On a vu à la section 5.1.2 (chap. 2) que la méthode de sous-structuration et conden-sation non linéaires avec approche duale ne convergeait pas pour un certain décou-page en incréments de chargement donné, tandis que les approches primale et mixte convergeaient sans problème : des pas de chargement supplémentaires ont dû être insérés afin d’assurer la convergence. En effet, étant donné le comportement élasto-plastique parfait choisi pour le matériau de la plaque multiperforée, une discrétisation trop grossière du chargement produit des équilibres locaux à conditions aux limites de Neumann impossibles à résoudre par un algorithme de Newton : l’initialisation semble trop éloignée de la solution finale pour obtenir la convergence.
Une étude du même problème, avec ajout d’un écrouissage isotrope au comporte-ment élasto-plastique du matériau de la plaque multiperforée, a donc été menée, afin de mettre en évidence l’influence du type de conditions d’interface choisi sur la qualité du processus de sous-structuration et condensation non linéaires, en fonction du pro-blème considéré. Le but de cette section n’est plus de comparer les performances de la méthode classique avec celles de la méthode de sous-structuration et condensation non linéaires, mais uniquement, dans le cadre de cette dernière, de montrer la diffé-rence existant entre les approches primale et duale (on ne s’attachera pas non plus à adapter les critères d’arrêt pour optimiser la résolution).
5.2.1 Écrouissage isotrope linéaire
On envisage dans un premier temps un écrouissage de type isotrope linéaire, soit :
R(p) = σ0+ h.p (2.47)
où p représente la déformation plastique cumulée à un chargement donné, et la fonc-tion R(p) définit la limite élastique du matériau pour une plasticité cumulée donnée. Le paramètre h est appelé coefficient d’écrouissage linéaire.
Remarque 18 : Pour un matériau au comportement élasto-plastique parfait, on a simplement R(p) = σ0.
Le calcul de l’incrément de plasticité cumulée, à chaque itération de Newton locale, est effectué grâce à un algorithme de retour radial [Bonnet et al., 2014] sur chaque élément du maillage. L’algorithme se décompose en deux grandes étapes, à chaque itération n+ 1, connaissant l’état n :
1. à partir de l’incrément de déformation ∆εn et de l’état de contrainte déviato-rique sn, la loi de comportement permet de calculer une prédiction élastique en contrainte selas
n+1, et le critère de Von Mises associé σnelas,eq+1
2. à partir de la nouvelle prédiction élastique σnelas,eq+1 et de la déformation plastique cumulée à l’itération précédente pn, la fonction critère :
fnelas+1 ≡ f (σn+1elas, eq, pn) = σn+1elas,eq− R (pn)
peut être évaluée. Suivant le signe de sa valeur en (σnelas,eq+1 , pn), l’évolution du matériau reste élastique, ou au contraire est sujette à la plastification :
→ si felas
n+1 ≤ 0 : l’évolution reste élastique, la variable σn+1 = σelas
n+1 peut être calcu-lée en fonction de selas
n+1 et de la déformation εn, ∆εn; l’incrément de plasticité cumulé est alors nul : ∆pn= 0
→ si felas
n+1 > 0 : l’évolution devient élasto-plastique, et les trois étapes suivantes permettent de déterminer le nouvel état de contrainte :
(i) la condition de cohérence (i.e., géométriquement, la contrainte déviato-rique finale sn+1doit se trouver sur la surface limite définie par le critère de Von Mises dans l’espace des contraintes), soit encore :
σnelas,eq+1 − 3µ∆pn− R (pn+ ∆pn) = 0 (2.48) avec µ coefficient de Lamé du matériau, permet d’obtenir la variable ∆pn
(ii) l’incrément de déformation plastique ∆εp
n peut être déduit de l’incré-ment de plasticité cumulée ∆pn, ainsi que de l’état de contrainte dévia-torique élastique selas
n+1
(iii) l’état de contrainte σn+1 peut être calculé à partir des autres variables Pour l’écrouissage isotrope linéaire donné en (2.47), la condition de cohérence (2.48) devient :
σn+1elas,eq−3µ∆pn− (σ0+ h (pn+ ∆pn)) = 0 ⇒ ∆pn =σnelas,eq+1 −σ0− hpn
3µ+ h
Les résultats du tableau 2.7 correspondent à un coefficient d’écrouissage h = 107. Les critères d’arrêt tangent et locaux sont fixes : εK = εNL = 10−6; le critère d’arrêt global est de nouveau fixé à εNG = 10−5. Le chargement reste le même que pour le précédent cas-test. La plasticité cumulée varie de p = 0 à p = 0.0438 lorsque seul le sous-domaine central (numéroté 1) pastifie, puis elle augmente jusqu’à pmax= 0.1067.
