Analyse Bayésienne avec distribution a priori non-informative

standard avec un HR = 0.64 IC95%[0.43-0.95] (p = 0.026). La moyenne de la distribution

a posteriori empirique de l’effet du traitement, utilisant une distribution a priori

non-informative (Figure 4.1), est égale à -0.450, équivalent à un HR = 0.64 avec une

erreur standard (se) de 0.198, permettant de définir l’intervalle de crédibilité à 95% suivant

ICr95%[-0.842 ; -0.061] pour le Log(HR), équivalent à un ICr95%[0.43 ;0.94] pour le HR, ce

qui est cohérent avec le résultat de l’approche fréquentiste.

FIGURE 4.1 –Distribution a posteriori empirique du

Log(HR) de l’essai EE99-R2Loc,

estimé par un modèle de Cox Bayésien

Distribution a posteriori empirique de l’effet du traitement

(Log(HR)) estimée par un modèle de Cox Bayésien au

travers d’un processus MCMC, à partir des données

de l’essai EE99-R2Loc et d’une distribution a priori

non-informative (Log(H R) ∼ N(0, 100)). Sur l’axe des

abscisses sont représentés les bornes de l’intervalle

de crédibilité à 95% [Log(0.43) ;Log(0.94)], la médiane

(Log(0.64)), et la borne d’absence d’effet traitement

(Log(1)).

La Figure 4.2 représente la distribution d’une loi normale de moyenne (= -0.450) et

d’écart-type (= 0.198) estimés par l’analyse Bayésienne. À partir de cette distribution, la

probabilité a posteriori qu’il y ait un effet bénéfique du traitement, c’est-à-dire que l’effet

du traitement (Log(HR)) soit inférieur à zéro, est de 98.8% (aire grisée de la Figure 4.2,

Tableau4.3), ou de façon équivalente, le probabilité que le Log(HR) soit supérieur ou égal

à 0 (donc qu’il n’existe aucun effet bénéfique) est de 1.2%. Cette probabilité est cohérente

avec la p-valeur obtenue avec l’analyse fréquentiste qui, elle, correspond à la probabilité

d’observer ce résultat sous l’hypothèse nulle d’absence d’effet du traitement (0.012 × 2 =

0.024, proche de la p-valeur 0.026 du test bilatéral)

FIGURE 4.2 –Représentation de la probabilité

a posteriori de l’effet du traitement

P(Log(HR) < 0), dans l’essai EE99-R2Loc

Probabilité a posteriori de l’effet du traitement

(Log(HR)) estimée par l’analyse Bayésienne à partir

des données de l’essai EE99-R2Loc (fonction de

densité d’une loi normale de moyenne = -0.450 et

écart-type = 0.198) et d’une distribution a priori

non-informative (Log(H R)∼N(0, 100)). Dans cet essai

P(HR < 1) = 0.989, ce qui est cohérent avec la p-valeur

de 0.026 de l’analyse fréquentiste (0.012×2=0.024).

Sur l’axe des abscisses sont représentés les bornes de

l’intervalle de crédibilité à 95% [Log(0.43) ;Log(0.94)],

la médiane (Log(0.64)), et la borne d’absence d’effet

traitement (Log(1)).

L’essai IALT a également conclu à l’efficacité du traitement évalué avec un HR = 0.86

IC95%[0.76-0.98] (p = 0.023). La moyenne de la distribution a posteriori de l’effet

du traitement, estimée par l’analyse Bayésienne utilisant une distribution a priori

non-informative (Figure 4.3), est égale à -0.148, équivalent à un HR = 0.86, avec une

erreur standard se = 0.065, permettant d’estimer l’intervalle de crédibilité à 95% suivant

ICr95%[-0.276 ;-0.020] pour le Log(HR), équivalent à un ICr95%[0.76 ;0.98] pour le HR.

FIGURE 4.3 – Distribution a posteriori

empirique du Log(HR) de l’essai IALT,

estimé par un modèle de Cox Bayésien

Distribution a posteriori empirique de l’effet du

traitement (Log(HR)) estimée par un modèle de Cox

Bayésien au travers d’un processus MCMC, à partir des

données de l’essai IALT et d’une distribution a priori

non-informative (Log(H R)∼N(0, 100)). Sur l’axe des

abscisses sont représentés les bornes de l’intervalle

de crédibilité à 95% [Log(0.75) ;Log(0.98)], la médiane

(Log(0.86)), et la borne d’absence d’effet traitement

(Log(1)).

La Figure 4.4 représente la distribution d’une loi normale de moyenne (= -0.148) et

d’écart-type (= 0.065) estimés par l’approche Bayésienne. A partir de cette distribution, la

probabilité a posteriori que l’effet du traitement (Log(HR)) soit inférieur à zéro est de 98.8%

(aire grisée Figure4.4, Tableau4.3). Cette probabilité est cohérente avec la p-valeur obtenue

avec l’analyse fréquentiste (0.012 x 2 = 0.024, proche de la p-valeur 0.023 du test bilatéral).

FIGURE 4.4 –Représentation de la probabilité a

posteriori de l’effet du traitement

P(Log(HR) < 0), dans l’essai IALT

Probabilité a posteriori de l’effet du traitement

(Log(HR)) estimée par l’analyse Bayésienne à partir

des données de l’essai IALT (fonction de densité d’une

loi normale de moyenne = -0.148 et écart-type =

0.065) et d’une distribution a priori non-informative

(Log(H R) ∼ N(0, 100)). Dans cet essai P(HR < 1) =

98.8%, ce qui est cohérent à la p-valeur de 0.023 de

l’analyse fréquentiste (0.012×2=0.024). Sur l’axe des

abscisses sont représentés les bornes de l’intervalle

de crédibilité à 95% [Log(0.75) ;Log(0.98)], la médiane

(Log(0.86)), et la borne d’absence d’effet traitement

(Log(1)).

