2.3.2.1 Detente adiabatique
a) Travail produit par le moteur pneumatique
D’après la première loi de la thermodynamique (équation (2.1)) appliquée à l’étage de dé-tente, on déduit puissance produite pendant la détente ;
W˙ =m˙m(h3−h4) (2.34)
Où ˙mm est le débit d’air traversant l’étage de détente,h3enthalpie de l’air à l’entrée eth4 celle à la sortie de l’étage de détente.
2.3 Analyse énergétique du système de stockage d’électricité par air comprimé à petite échelle
b) Rendement isentropique du moteur Il est donné par la relation ;
ηI s,m=W˙réel,m
W˙I s,m
= h3−h4 h3−h4,I s
(2.35) Oùh4,I sest l’enthalpie de l’air à la sortie de l’étage de détente si la transformation avait été isentropique etηI s,m est le rendement isentropique de l’étage de détente.
c) Puissance mécanique développée par l’étage de détente
Puissance issue de la détente de l’air dans l’étage de détente n’est pas entièrement conver-tie en énergie mécanique du fait des pertes mécaniques dues aux frottements. On définit donc le rendement mécanique (ηmm) qui permet de quantifier la puissance mécanique net disponible sur l’arbre du moteur et susceptible d’être converti par le générateur qui lui sera couplé en énergie électrique. Cette puissance nette (Pmec,m) disponible sur l’arbre de du moteur est donnée par la relation ;
Pmec,m=ηm,cW˙réel,m=ηmmηI s,mm˙m¡
h3−h4,I s¢
(2.36) Oùηm,m est le rendement mécanique du moteur pneumatique et ˙mm le débit d’air du mo-teur.
d) Puissance électrique produite par le générateur couplé au moteur pneumatique
Connaissant le rendement électrique du générateur électrique (ηel c,G), on peut déduire la puissance électrique produite en utilisant la relation(Pel c,G) :
Pel c,G=ηel c,GηmmηI s,mm˙m¡
h3−h4,I s¢
(2.37) e) Pression du gaz à la sortie de l’étage de détente
Connaissant le taux de détente de l’étage de détente (β=P3
P4
), on déduit la pression de l’air à la sortie de l’étage de compression par la relation suivante :
P4=P3
β (2.38)
f ) Température de l’air à la sortie de l’étage de détente
L’équation (2.7) peut être réécrite pour l’étage de détente de la Figure2.5afin de calculer la variation d’entropie de cette transformation. On obtient alors l’équation ;
S4(T4,P4)−S3(T3,P3)=S0(T4)−S0(T3)−Rl n(P4 P3
) (2.39)
L’équation (2.7) nous permet de déterminer pour une transformation isentropique, le pa-ramètreS0à la température de sortie de l’étage de détente au moyen de l’équation (2.40).
Une fois ce paramètre déterminé, on remonte à la température isentropique de l’air à la sor-tie de l’étage de détente (T4,I s) au moyen des tables thermodynamiques (Table A-22 de la référence111, p.927)de même qu’à son enthalpie à cette température.
∆S=0⇒S0(T4,I s)=S0(T3)+Rl n µ1
β
¶
(2.40) L’équation (2.41) permet en s’aidant de l’équation (2.35), de déterminer l’enthalpie à la tem-pérature réelle de sortie de l’air de l’étage de détente. Puis, de remonter à la temtem-pérature
réelle de l’air (T4) à la sortie de l’étage de détente au moyen des tables thermodynamiques (Table A-22 de la page 927 dans la référence [111]).
h4=h3−ηI s,m¡
h3−h4,I s¢
(2.41) 2.3.2.2 Détente non adiabatique ; approche polytropique
L’analyse de ce type de détente permet de déterminer entre autres paramètres, la chaleur échangée avec l’extérieur pendant une telle détente. Le développement de Giquel [91] concernant la com-pression présenté au paragraphe2.3.1.2est valable pour la détente non adiabatique moyennant quelques ajustements.
a) Méthode directe de calcul d’une détente non adiabatique ; l’exposant polytropique "m"
de l’étage de détente ainsi que le rendement polytropique "ηm" sont connus
1. La pression de l’air à la sortie de l’étage de détente est calculée à la l’aide de l’équa-tion (2.38).
2. La température à la sortie de l’étage de détente est donnée par l’équation (2.42). Oùm est l’exposant polytropique de l’étage de détente.
T4=T3 3. Une fois la température de sortie calculée, on détermine le paramètre caractérisant la
détente non adiabatique réversible "α0" par la relation [91] ;
α0=
4. Le travail de détente non adiabatique réversible est calculé au moyen de la relation ; Wr,m= 1
α0(h3−h4) (2.44)
oùh4 est l’enthalpie de l’air à la sortie de l’étage de détente déterminé connaissant sa température à cet état en utilisant les tables thermodynamiques (la Table A22 par exemple111, p.927).
5. Le travail massique de détente non adiabatique réelWréel,m est calculé à l’aide de l’équation (2.45) connaissant le rendement polytropiqueηm.