Incrément de chargement ue 2ue 5ue 5.75ue 6.5ue Étendue de la non linéarité Élastique SD 1 SD 1-2 SD 1-3
Newton Global Primal/Classique 1 1 0.77 0.82 0.82 Dual/Classique 1 1 1 1.06 1.05 Mixte/Classique, Q(j)b =Ktneigh(bb j) 1 1 0.77 0.82 0.82 Mixte/Classique, Q(j)b =S(j)t opti 1 1 0.62 0.71 0.73 Krylov Primal/Classique 1 1 0.76 0.82 0.82 Dual/Classique 0.95 0.95 0.93 0.98 0.97 Mixte/Classique, Q(j)b =Ktneigh(bb j) 1 1 0.76 0.82 0.81 Mixte/Classique, Q(j)b =S(j)t opti 1 1 0.61 0.70 0.72 Local Newton Primal/Classique 1 2 2.62 2.82 2.86 Dual/Classique 1 2 3.54 3.88 4.05 Mixte/Classique, Q(j)b =Ktneigh(bb j) 1 2 2.62 2.82 3 Mixte/Classique, Q(j)b =S(j)t opti 1 2 1.85 2.24 2.41
TABLE2.7 – Itérations cumulées : ratios entre méthode sous-structurée et condensée non linéairement, et méthode classique, avec critères d’arrêt fixes, cas de
Les résultats du tableau 2.7 montrent clairement une amélioration des perfor-mances de la méthode de sous-structuration et condensation non linéaires avec ap-proche duale, bien qu’elles restent en-deçà des performances de la méthode classique : si les ratios d’itérations de Newton globales ainsi que de Krylov sont – avec l’intro-duction de l’écrouissage linéaire – équivalents pour ces deux méthodes, il n’en reste pas moins que des itérations locales additionnelles rendent la méthode duale moins efficace pour ce problème. Les méthodes primale et mixte restent, quant à elles, perfor-mantes comparées à la méthodes classique, surtout lorsque la plasticité reste localisée dans un seul sous-domaine (gains de 25 à 40% environ).
5.2.2 Écrouissage isotrope exponentiel
Un deuxième type d’écrouissage isotrope, dit exponentiel, est considéré ici, soit : R(p) = σ0+ R∞(1 − exp(−b.p))
La fonction R(p) définissant la limite élastique du matériau en fonction de la plasti-cité cumulée est à présent paramétrée par les réels R∞ et b : la figure 2.4 présente différents comportements d’écrouissage suivant la valeur de ces paramètres.
Afin de mieux comprendre l’influence de ces deux paramètres, on peut exprimer la contrainte en fonction de la plasticité cumulée. En effet, une fois la limite élastique at-teinte, la valeur de la contrainte dans le matériau doit appartenir à la surface limite définie par le critère de plasticité de Von Mises ; en notant εe la déformation maxi-mum élastique (εe = σ0/E = 0.002) et εp la déformation plastique atteinte au sein du matériau, on a donc au cours du cycle de charge :
∀ε > εe, σ(ε) = R(p) et p= ∫ ∣dεp∣ = εp= ε −εe
La pente à partir du point où le matériau atteint sa limite élastique(εe, σ0) peut donc être exprimée en fonction des paramètres de l’écrouissage :
dσ
dε (εe) = dR
dp (0)dp
dε = bR∞
D’autre part la valeur limite de la contrainte devient : lim
ε→∞σ = σ0+ R∞
Pour obtenir une contrainte limite valant une fois et demi la limite élastique initiale par exemple, on peut donc prendre :
0 0.5 1 1.5 2 2.5 ·10−2 0 2 4 6 8 ·105 ε σ lin h=1e7 b=10 b=50 b=100 b=150 (a) R∞= 210.103 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ·10−2 0 2 4 6 8 ·105 ε σ lin h=1e7 b=10 b=50 b=100 b=150 (b) R∞= 420.103 0 2.5 · 10−2 5 · 10−2 7.5 · 10−2 0.1 0 0.5 1 1.5 ·10 6 ε σ lin h=1e7 b=10 b=50 b=100 b=150 (c) R∞= 1.106
FIGURE2.4 – Comportement du matériau pour différents paramètres d’écrouissage Et pour obtenir une pente en εe valant un dixième de la pente initiale du régime élastique, on peut prendre :
b.R∞= 10 =E 21.106⇒ b = 100
On considèrera dans la suite un écrouissage avec les paramètres R∞ = 210.103 et b = 100. La forme exponentielle de l’écrouissage modifie la condition de cohérence de l’algorithme de retour radial :
σnelas,eq+1 − 3µ∆pn− (σ0+ R∞(1 − exp (−b. (pn+ ∆pn)))) = 0
Pour déterminer l’incrément de plasticité cumulée à chaque itération de la méthode de retour radial, on doit donc résoudre une équation non linéaire en ∆pn :
l’implémen-tation d’un algorithme de Newton est alors nécessaire, appelé pour chaque point de Gauss au cours de la résolution.
Afin de ne pas surcharger ce chapitre, seuls les résultats de la comparaison de l’approche primale et duale sur le cas-test précédent sont donnés dans le tableau 2.8. Le chargement a été légèrement augmenté sur la fin de la résolution, pour obtenir des valeurs de plasticité cumulée cohérentes avec les tests précédents :
uD = [ue, 2ue, 3ue 4ue 5ue 6ue 7ue]
La plasticité cumulée varie alors de p = 0 à p = 0.0385 lorsque seul le sous-domaine central 1 plastifie, puis augmente jusqu’à pmax = 0.1304 : la plasticité s’étend alors sur quatre sous-domaines.
Incrément de chargement ue 2ue 5ue 6ue 7ue
Étendue de la non linéarité Élastique SD 1 SD 1-2 SD 1-4
Newton global Primal 1 2 10 14 19 Dual 1 2 10 14 19 Krylov Primal 18 38 195 275 376 Dual 18 36 200 276 352 Newton locaux Primal 1 4 30 44 63 Dual 1 4 37 55 74
TABLE 2.8 – Itérations cumulées : comparaison entre la méthode primale et la méthode duale, cas de l’écrouissage exponentiel
On constate sur cet exemple que les méthodes primale et duale sont équivalentes, la méthode duale nécessitant légèrement moins d’itérations de Krylov, mais au prix de quelques itérations locales supplémentaires.