Étapes de résolution

∂S(s) nl ∂u(s) b ⎞ ⎠∣u^(s)bk A(s)T du_Ak= ∑ s A(s)_dλ^(s) b_k = ∑ s A(s)_S(s) t_k A(s)T du_Ak

Une démonstration similaire permet de montrer ce résultat pour les deux autres ap-proches.

Les étapes principales du processus de résolution sont détaillées dans la suite pour les trois approches sus-introduites.

4.3 Étapes de résolution

Dans le cas primal, le problème tangent de l’algorithme de Newton (2.30) devient, à chaque itération et avec les notations de la section précédente :

(A^xS{ t_kAxT ) duA_k= −A^xSy nl(A^xT u_Ak; f_ext^y) (2.34) où l’opérateur S^(s)_t k = ^∂S(s)nl ∂u(s) b (u^(s)_b k = A(s)T

u_Ak; f_ext) est le complément de Schur tangent primal défini en (2.7).

Le second membre correspond à l’évaluation de problèmes de Dirichlet non li-néaires par sous-domaine, avec pour conditions aux limites le déplacement d’interface imposé u_Ak :

Trouver u^y_k tel que : ⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎩ (f_int^y (u^y_k ) + f_ext^y)_i = 0 t{_uy k = AxT u_Ak , puis : λ^y_b k≡ −(f_int^y (u^y_k ) + f_ext^y)_b Les déplacements u^y_k ainsi que les réactions nodales d’interface λ^y_b

k sont obtenus à partir des solutions de ces systèmes locaux – résolus en parallèle. Le second membre du problème tangent, i.e. le résidu non linéaire d’interface à l’itération k du solveur global de Newton, consiste en la non-vérification de l’équilibre des réactions nodales d’interface : Ax_λy

b_k = Ax_Sy nl(AxT

u_Ak; f_ext^y).

Le membre de gauche du problème tangent (2.34) est obtenu par assemblage des compléments de Schur primaux tangents, ce qui correspond à une formulation de mé-thode DD primale classique.

Ainsi, après une initialisation arbitraire de l’inconnue en déplacement u_A0, le proces-sus de résolution consiste-t-il à répéter les étapes :

(i) résoudre des problèmes de Dirichlet non linéaires locaux indépendants sur chaque sous-domaine (en parallèle)

(ii) déterminer le défaut d’équilibre des réactions nodales à l’interface

(iii) résoudre le problème tangent global condensé à l’interface par application d’un solveur BDD et actualiser le déplacement d’interface

4.3.2 Formulation duale

Dans le cas de l’approche duale, le problème tangent de l’algorithme de Newton (2.30) devient : ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎩ (Bx_F{ t_kBxT ) dλB_k+ Bx_R{ b dαy k = −Bx(F_nl^y(BxT λ_Bk; f_ext^y) + R^{_bαy k ) R{T b BxT dλ_Bk= 0 ^(2.35) où l’opérateur F_t^(s) k = ^∂Fnl^(s) ∂λ(s) b (λ^(s)_bk = B(s)T

λ_Bk; f_ext^(s)) est le complément de Schur dual local tangent en l’itéré λ_Bk, défini en (2.12).

De même que pour les méthodes de FETI classiques (voir section 1.2.7, chapitre 1), l’introduction d’un projecteur P_B sur l’espace Ker(R^{T

b BxT

) permet de rechercher la solution sous forme projetée P_Bdλ_Bk, afin de déterminer sa contribution dans un espace orthogonal à celui généré par les modes rigides – la contribution liée aux modes rigides étant captée à l’initialisation du solveur global :

P_B^T(Bx_F{ t_kBxT ) PBdλ_Bk = −PT BBx_Fy nl(BxT λ_B k; f_ext^y)

Le second membre du système (2.35) est obtenu par assemblage des solutions des équilibres locaux non linéaires par sous-domaine avec conditions aux limites de Neu-mann – réaction nodale d’interface imposée λ_Bk :

fy int(uy k ) + fy ext+ t^{T BxT λ_Bk = 0 (2.36)

La résolution – menée en parallèle – de ce système détermine les déplacements u^y_k , dont la discontinuité d’interface projetée PT

BBx_t{_uy k = PT

BBx_Fy nl(BxT

λ_Bk; f_ext^y) n’est autre que le second membre du problème tangent.

