Analogues du crit` ere de Harrison

Dans cette section, nous ´etablissons des r´esultats analogues au crit`ere de Harrison 6.1.1 pour les extensions quadratiques munies de leurs automorphismes non triviaux et pour les alg`ebres de quaternions `a division munies de leurs involutions canoniques.

6.3.1

Cas des extensions quadratiques

On d´emontre le th´eor`eme 6.1.3 qui est similaire au th´eor`eme 6.1.1 tant dans son ´enonc´e que dans sa preuve :

Th´eor`eme Soient k et l deux corps de caract´eristique diff´erente de 2. Soit K = k(√a) (resp. L = l(√b)) une extension quadratique de k (resp. l) munie de son automorphisme non trivial σa (resp. σb). Alors, les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(1) W (K, σa)' W (L, σb) en tant qu’anneaux.

(2) Il existe un isomorphisme de groupes t : k∗/NK/k(K∗)→ l∗/NL/l(L∗) envoyant −1 sur

−1 tel que la forme quadratique hha, x, yii est hyperbolique sur k si et seulement si la forme quadratique _{hhb, t(x), t(y)ii est hyperbolique sur l pour tous x, y ∈ k}∗.

Au cours de la preuve, nous aurons besoin des deux lemmes suivants.

Lemme 6.3.1. Avec les mˆemes notations que dans la sous-section 3.2.2, le discriminant `

a signe induit un isomorphisme de groupes d_± : I1(K, σa)/I2(K, σa) ' k∗/NK/k(K∗) (et

idem en rempla¸cant a par b, k par l et K par L). Preuve. Nous savons que

est un morphisme de groupes de noyau I2(K, σa). Si b est un repr´esentant de b ∈

k∗/NK/k(K∗), on a :

d_±(_{h1, −bi) = (−1)}1NrdM2(K)/K(h1, −bi) = −NrdK(−b) = b,

d’o`u l’on d´eduit la surjectivit´e de d_±. _ Nous consid´erons W (K, σa) et W (L, σb) en tant qu’anneaux donc I1etI2en sont des id´eaux.

De plus, ces id´eaux sont reli´es de la fa¸con suivante : Lemme 6.3.2. (I1)2 = I2.

Preuve. Un simple calcul de discriminant `a signe montre l’inclusion (I1)2 ⊆ I2.

R´eciproquement, si φ _{∈ I}2 avec φ =ha1,· · · , a2si, ai ∈ k∗, i = 1,· · · , 2s, alors

1 = d_±(φ) = (₋₁₎2s(2s2−1)

(

2s

Y

i=1

ai

)

∈ k∗/NK/k(K∗).

Nous proc´edons par r´ecurrence sur s.

Si s = 1 et φ _{' ha, bi alors −ab = 1 ∈ k}∗/NK/k(K∗) et donc −a = b ∈ k∗/NK/k(K∗).

Ainsi, φ =_{ha, −ai et φ ∈ (I}1)2.

Si s = 2 et φ_{' ha, b, c, di alors d = abc ∈ k}∗/NK/k(K∗) et

φ_{' hai ⊗ h1, ab, ac, bci ' hai ⊗ h1, abi ⊗ h1, aci} puis φ_{∈ (I}1)2.

Supposons s_{≥ 3. On peut ´ecrire φ = ha, b, ci⊥φ}0 puis φ =_{ha, b, c, abci} | {z } α ⊥ (φ0⊥h−abci) | {z } β ∈ W (K, σa).

Par hypoth`ese, d_±(φ) = 1 et d_±(α) = 1 donc d_±(β) = 1. Par r´ecurrence, β _{∈ (I}1)2 puis

φ_{∈ (I}1)2 ce qui termine la preuve. 

Preuve de 6.1.3 : (1)_{⇒ (2) : Soit Φ : W (K, σ}a)' W (L, σb) un isomorphisme d’anneaux.

On sait, d’apr`es la proposition 3.2.2, que I1(K, σa) est un id´eal d’indice 2 (donc maximal)

de W (K, σa). I1(K, σa) est en fait l’unique id´eal d’indice 2 de W (K, σa). En effet, si I0

est un id´eal d’indice 2 de W (K, σa) alors h1i /∈ I0 sinon I0 = W (K, σa). De plus, quel

que soit a _{∈ k}∗, _{hai /∈ I}0 sinon _{hai ⊗ hai = h1i ∈ I}0 ce qui est faux. Soient maintenant hai, hbi ∈ W (K, σa). Comme I0 est d’indice 2, on a

hai, hbi /∈ I0 ⇒ hai⊥hbi = ha, bi ∈ I0.

