L’analyse des performances de l’expression à deux échelles (3.11) est complétée par une étude en plasticité. Les deux cas-tests sont soumis à un chargement de flexion par déplacement imposé, appliqué de façon incrémentale. Le chargement de la poutre bi-matériaux se décompose en onze incréments :
uD = [0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3, 0.35, 0.375, 0.4, 0.425, 0.45] umax
umax= 7.1
La poutre multiperforée quant à elle, est soumise au chargement incrémental suivant : uD = [0.4, 0.6, 0.8, 1, 1.15, 1.3, 1.45, 1.5] umax
Remarque 4 : Afin de ne pas surcharger inutilement les tableaux de résultats, un incrément sur deux seulement sera représenté par la suite.
La poutre bi-matériaux est découpée en 13 sous-domaines, le long de l’axe x, tandis que la sous-structuration de la poutre multiperforée fait intervenir 30 sous-domaines avec points multiples (voir figures 3.2 et 3.3).
Les nombres d’itérations du solveur de Krylov, cumulées sur les boucles de Newton globales ainsi que les incréments de chargement, sont répertoriées pour les trois im-pédances – S, K et 2S, – et les deux cas-tests dans les tableaux 3.3 et 3.4. Le choix d’un travail sur les itérations de Krylov est motivé par le lien fort existant entre elles et la quantité de communications du processus de résolution (voir à ce propos la section 5.1 du chapitre 2, où une explication plus détaillée de ce lien est donnée), que l’on cherche à minimiser grâce à une augmentation de la part des opérations locales.
Krylov Global Newton
load inc. 0.05 0.15 0.25 0.35 0.4 0.45 0.45 S 37 229 x x K 36 259 598 978 1357 1772 47 2S 37 266 580 891 1204 1514 39 C 74 296 633 970 1344 1795 48 Gains (%) 2S vs. K -3 -3 3 9 11 15 17 2S vs. C 50 10 8 8 10 16 19
TABLE 3.3 – Poutre bi-matériaux : itérations de Krylov cumulées sur les incréments de chargement, itérations de Newton globales cumulées
Le calcul des opérateurs tangents locaux, à chaque itération globale, est également une opération coûteuse qu’il est intéressant de limiter. Les nombres d’itérations du solveur de Newton global, cumulées sur les incréments de chargement, sont également répertoriés dans les tableaux 3.3 et 3.4, pour les deux cas-tests et les trois impédances d’interface – toutefois, seule la valeur des itérations de Newton globales cumulées au dernier incrément de chargement sera donnée, dans le souci d’éviter la redondance d’information, puisque dans ce cas précis, la diminution des itérations de Krylov liée à une meilleure impédance est fortement corrélée (quasiment proportionnelle) à une diminution des itérations de Newton globales.
Une quatrième approche est ajoutée à l’étude, notée C dans les deux tableaux de résultats, et correspondant au processus de résolution "classique" en mécanique non linéaire des structures : un algorithme de Newton pour le problème global non li-néaire, combiné à un solveur DD pour les problèmes tangents, dans le cas d’un grand nombre de degrés de liberté (voir section 2, chapitre 2). La différence principale entre
Krylov Global Newton load inc. 0.6 1 1.3 1.5 1.5 S 48 172 322 481 30 K 61 212 373 548 35 2S 48 170 300 438 28 C 73 222 385 561 36 Gains (%) 2S vs. K 21 20 20 20 20 2S vs. S 0 1 7 9 7 2S vs. C 34 23 22 22 22
TABLE3.4 – Poutre multiperforée : itérations de Krylov cumulées sur les incréments de chargement, itérations de Newton globales cumulées
cette méthode et le processus de sous-structuration et condensation non linéaires ré-side dans le caractère linéaire/non linéaire des algorithmes utilisés pour la résolution des équilibres locaux. La comparaison en résultant avec les approches S, K et 2S repré-sente ainsi le gain total pouvant être obtenu grâce à la méthode de sous-structuration et condensation non linéaires avec approche mixte, dans le contexte plus général des solveurs non linéaires.