Wréel,m=ηm
α0 (h3−h4) (2.45)
6. La chaleur massique échangée avec l’extérieur est calculée au moyen de la relation ; Qm=Wréel,m−(h3−h4)=
µηm
α0 −1
¶
(h3−h4) (2.46)
7. La puissance électrique produite (Pel c,G) par le générateur couplé au moteur pneuma-tique non adiabapneuma-tique est donc déterminée connaissant les rendements mécanique (ηmm) et électrique (ηel c,G) de ce dernier ;
Pel c,G=m˙mηmmηel c,GWréel,m=m˙mηmmηel c,G(h3−h4) (2.47)
2.3 Analyse énergétique du système de stockage d’électricité par air comprimé à petite échelle
b) Méthode inverse de calcul d’une détente non adiabatique ; la température de l’air à la sor-tie de l’étage de détente est connue
1. L’exposant polytropique (m) est obtenu en s’aidant de l’équation (2.42) par la relation ;
m=
2. Le paramètreα0 caractérisant la détente non adiabatique réversible est donc calculé au moyen de l’équation (2.43).
3. Si la chaleur échangée avec l’extérieur (Qm) est connue, le rendement polytropique du compresseur est déterminé au moyen de l’équation (2.49)
ηm=α0[Qm+(h3−h4)]
(h3−h4) (2.49)
Puisqu’il est très souvent difficile de mesurer cette chaleur échangée avec l’extérieur.
Il est donc préférable d’utiliser à ce niveau la méthode directe qui consiste à utiliser le rendement polytropique du moteur pour calculer cette chaleur. On démontre que si la chaleur massique est constante pendant la détente d’un gaz parfait, une relation existe entre l’exposant polytropique (m), le rendement polytropique (ηm) et la chaleur massique à pression constant (cp) [91,92,114]. Elle est donnée par l’équation (2.50)
m−1 m =Rηm
cp
(2.50) OùRest la constante des gaz parfait. Cette approximation du rendement polytropique dans le cas où il n’est pas fourni par le constructeur permet de déduire la chaleur échangée avec l’extérieur au moyen de l’équation (2.46).
4. Le travail réel de compression est déterminé en utilisant l’équation (2.45).
5. La puissance électrique absorbée (Pel c,G) par le générateur couplé au moteur pneuma-tique non adiabapneuma-tique est donc déterminée connaissant les rendements mécanique (ηmm) et électrique (ηel c,G) de ce dernier par l’équation (2.47).
2.3.3 Analyse énergétique du réservoir de stockage d’air comprimé
La modélisation du système de stockage vise à déterminer entre autres le rendement global du système. Or, la détermination de ce rendement dépend de la quantité d’énergie totale stockée et produite pendant la décharge. Dans la modélisation du compresseur et du moteur, nous pouvons remarquer que ces énergies totales s’obtiennent en multipliant la puissance électrique par la du-rée totale de chacune des deux phases (charge, décharge). Par conséquent, l’analyse énergétique du remplissage des bouteilles d’air comprimé nous permet principalement de déterminer la du-rée de la phase de stockage (remplissage du réservoir de stockage d’air comprimé) et de la phase de déstockage (décharge du réservoir de stockage d’air comprimé). Parallèlement, cette analyse nous permet d’avoir en phase de stockage, une estimation de la température, de la pression et de la masse d’air stocké dans le réservoir puis, en phase de décharge, d’avoir une estimation du profil de température de l’air détendu qui sort des bouteilles. Ce profil de température est un fac-teur influençant la puissance développée par le mofac-teur. En effet si nous regardons l’équation (2.37 ou2.47), nous constatons que pour augmenter la puissance développée, l’un des paramètres sur lequel nous pouvons jouer est l’enthalpie de l’air à l’entrée du moteur. La connaissance de la tem-pérature à la sortie des bouteilles pendant la décharge nous permet d’estimer la quantité de cha-leur requise pour préchauffer l’air à l’entrée du moteur afin d’augmenter l’efficacité de la détente.
Quelques hypothèses supplémentaires sont faites dans ce paragraphe à savoir ;
• Le réservoir de stockage d’air comprimé est une bouteille sous pression unique de forme cylindro sphérique, verticale et de volume totaleVt. Sont diamètre intérieur est notéDt
• La paroi dudit réservoir est composée d’une épaisseur unique d’acier
• Les orifices d’entrée et de sortie d’air sont au sommet de celui-ci et ont pour diamètre res-pectifdi nt etdtout
• La référence de l’énergie potentielle est prise au fond du réservoir, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’air contenu dans le réservoir (système ouvert) sont négligeables devant son énergie interne
• Le débit d’air entrant dans le réservoir pendant le remplissage est celui du compresseur ( ˙mc) et celui sortant pendant la décharge est celui du moteur pneumatique ( ˙mm).
• La température de l’air entrant dans le réservoir pendant le remplissage est celle qu’il avait à la sortie du dernier refroidisseur placé après le dernier étage de compression (Tc,ni n). Où "n"
est le numéro du dernier étage de compression correspondant également à celui du dernier refroidisseur.
• La pression d’entrée de l’air comprimé provenant du compresseur est celle délivrée par le compresseur soitPc,nout=P0×πn; les étages de compression étant censés avoir le même taux de compression afin de minimiser le travail de compression [92]. OùP0est la pression at-mosphérique.
• Les phases de remplissage et de décharge sont découplées ; pendant le remplissage, le mo-teur est à l’arrêt et pendant la décharge le compresseur est lui aussi à l’arrêt.
Soit la Figure2.6représentant le modèle du réservoir de stockage d’air comprimé où,m,Pet T représentent respectivement la masse, la pression et la température de l’air comprimé contenu dans le réservoir. ˙QC ASt représente la chaleur échangée entre l’air comprimé et l’environnement extérieur (CASt désigne ici ; "Compressed Air Storage tank").