Φ est un isomorphisme d’anneaux donc Φ

(

I1(K, σa)

)

est un id´eal maximal de W (L, σb).

D’apr`es la proposition 3.2.2, on sait que le rang r : W (L, σb)→ Z/2Z est un morphisme

d’anneaux surjectif. Par cons´equent, ker(r_{◦ Φ) est un id´eal d’indice 2 de W (K, σ}a), donc

ker(r_{◦ Φ) = I}1(K, σa). Or ker(r◦ Φ) = Φ−1

(

ker(r)

)

donc Φ−1

(

I1(L, σb)

)

= I1(K, σa). En

cons´equence, Φ_|I1(K,σa) : I1(K, σa) → I1(L, σb) est un isomorphisme de groupes et d’apr`es

le lemme 6.3.2,

Φ

(

I2(K, σa)

)

= Φ

(

I1(K, σa)2

)

= Φ

(

I1(K, σa)

)

2

= I1(L, σb)2 = I2(L, σb).

Φ induit par factorisation un isomorphisme de groupes

I1(K, σa)/I2(K, σa)' I1(L, σb)/I2(L, σb).

Ce dernier isomorphisme induit, au moyen du lemme 6.3.1, l’isomorphisme de groupes : t :  k

∗_/N

K/k(K∗) → l∗/NL/l(L∗)

c _{7→ d±}

(

Φ(_{h1, −ci)}

)

.

Un simple calcul montre que t(_{−1) = −1. Puisque Φ induit ´egalement un isomorphisme} de groupes

u : I1(K, σa)2/I1(K, σa)3 ' I1(L, σb)2/I1(L, σb)3,

on obtient le diagramme commutatif suivant : k∗/NK/k(K∗)× k∗/NK/k(K∗) (t,t)  θK // I1(K, σa)2/I1(K, σa)3 u  l∗/NL/l(L∗)× l∗/NL/l(L∗) θL // I1(L, σb)2/I1(L, σb)3 o`u

θK(x, y) =h1, −xi ⊗ h1, −yi mod I1(K, σa)3

pour tous x, y _{∈ k}∗ (et idem pour θL). Si la forme hermitienne h1, −x, −y, xyi est hy-

h1, −x, −y, xyi ∈ I1(K, σa)3, puisque

Ψ : W (K, σa) → h1, −aiW (k)

h _{7→ h1, −ai ⊗ h} (6.2) est un isomorphisme de groupes additifs (voir [71, Chapter 10, Theorem 1.2]),

Ψ(_{h1, −x, −y, xyi) ∈ I}4(k).

D’apr`es le Hauptsatz de Arason-Pfister (voir le th´eor`eme 6.2.2), la forme quadratique Ψ(_{h1, −x, −y, xyi) est hyperbolique sur k et par suite la forme hermitienne h1, −x, −y, xyi} est hyperbolique sur (K, σa).

Enfin, si la forme quadratique _{hha, x, yii est hyperbolique sur k alors, d’apr`es (6.2),} la forme hermitienne _{h1, −x, −y, xyi est hyperbolique sur (K, σ}a) puis h1, −x, −y, xyi ∈

I1(K, σa)3. Ainsi, par commutativit´e du diagramme pr´ec´edent,

0 = u

(

θK(x, y)

)

= θL

(

t(x), t(y)

)

.

On en d´eduit que la forme hermitienne _{h1, −t(x), −t(y), t(xy)i ∈ I}1(L, σb)3 ce qui implique

que la forme quadratique _{hhb, t(x), t(y)ii est hyperbolique sur l. La r´eciproque se montre} de fa¸con similaire.

(2)_{⇒ (1) : On d´efinit une application Φ sur les formes diagonales en posant} Φ(_ha1,· · · , ani) = ht(a1),· · · , t(an)i.