L’assemblage des compléments de Schur duaux locaux tangents en l’itéré λ^y_b k, cal-culés au moment de la construction du second membre, forme l’opérateur tangent du problème dual. On obtient ainsi la formulation duale classique d’une méthode DD.

Afin que les problèmes locaux de Neumann (2.36) soient bien posés, la condition d’admissibilité par rapport aux modes rigides (2.11) doit être vérifiée. Les incréments

P_Bdλ_Bk vérifient la condition d’admissibilité à zéro du problème (2.35), aussi ne reste-t-il qu’à ajouter une initialisation pertinente :

R{T

(f_ext^y + t{T BxT

λ_B0) = 0

En effet, la linéarité de la condition d’admissibilité implique que toute combinaison linéaire λ_B = λB0+ ∑kP_Bdλ_Bk, où λ_B0 est défini ci-dessus, vérifie (2.11). Cette condition sur λ_B0 correspond à l’initialisation du solveur FETI (voir algorithme 5) : on pose

λ_B0 = −QGB(GT

BQG_B)⁻¹G_B^Tf_ext où G_B et Q sont définis à la section 1.2.7 (chap. 1).

Ainsi, déterminer la solution du problème dual (2.14) passe par la résolution d’un problème grossier de type FETI pour initialiser l’inconnue λ_B, puis l’itération des étapes suivantes :

(i) résoudre des problèmes de Neumann non linéaires locaux indépendants sur chaque sous-domaine (en parallèle)

(ii) assembler le saut de déplacement aux interfaces

(iii) résoudre le problème tangent d’interface global par application d’un solveur FETI et actualiser la réaction nodale d’interface

Remarque 10 : L’initialisation peut être améliorée par une résolution complète du problème de FETI initial.

4.3.3 Formulation mixte

L’approche mixte pour la résolution du problème (2.24) produit le problème tangent suivant : (AxT (Ax_Q{ b AxT )⁻¹Ax− H_t^{_k) dµ^y_bk= H_nl^y(µ_b^y_k; f_ext^y, Q^{_b ) − AxT (Ax_Q{ b AxT )⁻¹Ax_µy b_k (2.37) où H^(s)_t k = ^∂Hnl ∂µ(s) b

(µ_b^(s)_k ; f_ext^y, Q^{_b ) est le complément de Schur mixte tangent en l’itéré µ^(s)_bk , défini par (2.23).

Le premier terme du second membre du problème (2.37) correspond à l’évaluation de problèmes locaux non linéaires par sous-domaine, avec conditions aux limites de Robin matérialisées par l’impédance d’interface Q^{_b ainsi que la réaction imposée aux interfaces µ^y_b k : fy int(u^y_k ) − t{T Q{ b t{_uy k + t{T µy b_k+ f_ext^y = 0

La résolution – effectuée en parallèle – de ces systèmes permet de déterminer le dé-placement u^y_k , dont on peut déduire le résidu d’interface mixte, équivalent au second membre du problème d’interface tangent, b^y_mk = u^y_bk− AxT

(Ax_Q{ b AxT

)⁻¹Ax_µy b_k.

La condensation mixte de la matrice de rigidité tangente, calculée en l’itéré u^y_k lors de l’évaluation du second membre, permet par assemblage de construire l’opéra-teur tangent de (2.37). Le membre de gauche de ce système correspond donc à une formulation mixte classique de solveur DD.

Après une initialisation arbitraire, la résolution du problème non linéaire mixte (2.24) passe par l’itération des étapes suivantes :

(i) résoudre sur chaque sous-domaine (en parallèle) des problèmes non linéaires locaux indépendants avec conditions aux limites de Robin

(ii) calculer et assembler le résidu d’interface mixte

(iii) résoudre le problème tangent d’interface global par application d’un solveur FETI-2LM et actualiser l’inconnue mixte d’interface

4.3.4 Interversion des solveurs linéaires

Pour chacune des trois formulations présentées ci-dessus, la procédure de résolu-tion alterne des résolurésolu-tions non linéaires locales sur chaque sous-domaine, avec diffé-rents types de conditions aux limites, et des résolutions tangentes aux interfaces pour lesquelles l’emploi de solveurs DD est adapté. Comme on le verra par la suite, le choix des conditions de transmission aux interfaces impacte fortement les résolutions non linéaires par sous-domaine. Il n’en va pas de même pour le problème tangent, puisque l’opérateur linéarisé est toujours associé à la matrice de rigidité tangente des sous-domaines : on peut donc a priori choisir n’importe quelle des trois formulations pour le problème tangent.

