Nous avons vu dans la section précédente que de nombreux événements de méso-échelle peuvent venir perturber la position moyenne de la veine de CN. On peut noter par exemple les événements de Mars-Avril 2011 ou de Février-Mars 2012 visibles sur l’évolution temporelle de la vitesse radiale sur une section Nord Sud particulière (Fig.3.17(a)). Nous remarquons un décollement de la côte de la veine de CN. AvecGuihou et al.(2013), nous nous sommes intéressés en particulier à l’événement de Mars-Avril 2011, qui avait également été observé in-situ lors de la campagne PHYOCE2011. L’article, présenté en AnnexeA, s’intéresse à l’analyse du déroulement temporel de cet événement de méso-échelle, qui correspond à un méandre du CN, en s’appuyant sur différentes plate-formes d’observation par télédétection (radar HF, SST, Chl-a) et in-situ (CTD, ADCP, flotteurs lagrangien) couplées à des simulations numériques haute-résolution four-nies par GLAZUR64.
Cette analyse combinée observations/modèle se montre particulièrement intéressante pour combler les lacunes de chacun des systèmes. Le modèle permet de représenter l’évolution de l’état de l’océan en trois dimensions et les observations permettent de s’assurer du réalisme des simulations pour la reproduction des phénomènes de méso-échelles.
Troisième partie
Assimilation de vitesses de surface
mesurées par radar HF
Chapitre 4
Généralités sur l’assimilation de
données
L’assimilation de données est l’ensemble des techniques qui permettent de fusionner des don-nées expérimentales et des dondon-nées issues de simulations numériques pour obtenir une estimation optimale de l’état vrai d’un système. Elle permet en particulier d’obtenir des simulations plus réalistes grâce à leur correction par les observations. Elle peut également être utilisée pour réa-liser des études d’observabilité et pour l’optimisation des systèmes d’observation. L’assimilation de données a un large champ d’applications en géophysique, en particulier en météorologie et en océanographie pour lesquelles de nombreuses méthodes ont été développées parallèlement. Ce constat est également valable pour l’assimilation des données de vitesses mesurées par radars courantométriques, en plein essor depuis les années 1990. Ce chapitre a pour objectif d’introduire les principales notions de l’assimilation de données et de préciser les notations qui sont utilisées dans la suite.
Les méthodes d’assimilation les plus courantes sont présentées et nous nous attardons sur les méthodes stochastiques dont une implémentation particulière est utilisée dans la suite pour assimiler les vitesses mesurées par HFR. Nous nous appuyons sur les manuscrits de thèse deBarth
(2004),Daget (2008),Duchez(2011) etNeveu(2011) qui présentent de manière pédagogique les méthodes d’assimilation et se réfèrent aux nombreux travaux de la littérature.
Ce chapitre a également pour objectif de donner les notions nécessaires à l’assimilation des mesures courantométriques par radar HF dont une revue des études est également présentée.
4.1 Définitions des variables et des erreurs associées
Pour formaliser le problème de l’assimilation de données, il est nécessaire d’expliciter les nota-tions dont une unification a été proposée parIde et al.(1997). Les notations et leur signification sont résumées dans le Tab.4.1.
Vecteur d’état
L’état du modèle est défini par le vecteur d’état, de dimension n, qui contient une série de nombres associés aux paramètres calculés par le modèle. De manière générale, ce vecteur d’état
104 Chapitre 4. Généralités sur l’assimilation de données
est noté x et peut être multi-varié. Il contient généralement les variables pronostiques du modèle (e.g. température, salinité, vitesses, élévation de surface...).
L’état réel du système, xt
c varie de manière continue dans l’espace et le temps. Avec les modèles ou les observations, nous n’avons accès qu’à des informations discrètes. Nous essayons alors d’estimer le vecteur d’état xt, appelé état vrai, qui correspond à la projection de xt
c de l’espace continu vers l’espace discret et qui est la meilleure estimation de l’état réel. Si nous notons Π ce projecteur, alors
xt= Πxtc (4.1)
Nous définissons également l’ébauche, xb, qui correspond à la première estimation de l’état vrai. Cette quantité est parfois dénommée first guest ou background. L’ébauche est précisément la quantité qui est optimisée par l’assimilation des données pour obtenir l’état analysé, ou sim-plement l’analyse, qui est notée xa. L’état prévu ou prévision, notée xf, est obtenue en utilisant un modèle d’évolution.
Cependant l’ébauche (respectivement l’analyse, la prévision) contient des incertitudes repré-sentées par l’erreur d’ébauche ǫb (respectivement d’analyse ǫa, de prévision ǫf) qui représente l’écart entre l’ébauche (respectivement l’analyse, la prévision) et l’état vrai, tel que
ǫa,b,f = xa,b,f − xt (4.2)
En pratique ces erreurs sont estimées à partir de densités de probabilité dont sont déduites différentes quantités statistiques, comme la moyenne et la variance. De par la nature des pro-blèmes physiques étudiés, des distributions gaussiennes sont souvent utilisées pour représenter les fonctions de densité de probabilité des erreurs.