Il nous faut v´erifier que cette d´efinition ne d´epend pas de la diagonalisation choisie. Si n = 1, c’est clair. Si n = 2, supposons que_{hu, vi ' hu}0, v0_{i en tant que formes hermitiennes.} En prenant le discriminant `a signe, on a uv = u0v0 _{∈ k}∗/NK/k(K∗). En multipliant par

la forme _{hui de part et d’autre et en se servant de l’´egalit´e pr´ec´edente, on en d´eduit que} la forme hermitienne _{h1, −uu}0,_−uv0, uv_{i est hyperbolique et, par suite, la forme hermiti-} enne_{h1, −t(u)t(u}0),_−t(u)t(v0), t(u)t(v)_{i l’est ´egalement. En multipliant par la forme ht(u)i,} on en d´eduit que les formes hermitiennes _{ht(u), t(v)i et ht(u}0)t(v0)_{i sont isom´etriques. Si} n > 2, le r´esultat provient du th´eor`eme 6.2.6 et du fait que la propri´et´e soit vraie pour n = 2. Puisque t(_{−1) = −1, l’application Φ respecte les formes hyperboliques et induit} une application bien d´efinie sur les classes de Witt des formes diagonales. Puisque toute classe de Witt admet pour repr´esentant une forme hermitienne diagonale (voir 1.2.2), Φ induit en fait une application entre W (K, σa) et W (L, σb). En outre Φ est biadditive et

multiplicative (car φ est multiplicative sur les formes de rang 1 et que celles-ci engen- drent additivement W (K, σa)) et l’inverse de t fournit un inverse pour Φ qui est donc un

isomorphisme d’anneaux. _ Remarques 6.3.3. (1) La preuve pr´ec´edente est similaire `a la preuve du crit`ere de Har- rison : voir [29] ou [60, _{§2] pour une preuve de ce r´esultat.}

(2) Puisque K∗2 = DK(h1i) et que NK/k(K∗) = Dk(h1, −ai), le th´eor`eme 6.1.3 est un

Dans le th´eor`eme 6.1.3 la condition t(_{−1) = −1 n’est pas cons´equence des autres} conditions de l’assertion (2) :

Exemple 6.3.4. Posons k = Q3 et l = Q5. Alors

k∗/k∗2 =_{{1, −1, 3, −3}, l}∗/l∗2 =_{{1, 2, 5, 10}, u(k) = u(l) = 4,}

et l’unique forme anisotrope de dimension 4 sur k (resp. sur l) est _{h1, 1, −3, −3i (resp.} h1, −2, −5, 10i) (pour tous ces r´esultats, on peut consulter [34, Chapter 6, Theorem 2.2]). Posons alors K = k(√3) et L = l(√2). Par factorisation, il existe un unique morphisme surjectif de groupes θ : k∗/k∗2 _{→ k}∗/Dk(h1, −3i). Par cons´equent |k∗/Dk(h1, −3i)| divise

4. Si ce cardinal vaut 4, θ est un isomorphisme de groupes et k∗2 = Dk(h1, −3i) ce qui n’est

pas possible puisque _{−3 ∈ D(h1, −3i) et −3 /∈ k}∗2. Si ce cardinal vaut 1, k∗ = Dk(h1, −3i)

ce qui est `a nouveau impossible puisque_{−1 /∈ D}k(h1, −3i), h1, 1, −3, −3i ´etant anisotrope.

Donc _|k∗/Dk(h1, −3i)| = 2 et de mˆeme |l∗/Dl(h1, −2i)| = 2.

h 1, −3i ne repr´esente pas −1 sur k et h1, −2i ne repr´esente pas 5 sur l donc k∗/Dk(h1, −3i) = {1, −1}, l∗/Dl(h1, −2i) = {1, 5}.

On a un isomorphisme de groupes :

t : k∗/Dk(h1, −3i) → l∗/Dl(h1, −2i)

1 _{7→ 1} −1 7→ 5 De plus, _{h1, −2i repr´esente clairement −1 sur l et}

t(_{−1) 6= −1 ∈ l}∗/Dl(h1, −2i).

Enfin, puisque u(k) = u(l) = 4, les formes quadratiques _{hh3, x, yii et hh2, t(x), t(y)ii sont} hyperboliques pour tous x, y_{∈ k}∗.

6.3.2

Cas des alg`ebres de quaternions `a division

Dans cette sous-section, Q1 = (a, b)K (resp. Q2 = (c, d)L) d´esignera une alg`ebre de

quaternions `a division sur K (resp. sur L) munie de son involution canonique γ1 (resp.