Bien que les deux essais aient des p-valeurs proches (p = 0.026 pour l’essai EE99-R2Loc et

p = 0.023 pour l’essai IALT), la taille d’effet de chaque traitement est très différente, comme

en témoigne déjà l’analyse fréquentiste avec des estimations de HR très différentes, 0.64 et

0.88 respectivement (Tableau4.1).

L’analyse Bayésienne permet de caractériser la taille de l’effet traitement par d’autres

mesures. Le Tableau 4.3 présente les probabilités a posteriori que le HR soit inférieur

à différents seuils, avec notamment le seuil équivalent au rejet de l’hypothèse nulle

(HR < 1) et les seuils équivalents aux hypothèses alternatives des essais IALT (HR < 0.85)

et EE99-R2Loc (HR < 0.60). Ainsi, dans l’essai IALT, la probabilité a posteriori d’un effet

du traitement inférieur à 0.85 n’est pas très importante (41.2%). La principale masse de

la distribution se situe entre 1 et 0.85 (P(1 < HR < 0.85) = 57.6%) ce qui montre un effet

du traitement très modeste. En revanche, l’essai EE99-R2Loc présente une probabilité

a posteriori de 68% pour un HR < 0.7, et de 38.4% pour un HR < 0.6, ce qui est très

encourageant.

Même si l’analyse fréquentiste donne certaines indications sur la taille d’effet, cet exemple

démontre que la p-valeur, souvent mal interprétée, ne renseigne en rien le lecteur sur la

taille d’effet du traitement et donc sur la probabilité d’un certain bénéfice pour le patient.

De plus, l’intervalle de confiance présenté dans une analyse fréquentiste, même s’il semble

être égal à l’intervalle de crédibilité lorsqu’une distribution a priori non-informative est

utilisée, ne peut être interprété de la même manière sur le plan formel.

Essais P(HR < 1) P(HR < 0.85) P(HR < 0.7) P(HR < 0.6)

EE99-R2Loc 0.988 0.927 0.684 0.384

IALT 0.988 0.412 < 0.001 < 0.001

TABLEAU 4.3 – Probabilités a posteriori d’avoir un certain bénéfice

pour les essais EE99-R2Loc et IALT

Au terme de l’essai HERBY, les investigateurs ont conclu à l’inefficacité du traitement, avec

une tendance délétère, comparé au traitement contrôle avec un HR = 1.44 IC95%[0.90-2.30]

(p = 0.132). L’effet du traitement a posteriori, estimé par l’analyse Bayésienne utilisant une

distribution a priori non-informative (Figure4.5), est égal à 0.364, correspondant à un HR

= 1.44, avec une erreur standard se = 0.241, permettant d’estimer l’intervalle de crédibilité

à 95% suivant ICr95%[-0.105 ; 0.839] pour le Log(HR), équivalent à ICr95%[0.90 ;2.31].

FIGURE 4.5 – Distribution a posteriori

empirique du Log(HR) de l’essai HERBY,

estimée par un modèle de Cox Bayésien

Distribution a posteriori empirique de l’effet du

traitement (Log(HR)) estimée par un modèle de Cox

Bayésien au travers d’un processus MCMC, à partir des

données de l’essai HERBY et d’une distribution a priori

non-informative (Log(H R)∼N(0, 100)). Sur l’axe des

abscisses sont représentés les bornes de l’intervalle

de crédibilité à 95% [Log(0.90) ;Log(2.31)], la médiane

(Log(1.43)), et la borne d’absence d’effet traitement

(Log(1)).

La Figure 4.6 représente la distribution d’une loi normale de moyenne (= 0.364) et

d’écart-type (= 0.241) estimés par l’approche Bayésienne.

À partir de cette distribution, la probabilité a posteriori que l’effet du traitement (Log(HR))

soit inférieur à zéro est de 6.5% (aire grisée Figure4.6). Cette probabilité est cohérente avec

la p-valeur obtenue avec l’analyse fréquentiste 0.065×2=0.130 proche de la p-valeur 0.132

du test bilatéral.

De plus, la probabilité d’un effet délétère tel que le risque d’événement est augmenté de

20% (HR > 1.2) est de 77.5%. Cette probabilité reste même assez élevée (54.5%) pour un

HR > 1.4 (risque d’événement augmenté de 40%).

FIGURE 4.6 –Représentation de la probabilité a

posteriori de l’effet du traitement

P(Log(HR) < 0), dans l’essai HERBY

Probabilité a posteriori de l’effet du traitement

(Log(HR)) estimée par l’analyse Bayésienne à partir

des données de l’essai HERBY (fonction de densité

d’une loi normale de moyenne = 0.364 et écart-type =

0.241) et d’une distribution a priori non-informative

(Log(H R) ∼ N(0, 100)). Dans cet essai P(HR < 1) =

0.065, ce qui est cohérent à la p-valeur de 0.132 de

l’analyse fréquentiste (0.065×2=0.130). Sur l’axe des

abscisses sont représentés les bornes de l’intervalle

de crédibilité à 95% [Log(0.90) ;Log(2.31)], la médiane

(Log(1.43)), et la borne d’absence d’effet traitement

(Log(1)).

4.3.2 Analyse Bayésienne avec distributions a priori archétipales :

Dans le document Approche Bayésienne de la survie dans les essais cliniques pour les cancers rares (Page 123-130)