Les covariances d’erreur d’ébauche Pb, d’analyse Pa et de prévision Pf sont définies par
Pa,b,f = E[(ǫa,b,f − E[ǫa,b,f])(ǫa,b,f − E[ǫa,b,f])T] (4.3)
Dans un système multidimensionnel, les covariances sont décrites par des matrices carrées symétriques de dimension n × n. La diagonale d’une matrice de covariance contient les variances de chaque variable du vecteur d’état et les éléments non diagonaux contiennent les covariances entre les différentes variables du vecteur.
Vecteur de contrôle
Dans certaines applications, il n’est pas judicieux d’effectuer l’analyse dans l’espace du vec-teur d’état. Ainsi le vecvec-teur de contrôle représente les paramètres du modèle que l’on cherche à estimer et peut inclure, par exemple, des valeurs de coefficients, des forçages atmosphériques ou océaniques. Sa dimension est inférieure à celle du vecteur d’état, permettant de réduire les coûts de calcul.
Opérateur modèle
L’opérateur modèle est une fonction a priori non linéaire, notée M, qui représente les équations d’évolution d’un système dynamique. Ainsi l’état xi+1à l’instant ti+1peut être décrit en fonction
4.1 Définitions des variables et des erreurs associées 105
de l’état xi à l’instant ti en utilisant l’opérateur modèle Mi→i+1 tel que
xi+1= Mi→i+1(xi) (4.4)
La solution obtenue contient également des erreurs ηi qui peuvent s’écrire
ηi = xti+1− Mi→i+1 xti (4.5)
et dont la matrice de covariance d’erreur, de dimension n × n, sera définie par
Q= E[(ηi− E[ηi])(ηi− E[ηi])T]. (4.6)
Les erreurs du modèle représentent tous les processus non modélisés, en partie à cause des hypothèses simplificatrices nécessaires pour la résolution des équations d’évolution. Ces erreurs proviennent également de processus sous-maille, ou des différents paramètres du modèle (coeffi-cients de viscosité, de frottement, forçages atmosphériques ou océaniques, bathymétrie ...).
Observation
Le vecteur d’observation yo, de dimension p, est défini comme la somme d’observations réelles yct = Hc(xtc) issues de la projection de l’état réel du système où Hc représente l’opérateur d’ob-servation continu, et de l’erreur de mesure ǫm.
yo= ytc+ ǫm (4.7)
yo= Hc(xtc) + ǫm (4.8)
avec4.1, on peut réécrire 4.8sous la forme
yo = Hc(xt) + ǫm+ ǫr (4.9)
où l’erreur de représentativité, ǫr = Hc(xtc)−Hc(Π(xtc)), représente la partie non résolue de l’état réel1. L’équation4.9peut s’écrire
yo= H(xt) + ǫm+ ǫr+ ǫi (4.10)
où H est l’opérateur discret d’observation, a priori non-linéaire, et ǫi = H(xt) − Hc(xt) l’erreur associée.
La somme des erreurs de mesure, de représentativité et de discrétisation de l’opérateur d’ob-servation est appelée erreur d’obd’ob-servation et est notée ǫo.
ǫo= ǫm+ ǫr+ ǫi (4.11)
La covariance d’erreur d’observation est décrite par une matrice de covariance, de dimension
1. Oke and Sakov (2008) présentent une approche pour estimer l’erreur de représentativité sur différentes variables.
106 Chapitre 4. Généralités sur l’assimilation de données
p × p, définie par
R= E[(ǫo− E[ǫo])(ǫo− E[ǫo])T] (4.12)
Écart entre les observations et leurs équivalents modèle
Le vecteur d’écart entre les observations et leurs équivalents modèle yo − H(x) est appelé innovation quand le vecteur d’état est l’ébauche, et résidu quand le vecteur d’état est l’analyse. Ces deux vecteurs permettent de mesurer l’écart aux observations et de quantifier l’impact de l’assimilation de données sur cet écart (Talagrand,2003).
Table4.1– Définitions des différents vecteurs et des erreurs et covariances d’erreur associées. Les dimensions des espaces du vecteur d’état et des observations sont également indiquées.
Nom Définition Dimension
Vecteur d’état vrai xt n
Vecteur d’état d’ébauche xb n
Vecteur d’état d’analyse xa n
Vecteur d’observation yo p
Opérateur modèle M
-Opérateur d’observation H
-Erreur modèle ηi = xi+1− Mi→i+1(xi) n
Covariance d’erreur modèle Q= E[(ηi− E[ηi])(ηi− E[ηi])T] n × n
Erreur d’ébauche ǫb = xb− xt n
Covariance d’erreur d’ébauche Pb= E[(ǫb− E[ǫb])(ǫb− E[ǫb])T] n × n
Erreur d’observation ǫo = yo− H(xt) p
Covariance d’erreur d’observation R= E[(ǫo− E[ǫo])(ǫo− E[ǫo])T] p × p
Erreur d’analyse ǫa= xa− xt n
Covariance d’erreur d’analyse Pa= E[(ǫa− E[ǫa])(ǫa− E[ǫa])T] n × n