γ2). Par souci de simplification d’´ecriture, nous posons la d´efinition suivante :

D´efinition 6.3.5. Deux corps K et L de caract´eristique diff´erente de 2 sont (Q1, Q2)-

´

equivalents si il existe un morphisme de groupes t : K∗/K∗2 _{→ L}∗/L∗2 envoyant _{−1 sur} −1 tel que si la forme quadratique hhx, yii est hyperbolique sur K alors la forme quadra- tique_{hht(x), t(y)ii est hyperbolique sur L qui induit par factorisation un isomorphisme de} groupes ˜t : K∗/DK

(

hha, bii

)

' L∗/DL

(

hhc, dii

)

pour tous x, y ∈ K∗. La paire (t, ˜t) est

Remarque 6.3.6. Si A est une K-alg`ebre simple centrale, on d´efinit SH0(A) = coker

(

K1(NrdA/K)

)

= K∗/NrdA/K(A∗).

Le groupe SH0 est appel´e groupe des r´esidus de normes r´eduites et est en relation avec

le groupe r´eduit de Whitehead SK1 (dont nous reparlerons dans le chapitre 7) : voir [22,

§23]. Dans notre cas, on a donc

SH0(Q1) = K∗/DK

(

hha, bii

)

, SH0(Q2) = L∗/DL

(

hhc, dii

)

,

ce qui permet de traduire la d´efinition 6.3.5 au moyen de ces groupes. Th´eor`eme 6.3.7. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(1) Il existe un morphisme d’anneaux Φ : W (K)_{→ W (L) envoyant une forme de dimen-} sion 1 sur une forme de dimension 1 et un isomorphisme de groupes Ψ : W (Q1, γ1) →

W (Q2, γ2) tels que Ψ(h1i) = h1i et

Ψ(q.h) = Φ(q).Ψ(h), pour tous q_{∈ W (K), h ∈ W (Q}1, γ1).

(2) Il existe une (Q1, Q2)-´equivalence (t, ˜t) entre K et L telle que les formes hermitiennes

hu, vi et hu0_{, v}0_{i sont isom´etriques sur (Q}

1, γ1) si et seulement si les formes hermitiennes

h˜t(u), ˜t(v)i et h˜t(u0_{), ˜t(v}0_{)i sont isom´etriques sur (Q}

2, γ2) pour tous u, v, u0, v0 ∈ K∗.

(3) Il existe une (Q1, Q2)-´equivalence (t, ˜t) entre K et L telle que la forme quadratique

hha, b, u, vii est hyperbolique sur K si et seulement si la forme quadratique hhc, d, ˜t(u), ˜t(v)ii est hyperbolique sur L pour tous u, v _{∈ K}∗.

Au cours de la preuve, nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme 6.3.8. Soient u, v, u0, v0 _{∈ K}∗. Si la forme quadratique _{hha, bii⊗hu, v, −u}0,_−v0_i est hyperbolique sur K alors uvu0v0 _{∈ D}K

(

hha, bii

)

.

Preuve. Puisque les formes quadratiques _{hu, v, −u}0,_−v0_{i et h1, −uu}0vv0_{i ont mˆeme dis-} criminant, leur diff´erence est un ´el´ement de I2_{(K). Ainsi}

hha, bii ⊗ hu, v, −u0,_−v0_{i ≡ hha, bii ⊗ h1, −uu}0vv0_i mod I4(K).

D’apr`es l’hypoth`ese et le Hauptsatz d’Arason-Pfister (voir 6.2.2), la forme quadratique hha, bii ⊗ h1, −uu0_vv0_{i est hyperbolique sur K et donc uvu}0_v0 _{∈ D}

K

(

hha, bii

)

. 

Preuve de 6.3.7 : (3)_{⇒ (2) : Soient u, v, u}0, v0 _{∈ K}∗ tels que l’on ait

en tant que formes hermitiennes sur (Q1, γ1). D’apr`es le th´eor`eme 6.2.3, l’application

W (Q1, γ1)→ W (K) donn´ee par la multiplication par la forme norme de Q1 est injective.