En effet, à partir des définitions (2.7), (2.12) et (2.23), on retrouve les relations classiques entre opérateurs tangents :

F{ t = S^{_t ^† H{ t = (S^{_t + Q^{_b )⁻¹ by d = F_t^{by p by m = H_t^{by p

Ces relations impliquent que malgré la spécificité de chaque formulation quant au ré-sidu obtenu par assemblage des solutions non linéaires locales, n’importe lequel des solveurs linéaires peut être employé pour la phase tangente du processus de résolu-tion. Typiquement, la formulation mixte présente des aspects intéressants pour les résolutions non linéaires, cependant elle n’est pas très utilisée dans le cadre des sys-tèmes linéaires, pour lesquels les formulations primale (BDD) ou duale (FETI) lui sont préférées, car plus standard et surtout munies de préconditionneurs naturels et effi-caces. Après les calculs locaux H_nl^y(µ^y_bk; f_ext^y, Q^{_b ), le résidu mixte bm^y_k= H_nl^y(µ_b^y_k; f_ext^y, Q^{_b )−

AxT

(Ax_Q{ b AxT

)⁻¹Ax_µy

b_k peut être assemblé et le second membre primal équivalent by

p_k = (S^{_tk+ Q_b^{) b^ym_ken découle directement. Le défaut d’équilibre résultant A^xby p_k peut alors être utilisé en entrée d’un solveur tangent BDD.

Cette propriété peut être observée plus directement en introduisant la formulation équivalente (2.25) :

∃! (dFB, dv_A) ∈Rn_B×Rn_A, dµ^y_b = BxT

dF_B+ Q^{_b AxT dv_A

dans le système tangent mixte (2.37). En effet, après multiplication à gauche par (S^{_tk+ Q^{_b ), le problème tangent devient :

(S^{_tk+ Q^{_b ) AxT dv_Ak− (Q^{_b AxT dv_Ak+ BxT dF_Bk) = (S^{_t + Q_b^{) b^ym_k = b^yp_k ⇒ S^{_tkAxT dv_Ak− BxT dF_Bk = bp_k (2.38) (2.39) On obtient donc le problème de type BDD :

(Ax_S{ t_kAxT

) dvA_k= Ax_by p_k

Les quantités suivantes peuvent ensuite être retrouvées à partir des données et solu-tions du problème primal :

(2.38)⇔(S^{_tk + Q^{_b ) dvA_k− dµ_b^y k = b^yp ⇒ dµ^y_b k = (S^{_tk + Q^{_b ) AxT dv_Ak− b^yp_k duy k = (K_t^{_k + t^{T Q{ b t{)⁻¹(f_ext^y + t^{T dµy b_k) duy b_k= t{_duy k dλy b_k= S^{_tkduy b_k− b^yp_k = dµ_b^y_k− Q^{_b duy b_k (2.40)

Remarque 11 : L’inconnue dF_Bne joue aucun rôle réel dans l’algorithme, mais elle peut également être post-processée :

dF_Bk= BxT†

(dµ_b^y_k− Q^{_b AxT dv_Ak) où B^xT†

est un opérateur d’assemblage pondéré (voir section 1.2.6, chapitre 1). La propriété (2.26) de séparation de l’espace Ry

b implique l’indépendance de dF_B par rapport au choix de la pondération, puisqu’on a toujours BxT†

BxT = I.

Remarque 12 : Il va de soi que si une formulation duale avait été préférée pour la résolution du problème tangent, dF_B aurait été l’inconnue principale d’un système de type FETI obtenu par multiplication à gauche de (2.37) par Bx_F{

t_k.