A(s) x = Kt(s)xx ∑sK(s) txx , Aˆ(s) j,x = Kt(s)xx ∑s≠ jK(s) txx (∀s ≠ j) , D˜(j)xx = (1 − ˜A(j)x )−1
Expression finale On retrouve ainsi finalement la structure de (3.4), permettant l’application de Sherman-Morrison et une résolution à moindre coût (voir 2.1 de ce chapitre). Nous proposons donc la nouvelle souplesse d’interface à deux-échelles :
(Qb, 2s(j) )−1 ≡ Ktneighbb,sl (j)−1+ ˜D(j)A(j)TG˜(j) A ( ˜GT ASAG˜ A)−1G˜(j)T A A(j)D˜(j) (3.11)
3 Résultats
3.1 Deux cas-tests
Les performances de la nouvelle expression (3.11) sont ici évaluées, sur la base de deux cas-tests numériques. Le premier est une poutre bi-matériaux soumise à un chargement de flexion, représentée sur la figure 3.2. Le second est une poutre homogène multiperforée, également sous sollicitation de flexion, et représentée sur la figure 3.3. Les paramètres matériau et géométriques choisis pour ces deux cas-tests sont répertoriés dans le tableau 3.1 : pour le premier cas-cas-tests, le matériau de faible module d’Young est choisi élastique, tandis que le comportement du matériau à module d’Young plus important – avec un ratio de presque 104 entre les deux – est élasto-plastique avec écrouissage isotrope linéaire. Concernant le deuxième cas-tests, l’unique matériau de la poutre homogène est choisi élasto-plastique avec écrouissage isotrope linéaire. Le chargement est, dans les deux cas, appliqué par déplacement imposé en x= L.
3.2 Analyse élastique
Une analyse préliminaire élastique permet de comparer une expression de l’impé-dance d’interface donnée à la valeur optimale de référence, simple à exprimer dans ce cadre : Q(j)b, lin, opti = S(j)l (voir section 1.1.1 de ce chapitre). Bien que le coût de calcul de ce paramètre soit, en situation réelle, bien trop élevé dans le contexte de résolutions parallèles, sa construction sera effectuée ici, afin de pouvoir comparer les différents résultats. Les sollicitations imposées seront choisies assez faibles pour que chaque matériau reste dans son domaine élastique : pour les poutres bi-matériau ainsi que multiperforée, l’intensité du déplacement imposé de flexion sera fixée à uD = 1.5 ∗ 10−3. Les deux impédances suivantes seront dans cette section comparées à la valeur de référence :
uD H L Ha mat´eriau 1 mat´eriau 2 x y
FIGURE 3.2 – Poutre bi-matériaux
uD H
L
x y
FIGURE 3.3 – Poutre multiperforée ○ Kbb, lneigh(j): voir (3.2)
○ Q(j)b, 2s : voir (3.11)
On rappelle ici que la formulation alternative choisie pour l’approche mixte de la méthode de sous-structuration et condensation non linéaires (voir 4.3.4 et algorithme 11, chapitre 2) intervertit les solveurs linéaires FETI-2LM et BDD : la résolution d’un problème linéaire par le biais de cette méthode serait ainsi totalement équivalente à celle d’une approche primale : au cours de la première – et seule en linéaire – ité-ration, la matrice d’impédance n’intervient pas ; les expressions (3.2), (3.11) et (3.1) ne peuvent ainsi être comparées par le biais de l’algorithme 11. Conséquemment à cette observation, un solveur FETI-2LM a été implémenté, afin de pouvoir résoudre le problème sous sa forme initiale (2.24) – dans le seul but d’effectuer une étude de performance des différentes impédances d’interface sur un problème linéaire. Ce sol-veur linéaire mixte permet de résoudre des problèmes en parallèle, avec conditions d’interface de Robin, cependant il ne dispose pas d’un problème grossier naturel : une stratégie d’augmentation serait nécessaire afin d’améliorer son extensibilité. Toute-fois, dans le cas d’une étude de la qualité des conditions de transmission inter-sous-structures, la dépendance critique des performances au nombre de sous-domaines ne