L’´equation (6.3) est donc ´equivalente `a

hha, bii ⊗ hu, vi ' hha, bii ⊗ hu0, v0_i

en tant que formes quadratiques. Ceci est encore ´equivalent `a l’hyperbolicit´e de la forme quadratique_{hha, bii⊗hu, v, −u}0,_−v0_{i sur K et donc uvu}0v0 _{∈ D}K

(

hha, bii

)

d’apr`es le lemme

6.3.8 (et aussi t(uvu0v0)_{∈ D}L

(

hhc, dii

)

). En multipliant (6.3) par la formehui on obtient

h1, uvi ' huu0, uv0_i

en tant que formes hermitiennes sur (Q1, γ1) et, puisque uvu0v0 ∈ DK

(

hha, bii

)

,

h1, u0v0_{i ' hvv}0, vu0_i

en tant que formes hermitiennes sur (Q1, γ1). L’´equation pr´ec´edente est ´equivalente `a

l’hyperbolicit´e de la forme quadratique _{hha, b, vv}0, uu0_{ii sur K et par (3) la forme quadra-} tique_{hhc, d, ˜t(vv}0), ˜t(uu0)_{ii est hyperbolique sur L. En remontant le raisonnement pr´ec´edent} (et en utilisant t(uvu0v0)_{∈ D}L

(

hhc, dii

)

), on en d´eduit que les formes hermitiennesh˜t(u), ˜t(v)i

et_h˜t(u0), ˜t(v0)_{i sont isom´etriques sur (Q}2, γ2). La r´eciproque est similaire.

(2) _{⇒ (1) : supposons qu’il existe une (Q}1, Q2)-´equivalence (t, ˜t) entre K et L satisfaisant

les conditions de l’assertion (2). Les hypoth`eses faites sur t impliquent, comme dans la preuve du sens indirect du crit`ere de Harrison 6.1.1, l’existence d’un morphisme Φ : W (K) _{→ W (L) envoyant la classe de Witt d’une forme de rang 1 sur la classe de Witt} d’une forme de rang 1. On d´efinit Ψ en posant

Ψ : 

W (Q1, γ1) → W (Q2, γ2)

ha1,· · · , ani 7→ h˜t(a1),· · · , ˜t(an)i

.

Comme lors de la preuve du th´eor`eme 6.1.3, en utilisant la proposition 6.2.6, on v´erifie que Ψ est une application qui induit un morphisme d’anneaux et l’inverse de ˜t fournit un inverse `a Ψ. Au vu de la relation entre t et ˜t, on prouve sans difficult´e la relation de compatibilit´e entre Φ et Ψ.

(1) _{⇒ (3) : supposons l’existence de Φ et Ψ comme en (1). Puisque Φ}

(

I(K)

)

_{⊂ I(L), Φ} induit le morphisme de groupes

t : K

∗_/K∗2 _{→ L}∗_/L∗2

a _{7→ d±}

(

Φ(_{h1, −ai)}

)

et t satisfait aux autres propri´et´es ´enonc´ees dans la d´efinition 6.3.5 en vertu de la preuve du sens direct du th´eor`eme 6.1.1. Nous allons montrer que

Soit u_{∈ D}K

(

hha, bii

)

/K∗2 repr´esent´e par u. Alors

Ψ(_{hui) = Ψ(h1i) = h1i} d’une part et

Ψ(_{hui) = Φ(hui).h1i}

d’autre part (noter que Φ(_{hui) d´esigne une forme quadratique sur L alors que Ψ(hui) est une} forme hermitienne sur (Q2, γ2) ; le mˆeme abus de notation sera r´eutilis´e au cours de cette

preuve). En posant Φ(_{hui) = hxi, on voit que t(u) = x puis que x ∈ D}L

(

hhc, dii

)

ce qui im-

plique que t(u)_{∈ D}L

(

hhc, dii

)

/L∗2ou encore que DK

(

hha, bii

)

/K∗2 ⊂ t−1

(

DL

(

hhc, dii

)

/L∗2

)

.

Soit maintenant v _{∈ D}L

(

hhc, dii

)

/L∗2 tel que t(y) = v pour un certain y ∈ K∗. Si on

´

ecrit Φ(_{hyi) = hy}0_{i alors v = y}0 _{∈ L}∗/L∗2. De plus

Ψ(_{hyi) = Φ(hyi).h1i = hvi.h1i = h1i.}

Par injectivit´e de Ψ, on en d´eduit que_{hyi ' h1i et que t}−1(DL

(

hhc, dii

)

/L∗2)⊂ DK

(

hha, bii

)

/K∗2.

Puisque (6.4) est vraie, t induit par factorisation un unique morphisme de groupes injectif ˜t : K∗/DK

(

hha, bii

)

→ L∗/DL

(

hhc, dii

)

avec

˜

t(x) = t(x) mod DL

(

hhc, dii

)

.