Une première observation peut être établie en comparant les résultats obtenus avec l’impédance S dans le contexte non linéaire et ceux du contexte linéaire de la sec-tion précédente : si en non linéaire on ne pensait pouvoir, au début de ce chapitre, défi-nir analytiquement de meilleure impédance d’interface que le complément de Schur S, ce dernier perd bien le caractère optimal que lui conférait le contexte linéaire. Pour la poutre bi-matériaux par exemple, des divergences au niveau des algorithmes de New-ton locaux apparaissent dès les premiers incréments de chargements et conduisent à la divergence globale de l’algorithme. Ces instabilités locales sont causées par des ni-veaux anormalement hauts de plasticité cumulée au sein des sous-domaines, artefacts de la résolution – potentiellement causés par une impédance d’interface trop souple, permettant au matériau de se déformer plus que nécessaire.
Deuxièmement, bien que notre première hypothèse consistant à utiliser pour ex-primer l’impédance d’interface des approximations de S puisse alors être remise en question, l’expression additive 2S ainsi dérivée semble se comporter de façon très sa-tisfaisante, et même être plus performante que S (en sus d’offrir l’avantage d’un coût de calcul très réduit, comparé à celui de S). Les gains, en termes d’itérations de Krylov cumulées, par comparaison avec l’impédance d’interface classique K, varient de 15 à 20% à la fin de la résolution : une réduction qui devrait permettre une décroissance non négligeable du temps CPU, surtout pour des problèmes de grande taille où les communications entre processeurs peuvent devenir extrêmement chronophages. La
comparaison avec l’impédance d’interface S ne peut être effectuée que sur le cas de la poutre multiperforée, étant donnée la non convergence de la méthode avec l’impé-dance S pour la poutre bi-matériaux : les gains, pour l’approche 2S, atteignent 9% à la fin de la résolution – en termes d’itérations de Krylov cumulées. Cette valeur est assez faible, mais confirme l’idée que la nouvelle impédance 2S est finalement meilleure – à la fois plus stable et légèrement plus rapide – que l’optimum tangent, ce dernier étant de plus, comme précédemment mentionné, d’un coût de calcul trop élevé dans le contexte parallèle.
Remarque 5 : Le maillage de la poutre bi-matériaux comprend 25 789 degrés de liberté, et l’interface globale générée par sa structuration en 13 sous-domaines en comprend 984. Le maillage de la poutre multiperforée, quant à lui, comprend 30 515 degrés de liberté, et sa structuration en 30 sous-domaines génère une interface de 1641 degrés de liberté. Malgré la taille li-mitée de ces cas-tests, on peut espérer une certaine représentativité de calculs à plus grande échelle, notamment grâce au choix des nombres d’itérations de Krylov et de Newton en tant que critère de comparaison. Malheureusement, le code réalisé pour obtenir ces résultats est basé sur l’interpréteur Octave, dont la limite, en termes de nombre d’inconnues, ne nous a pas permis d’être plus pertinents du point de vue de la taille des problèmes testés. Une étude en termes de temps de calcul ne nous aurait pas non plus semblé pertinente dans ce contexte, pour deux raisons : la non optimisation de la partie MPI du code n’aurait pas été à l’avantage d’une diminution des communications, de même que les problèmes d’interface de petite taille, générant des communications all-to-all trop rapides.
La comparaison avec la méthode classique donne des résultats similaires pour les deux cas-tests : à la fin de la résolution, les gains varient de 16 à 22% pour les ité-rations cumulées de Krylov, et de 19 à 22% pour les itéité-rations cumulées de New-ton globales. Ce gain correspond à la performance globale de la méthode de sous-structuration et condensation non linéaires pouvant être obtenue avec l’approche mixte, comparée aux procédures de résolution classiques.
Remarque 6 : Les performances plutôt limitées des méthodes de sous-structu-ration et condensation non linéaires mixtes avec l’impédance d’interface K, comparées à la méthode classique de résolution, peuvent probablement être imputées à la difficulté de donner une bonne représentation des phénomènes lointains avec une impédance d’interface privilégiant les interactions proches ; elles devraient en effet prévaloir dans le cas d’hétérogénéités locales (poutre bi-matériaux) ou de structures élancées (poutre multiperforée).