Poutre bi-matériaux Paramètres matériau
Matériau 1 Matériau 2 Young E1= 420e2 E2= 210e6 Coeff. Poisson ν1= 0.3 ν2= 0.3 Limite élastique σ02 = 420e3
Coeff. écrouissage h2= 1e3
Paramètres géométriques Longueur totale L= 13 Hauteur totale H= 2 Hauteur d’armature Ha= 0.25 Poutre multiperforée Paramètres matériau Young E= 210e6 Coeff. Poisson ν= 0.3 Limite élastique σ0= 420e3 Coeff. écrouissage h= 1e6
Paramètres géométriques
Longueur L= 10
Hauteur H= 1
Rayon r= 2/30
TABLE 3.1 – Paramètres géométriques et matériau
fera a priori que renforcer les différences, sans les dénaturer. #SD FETI-2LM #iterations Gain (%)
S K 2S 2S vs. K
3 2 1347 27 98
4 3 1265 38 97
7 6 3697 84 98
13 12 4393 342 92
(a) Poutre bi-matériaux
#SD FETI-2LM #iterations Gain (%)
S K 2S 2S vs. K 3 2 79 20 77 4 3 382 23 94 8 7 430 40 91 15 14 1265 113 91 (b) Poutre multiperforée
TABLE 3.2 – Comparaison des trois impédances d’interface : comportement linéaire Le tableau 3.2 récapitule les résultats des trois impédances d’interface sur les deux cas-tests présentés à la section précédente 3.1. Pour des raisons de clarté, les nota-tions simplifiées S, K et 2S sont utilisées pour les impédances Q(j)b, lin, opti, Ktneigh(j)
bb, l et
Q(j)
b, 2s respectivement. La décomposition en sous-domaines est pour l’heure effectuée uniquement selon l’axe x (voir figures 3.2 et 3.3).
Conformément à la théorie, dans le cas de l’emploi de l’impédance optimale linéaire S, le processus de résolution ne nécessite qu’un nombre d’itérations égal au nombre de sous-domaines moins un pour atteindre la solution. Étant donnée la répartition des sous-domaines (sans points multiples) ainsi que l’absence de problème grossier, ce taux de convergence est le meilleur que l’on puisse obtenir (avec un opérateur Q{b matricel, toutefois l’usage d’un opérateur affine permettrait de s’affranchir des ité-rations de propagation du second membre, voir 1.2.9, chapiter 1) : les conditions de transmission obtenues avec l’impédance d’interface S sont bien optimales.
Le choix classique K ne donne aucune information, dans les équilibres locaux, sur les interactions d’un sous-domaine avec la structure lointaine, et le nombre d’itéra-tions augmente en conséquence drastiquement avec le nombre de sous-structures.
La nouvelle expression (3.11) à deux échelles, comparée au choix classique K, per-met de réduire massivement le nombre d’itérations du solveur FETI-2LM : les gains varient de 77 à 98% sur l’ensemble de la résolution. La structure additive de 2S semble donc bien permettre l’introduction d’information globale dans la réponse de la struc-ture aux sollicitations locales. Bien entendu, l’absence de problème grossier ou de stratégie d’augmentation du solveur renforce les bénéfices du terme représentant les interactions lointaines dans l’expression (3.11) : à la section suivante, cette dernière sera replacée dans le contexte de résolutions multi-échelle.
Les performances de l’impédance 2S n’équivalent évidemment pas celles de l’im-pédance S, cependant l’augmentation constatée du nombre d’itérations de FETI-2LM n’est que d’environ dix fois leur valeur optimale, tandis qu’elle est de cent à un millier de fois la valeur optimale pour le choix K. On rappelle également que l’impédance d’in-terface S ne peut en pratique pas être calculée dans le contexte parallèle : l’expression 2S, au contraire, est très peu chère et simple à évaluer.