Notons s1 : K∗/K∗2 → K∗/DK

(

hha, bii

)

et s2 : L∗/L∗2 → L∗/DL

(

hhc, dii

)

les deux

surjections canoniques. On a le diagramme commutatif suivant K∗/K∗2 t // s1  L∗/L∗2 s2 //L∗/DL

(

hhc, dii

)

K∗/DK

(

hha, bii

)

˜ t 77o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

On montre maintenant que s2 ◦ t est surjective. Soit w ∈ L∗/DL

(

hhc, dii

)

; Ψ ´etant

surjective, il existe une forme hermitienne h sur W (Q1, γ1) telle que Ψ(h) =hwi = Φ(h).h1i.

On peut supposer que h =_ha1,· · · , ani et Φ(h) = hb1,· · · , bni avec a1,· · · , an, b1,· · · , bn∈

K∗ (n est forc´ement impair). En prenant le discriminant `a signe raffin´e (voir la sous-section 3.2.3) de part et d’autre de l’´egalit´e pr´ec´edente, on obtient

n

Y

i=1

bi2 = w2 mod DL

(

hhc, dii

)

2

et donc il existe d_{∈ Q}∗₂ tel que

(

Qn i=1bi2

)

.NrdQ2/L(d) 2 _{= w}2 _{ou encore} w =_±

(

n Y i=1 bi

)

.NrdQ2/L(d). L’´el´ement _±

(

Qn

i=1ai

)

est en fait un ant´ec´edent de w par s2◦ t. En effet

t(_± n Y i=1 ai) = ± n Y i=1 t(ai) = _{± d±}

(

n_{h1i⊥ − Φ(ha}1,· · · , ani)

)

= _{± d±}(n_h1i⊥h−b1,· · · , −bni) = _± n Y i=1 bi ∈ L∗/L∗2. Donc (s2◦ t)(± n Y i=1 ai) =± n Y i=1 bi mod DL

(

hhc, dii

)

= w.

On en d´eduit que s2◦ t est surjective puis que ˜t est un isomorphisme de groupes.

Soient u, v _{∈ K}∗ tels que la forme quadratique _{hha, b, u, vii soit hyperbolique sur} (Q1, γ1). La forme de Pfister hermitienne h1, −u, −v, uvi est ´egalement hyperbolique

d’apr`es le th´eor`eme 6.2.3. Ainsi :

0 = Ψ(_{h1, −u, −v, uvi)} = Φ(_{h1, −u, −v, uvi).h1i}

=

(

Φ(_{h1, −ui) ⊗ Φ(h1, −vi)}

)

._h1i. Par d´efinition de t et de ˜t, on obtient d’autre part

Ψ(_{h1, −u, −v, uvi) = h1, −t(u)i ⊗ h1, −t(v)i} = _{h1, −t(u), −t(v), t(u)t(v)i} = _{h1, −˜t(u), −˜t(v), −˜t(u)˜t(v)i.}

On en d´eduit que la forme quadratique _{hhc, d, ˜t(u), ˜t(v)ii est hyperbolique sur L. Les deux} s´eries d’´equations pr´ec´edentes fournissent la r´eciproque en vertu de l’injectivit´e de Ψ. _ Dans le cas particulier o`u K = L, on obtient le corollaire suivant :

Corollaire 6.3.9. Les assertions suivantes sont ´equivalentes : (1) W (Q1, γ1)' W (Q2, γ2) en tant que W (K)-modules.

(2) Il existe un isomorphisme de groupes ˜t : K∗/DK

(

hha, bii

)

' K∗/DK

(

hhc, dii

)

avec

˜

t(_{−1) = −1 tel que la forme quadratique hha, b, u, vii est hyperbolique si et seulement si la} forme quadratique _{hhc, d, ˜t(u), ˜t(v)ii est hyperbolique pour tous u, v ∈ K}∗.

Preuve. (1)_{⇒ (2) : on pose Φ = id}W (K) (donc t = idK∗_/K∗2). L’implication (1) ⇒ (3) du

th´eor`eme 6.3.7 permet de conclure.

