet est meilleur que l’autre) et d’autre part du pourcentage de l’influence des composants sur les incertitudes des impacts. Dans le cas de comparaisons de deux projets (un projet en structure béton armé et un projet en structure bois) pour l’indicateur de l’acidification atmosphérique [HOXHA ET AL,2014] ont par
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Problématique de recherche
Les experts de l’ACV bâtiment n’ont pas encore pu mettre en place une méthode d’aide aux comparaisons quand les incertitudes sont prises en compte dans les calculs, même si la non prise en compte des incertitudes minimise la fiabilité des résultats et peut conduire à des solutions erronées. Ainsi le calcul des incertitudes de l’ACV du bâtiment reste un domaine peu développé et très peu traité, ceci, en raison notamment de manque d’une base de données capitalisant les incertitudes.
En ce qui concerne l’évaluation des incertitudes, des travaux scientifiques ont proposé la méthode de Monte-Carlo, méthode très précise, mais qui nécessite beaucoup de temps de calcul. Pourtant, ce facteur temps est aujourd’hui très limitant puisqu’il est demandé, à l’heure actuelle, que le calcul environnemental mobilise moins d’une journée de travail. Cette condition nous a donc amenés à rechercher des méthodes plus rapides. A la vue de l’ensemble des travaux menés dans le domaine des probabilités et statistique, dans la suite du mémoire, nous allons répondre à la problématique de recherche de la thèse qui est de développer une méthodologie d’aide à la comparaison en considérant les incertitudes dans les calculs.
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