(2)<sub>⇒ (1) : cela provient de mˆeme de l’implication (3) ⇒ (1) du th´eor`eme 6.3.7. </sub> Remarques 6.3.10. (1) Les conditions sur l’hyperbolicit´e des formes quadratiques dans le th´eor`eme 6.3.7 peuvent ˆetre remplac´ees par des conditions similaires `a la condition de Harrison-Cordes pr´esent´ee dans l’introduction de ce chapitre ; le th´eor`eme 6.3.7 pr´esente ainsi une analogie avec le th´eor`eme 6.1.2 de Baeza et Moresi. Il pr´esente aussi quelques diff´erences :

− la bijectivit´e de Φ n’est pas suppos´ee dans l’assertion (1) ;

− il y a des conditions suppl´ementaires sur le rang pour Φ et sur l’existence d’un “point base” _{h1i pour Ψ dans l’assertion (1) ;}

(2) Puisque K∗2 = DK(h1i) et que NrdQ1/K(Q

∗

1) = DK

(

hha, bii

)

, le corollaire 6.3.9 est un

analogue quaternionique du crit`ere de Harrison 6.1.1 (dans le cas o`u K = L).

(3) En 1988, dans [35], Leep et Marshall construisent une application surjective entre Aut

(

W (K)

)

et l’ensemble des applications dites de “Harrison” (v´erifiant l’assertion (2) du crit`ere 6.1.1) et d´ecrivent le noyau de cette application. Leurs r´esultats utilisent le fait que tout ρ _{∈ Hom}ann

(

W (K), W (L)

)

induit un ´el´ement ρ ∈ Homann

(

W (K), W (L)

)

respectant la dimension des formes quadratiques et caract´eris´e par ρ(q)_{≡ ρ(q) mod I}2

pour tout q_{∈ W (K). Il serait int´eressant de voir si de telles propri´et´es existent au niveau} des formes hermitiennes sur une alg`ebre de quaternions pour voir si certaines hypoth`eses du th´eor`eme 6.3.7(1) peuvent ˆetre elimin´ees ou si l’on peut g´en´eraliser les r´esultats pr´ec´edents aux formes hermitiennes.

Pour terminer cette section, nous motivons notre pr´ef´erence pour la structure de mo- dule dans le th´eor`eme 6.3.7 et le corollaire 6.3.9 par deux exemples (l’un o`u le cardinal de l’anneau de Witt est infini, l’autre o`u il est fini) montrant qu’au niveau des formes quadratiques la structure de groupe de l’anneau de Witt ne suffit pas `a classer les corps `a Witt-´equivalence pr`es comme dans le crit`ere 6.1.1.

Exemples 6.3.11. (1) Cet exemple, dˆu `a Perlis, Szymiczek, Conner et Litherland se trouve en [60, _{§7]. Si K = Q(}√3

2) et L = Q, on montre que W (K) _{' W (L) en tant que} groupes : en utilisant des r´esultats de Conner et Perlis et une suite exacte de Knebusch, on montre que le groupe additif W (K) est somme directe d’un groupe cyclique infini et d’une infinit´e d´enombrable de groupes cycliques d’ordre 2 ou 4 et on sait que la mˆeme chose est vraie pour L = Q (voir [71, Chapter 5, Theorem 3.4]). Le r´esultat [60, _{§4, Corollary 2]} montre que W (K)_{6' W (L) en tant qu’anneaux.}

de Gross et Fischer obtenue en 1965 en [28, _{§II.1]. On choisit K = Q}2(

√

d) o`u d _∈ Q∗₂\ ± Q∗₂2. Alors K est un corps local et

|K∗/K∗2_{| = 16, s(K) = 2, u(K) = 4}

(voir [34, Chapter VI, Corollary 2.24], [34, Chapter XI, Examples 2.4(7), 4.2(4)]). Soit F1

un corps avec

|F1∗/F1∗ 2

| = 4, s(F1) = 2, u(F1) = 2

(F1 existe d’apr`es les r´esultats de Cordes). Alors L = F1((X)) v´erifie

|L∗/L∗2_{| = 8, s(L) = 2, u(L) = 4.} D’apr`es [16, Theorem 4.5],

W (K)_{' W (L) ' C}4× C4× C2× C2

en tant que groupes. Mais W (K)_{6' W (L) en tant qu’anneaux d’apr`es le crit`ere de Harrison} 6.1.1 puisque _|K∗/K∗2_{| = 16 6= 8 = |L}∗/L∗2_|.

Dans le document Groupe de Witt d'une algèbre simple centrale à involution (Page 113-123)